انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

صيغة دي موافر وقوى الأعداد المركبة

ملخص

يُبرهَن هنا على صيغة دي موافر، التي تنص على أن القوة ذات الأس الصحيح nn لعدد مركب مقياسه 11 وعمدته θ\theta عمدتُها nθn\theta، وتُطبَّق في خمسة اتجاهات: فتُحسب قوى ذات أسس كبيرة من غير نشر الجداءات، ويُحدَّد متى تكون القوة حقيقية أو تساوي 11؛ وتُستعاد صيغ مضاعفات الزاوية بمقارنتها بصيغة ذات الحدين لنيوتن؛ ويُعبَّر عن قوى جيب التمام والجيب بمجاميع لجيوب تمام مضاعفات الزاوية، وهي عملية تسمى الإخطاط؛ وتُحسب مجاميع الجيوب وجيوب التمام في متتالية حسابية بوصفها مجموعًا هندسيًا لأعداد مركبة؛ ويُحصل على مجاميع لمعاملات ذات الحدين بوصفها الجزأين الحقيقي والتخيلي لقوى 1+i1 + i.

أهداف التعلم

  1. البرهان على صيغة دي موافر لكل أس صحيح، وتأويل قوى العدد المركب هندسيًا.
  2. حساب قوى الأعداد المركبة بواسطة الشكل القطبي، وتحديد متى تكون حقيقية أو مساوية لـ11.
  3. استنتاج صيغ مضاعفات الزاوية، وإخطاط قوى الجيب وجيب التمام.
  4. حساب مجاميع مثلثية ومجاميع لمعاملات ذات الحدين بوصفها الجزأين الحقيقي والتخيلي لمجاميع أعداد مركبة وقواها.

صيغة دي موافر

في درس الشكل القطبي للأعداد المركبة كُتب كل عدد مركب غير معدوم على الصورة z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)، حيث r=∣z∣r = \abs{z} مقياسه وθ\theta إحدى عمده، وبُرهن، بصيغتي جيب مجموع زاويتين وجيب تمامه، على أن المقاييس في الجداء تُضرب والعمد تُجمع. ولعددين مركبين مقياس كلٍّ منهما 11، تُكتب مبرهنة الجداء هذه هكذا:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

إذا تساوى العاملان كان الجداء مربعًا، عمدته 2θ2\theta؛ وإذا ضُرب مرة أخرى في العامل نفسه نتج مكعب، عمدته 3θ3\theta. وبتكرار الضرب تُجمع العمدة إلى نفسها بعدد العوامل، بحيث يؤول الرفع إلى قوة إلى ضرب زاوية في عدد صحيح. وهذه الحقيقة، التي استعملها أبراهام دي موافر في صيغة مكافئة في مطلع القرن الثامن عشر وكتبها أويلر بصيغتها الحالية سنة 1748، هي موضوع درسنا هذا.

مبرهنةصيغة دي موافر

لكل عدد حقيقي θ\theta ولكل عدد صحيح nn تتحقق المساواة الآتية.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

للبرهان ثلاثة أجزاء: الأس 00، والأسس الطبيعية بالاستقراء، والأسس السالبة بواسطة المقلوب. ويُستعمل مبدأ الاستقراء الرياضي بالشكل الوارد في دورة الجبر والهندسة 1، في درسها الخاص بـالمجاميع والمتواليات والاستقراء، وتُستعمل القوى ذات الأسس الصحيحة من درس الأعداد المركبة، حيث z0=1z^0 = 1 وz−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. ويتتبع الرسم البرهان على الدائرة التي نصف قطرها 11، بزاوية صغيرة θ\theta وn=3n = 3.

البرهان

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    من أجل n=0n = 0، يساوي الطرف الأول 11 بالتعريف، وكذلك الطرف الثاني، لأن cos⁡0=1\cos 0 = 1 وsin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    من أجل n=1n = 1، المساواة بديهية. فرضية الاستقراء: نفترض أنها تتحقق من أجل عدد طبيعي nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    القوة ذات الأس الأكبر بواحد هي جداء القوة الأصلية في الأساس، وتوضع مكان القوة الأصلية عبارتها من فرضية الاستقراء.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    عند نشر الجداء يكون الجزءان الحقيقي والتخيلي هما الطرفين الثانيين لصيغتي جيب تمام مجموع زاويتين وجيبه، من درس صيغ المجموع والفرق: إنها مبرهنة الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي. فنحصل على الصيغة من أجل n+1n + 1، وبمبدأ الاستقراء الرياضي تصح لكل عدد طبيعي.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    بمبرهنة الجداء، العدد cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta مضروبًا في cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) يعطي cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: فالعامل الثاني إذن هو مقلوب الأول. ولمّا كان جيب التمام زوجيًا والجيب فرديًا، كان المقلوب هو المرافق.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    إذا كان n=−mn = -m، مع mm طبيعي، فالقوة ذات الأس −m-m هي القوة ذات الأس mm للمقلوب، بقوانين القوى. وتُطبَّق حالة الأس الطبيعي على الزاوية −θ-\theta.

