جداول الإشارات والمتراجحات

ملخص

يعلّم هذا الدرس كيف تُعيَّن إشارة كثيرة حدود وإشارة خارج قسمة كثيرتي حدود انطلاقًا من تحليلهما إلى عوامل، مع تنظيم الدراسة في جدول إشارات. ويدرس دور رتبة الجذور ودور العوامل التربيعية غير القابلة للتحليل، ويميّز، عند أصفار المقام، المقاربات العمودية من النقاط القابلة للإزالة، مع فكرة حدسية أولى عن النهاية، ويطبّق الطريقة على حل المتراجحات الحدودية والكسرية، الصارمة وغير الصارمة، وعلى تعيين مجالات تعريف دوال فيها خوارج قسمة وجذور، بما فيها الجذور المتداخلة. وهو الأول من ثلاثة دروس مخصّصة لمجال التعريف والمدى والتمثيل البياني للدوال الجبرية.

أهداف التعلم

إنشاء جدول إشارات كثيرة حدود محلَّلة، مع مراعاة رتبة كل جذر والعوامل التربيعية غير القابلة للتحليل.
تعيين إشارة خارج قسمة كثيرتي حدود، والتعرّف، عند أصفار المقام، على المقاربات العمودية والنقاط القابلة للإزالة.
حل المتراجحات الحدودية والكسرية، الصارمة وغير الصارمة، دون الضرب في عبارات مجهولة الإشارة.
تعيين مجال تعريف دوال فيها خوارج قسمة وجذور، بما فيها الجذور المتداخلة، بواسطة جداول الإشارات.
ترجمة مسائل تطبيقية إلى متراجحات، مثل مدة رحلة أو مفعول دواء أو تصميم عبوة، وحلها بجداول الإشارات.

إشارة كثيرة الحدود

كثير من الأسئلة عن دالة يؤول إلى معرفة أين تكون عبارة ما موجبة أو سالبة أو منعدمة: فمجال تعريف الجذر التربيعي يقتضي أن يكون ما تحت الجذر غير سالب، والمتراجحة تسأل أين تكون عبارة ما موجبة، والتمثيل البياني لدالة يقع فوق المحور $x$ بالضبط حيث تكون الدالة موجبة. والأداة التي تجيب عن هذا السؤال هي جدول الإشارات، ومادته الأولية هي التحليل إلى عوامل الذي دُرس في الدرس الخاص بـتحليل كثير الحدود التربيعي.

إشارة العامل الخطي

العامل الخطي $ax + b$ ، حيث $a \neq 0$ ، ينعدم فقط عند $x = -\frac{b}{a}$ ، وإشارته ثابتة على كل جانب من جانبي تلك النقطة. فإذا كان $a > 0$ ، كان سالبًا على اليسار وموجبًا على اليمين؛ وإذا كان $a < 0$ ، فالعكس. فمثلًا، $x - 3$ موجب بالضبط عندما $x > 3$ ، و $2 - x$ بالضبط عندما $x < 2$ :

x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

توطئةإشارة العامل الخطي

لتكن $ax + b$ كثيرة حدود من الدرجة $1$ ، جذرها $r = -\frac{b}{a}$ . إذا كان $a > 0$ ، فإن $ax + b$ موجبة بالضبط عندما $x > r$ وسالبة بالضبط عندما $x < r$ ؛ وإذا كان $a < 0$ ، فهي موجبة بالضبط عندما $x < r$ وسالبة بالضبط عندما $x > r$ .

تُستعمل قواعد العمليات على المتباينات، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي، والتوطئة لإشارة الجداء من الدرس الخاص بـالدوال الجبرية.

البرهان

$ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}$
نُخرج $a$ عاملًا مشتركًا: العامل الخطي هو $a$ مضروبًا في الفرق $x - r$ ، الذي يكون موجبًا بالضبط عندما $x > r$ ، ومنعدمًا عند $r$ ، وسالبًا بالضبط عندما $x < r$ .
$a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)$
بحسب التوطئة لإشارة الجداء، يكون $a(x - r)$ موجبًا بالضبط عندما يكون لـ $a$ و $x - r$ الإشارة نفسها. فإذا كان $a > 0$ ، حدث ذلك بالضبط عندما $x > r$ .
$a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)$
إذا كان $a < 0$ ، كان الجداء موجبًا بالضبط عندما يكون $x - r$ سالبًا، أي عندما $x < r$ ؛ وفي الحالتين يكون الجداء سالبًا بالضبط عندما تكون الإشارتان متعاكستين.