تمتد الصيغة إلى جميع الأعداد المركبة غير المعدومة، لأن قوة الجداء هي جداء القوى، حتى في الأسس السالبة: فمقلوب الجداء هو جداء المقلوبات.

مبرهنةالقوى في الشكل القطبي

إذا كان z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) عددًا مركبًا غير معدوم، فإنه لكل عدد صحيح nn يتحقق zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): مقياس znz^n هو rnr^n، وnθn\theta عمدة لـznz^n. يُفصل العامل الحقيقي عن العامل الذي مقياسه 11، وتُطبَّق على هذا الأخير صيغة دي موافر. ويتتبع الرسم البرهان بعدد مركب مقياسه أكبر بقليل من 11 وn=3n = 3، وينتهي بـz=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) وبقواه الثلاث الأولى.

البرهان

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    قوة الجداء هي جداء القوى: في الأسس الطبيعية بسبب تبديلية الضرب وتجميعيته، وفي الأسس السالبة لأن مقلوب الجداء هو جداء المقلوبات.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    تُطبَّق على العامل الثاني صيغة دي موافر، الصحيحة لكل عدد صحيح nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    لمّا كان r>0r > 0، فإن القوة rnr^n عدد حقيقي موجب، حتى لو كان nn سالبًا. وبمبرهنة التساوي في الشكل القطبي، العبارة المحصَّل عليها شكل قطبي لـznz^n: مقياسه rnr^n، وnθn\theta إحدى عمده.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    مع z=3+iz = \sqrt{3} + i، مقاييس القوى 22 و44 و88 وعمدها π6\frac{\pi}{6} وπ3\frac{\pi}{3} وπ2\frac{\pi}{2}: فالمكعب عدد تخيلي بحت.

ويترتب على ذلك أن القوى z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots مقاييسها في متتالية هندسية نسبتها المشتركة rr وعمدها في متتالية حسابية فرقها المشترك θ\theta، بالمعنى الوارد في درس المجاميع والمتواليات في دورة الجبر والهندسة 1. فإذا كان r=1r = 1، وقعت كلها على الدائرة التي نصف قطرها 11، وكل واحدة منها مدارة بزاوية θ\theta بالنسبة إلى القوة التي أسها أصغر بواحد؛ وإذا كان r>1r > 1، دارت وابتعدت عن الأصل؛ وإذا كان r<1r < 1، دارت واقتربت منه. وفضلًا عن ذلك، لمّا كان zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k وكان الضرب في zz دورانًا بزاوية θ\theta مركبًا مع تمديد نسبته rr، فإن كل المثلثات التي رؤوسها 00 وzkz^k وzk+1z^{k + 1} تشابه المثلث الذي رؤوسه 00 و11 وzz، كما بُرهن في درس الشكل القطبي.

مثاللولب القوى

ليكن zz العدد المركب الذي مقياسه 1110\frac{11}{10}، وهو أكبر بقليل من 11، وعمدته π4\frac{\pi}{4}. نحسب بعض قواه حتى القوة الثامنة ونصف المنحنى الذي تقع عليه.

البرهان

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    العدد في الشكل القطبي وفي الشكل الجبري هو الآتي.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    بمبرهنة القوى في الشكل القطبي، عمدة المربع π2\frac{\pi}{2}: فهو عدد تخيلي بحت.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    عمدة القوة الرابعة π\pi: فهي عدد حقيقي سالب.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    عمدة القوة الثامنة 2π2\pi: فبعد دورة كاملة تعود إلى نصف المحور الحقيقي الموجب، على بُعد من الأصل أكبر بقليل من 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    المسافة بين قوتين متتاليتين تتزايد هي أيضًا في متتالية هندسية نسبتها المشتركة 1110\frac{11}{10}، بمبرهنة مقياس الجداء. والنقاط واقعة على المنحنى الذي معادلته في الإحداثيات القطبية، المدروسة في درس الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية، هي r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}: وهو لولب يسمى اللولب اللوغاريتمي، يقطع، كما يُبرهن بحساب التفاضل، كل مستقيم مارٍّ بالأصل بالزاوية نفسها دائمًا.