جدول إشارات الجداء

لنفترض أن كثيرة حدود مكتوبة في صورة جداء عوامل خطية. تُسمّى الأعداد التي ينعدم عندها أحد العوامل نقاطًا حرجة؛ وإذا رُتّبت من الأصغر إلى الأكبر قسمت المستقيم الحقيقي إلى فترات مفتوحة. غير أن كل فترة من هذه الفترات تقع بكاملها في جانب واحد من جذر كل عامل، بحيث إنه، بحسب التوطئة لإشارة العامل الخطي، لا يغيّر أيّ عامل إشارته داخلها؛ ومن ذلك يلزم أن للجداء أيضًا إشارة ثابتة في كل فترة. وهذه الإشارة تعطيها قاعدة الإشارات، التي تعمّم على $n$ من العوامل التوطئةَ لإشارة جداء عاملين، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـالدوال الجبرية. ويُبرهَن هذا التعميم بالاستقراء، كما في الدرس الخاص بـالمجاميع والمتواليات والاستقراء.

توطئةقاعدة الإشارات

جداء $n$ من العوامل الحقيقية غير المنعدمة مختلف عن الصفر؛ وهو سالب إذا كان عدد عوامله السالبة فرديًا، وموجب إذا كان زوجيًا.

لتكن $c_1, c_2, \ldots, c_n$ أعدادًا حقيقية غير منعدمة و $\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n$ جداءها. نستدل بالاستقراء على عدد العوامل $n$ . ويعرض الرسم العوامل في صف واحد، وتحت كل منها إشارة الجداء المتراكم حتى ذلك العامل.

البرهان

$\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}$
بحسب التوطئة لإشارة جداء عاملين، فإن جداء عدد حقيقي غير منعدم $p$ في عدد حقيقي غير منعدم $c$ ليس منعدمًا؛ فإذا كان $c$ موجبًا كانت له إشارة $p$ ، وإذا كان $c$ سالبًا كانت له الإشارة المعاكسة.
$\Pi_1 = c_1$
الحالة الابتدائية: إذا كان $n = 1$ ، فالجداء هو العامل نفسه، وهو سالب بالضبط عندما يوجد عامل سالب واحد، و $1$ عدد فردي.
$\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}$
فرضية الاستقراء: يكون $\Pi_n$ سالبًا إذا كان عدد عوامله السالبة $k_n$ فرديًا، وموجبًا إذا كان زوجيًا. نضيف عاملًا آخر.
$c_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}$
إذا كان $c_{n + 1}$ موجبًا، فإن إشارة الجداء لا تتغير، وعدد العوامل السالبة لا يتغير: فالقاعدة صحيحة لـ $n + 1$ من العوامل.
$c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}$
إذا كان $c_{n + 1}$ سالبًا، فإن الإشارة تنعكس ويزداد عدد العوامل السالبة بواحد، مما يغيّر زوجيته. فالقاعدة صحيحة أيضًا، وبحسب مبدأ الاستقراء الرياضي تصح لكل $n$ .

ينظّم جدول الإشارات هذا الاستدلال. فأعمدته هي الفترات التي تحددها النقاط الحرجة؛ وفيه سطر لكل عامل وسطر أخير للجداء، يُحصَل عليه عمودًا عمودًا بقاعدة الإشارات. وعند كل نقطة حرجة يُكتب $0$ في سطور العوامل التي تنعدم، وكذلك في سطر الجداء.

مثالجدول إشارات الجداء

عيّن إشارة كثيرة الحدود $P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$ عند كل نقطة من المستقيم الحقيقي.

البرهان

$P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3$
النقاط الحرجة هي جذور العوامل الثلاثة. وهي تقسم المستقيم إلى أربع فترات، هي أعمدة الجدول.
$x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2$
العامل $x + 2$ ينعدم عند $-2$ ؛ وهو سالب على يسار تلك النقطة وموجب على يمينها.
$x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1$
العامل $x - 1$ يغيّر إشارته عند $1$ .
$x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3$
العامل $x - 3$ يغيّر إشارته عند $3$ .
$P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3$
نعدّ في كل عمود العوامل السالبة: ثلاثة، ثم اثنان، ثم واحد، ثم لا شيء. والجداء سالب عندما يكون عددها فرديًا.
$P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3$
في الأعمدة الأخرى يكون الجداء موجبًا، وينعدم عند النقاط الحرجة الثلاث. ويؤكد التمثيل البياني ذلك: فالمنحنى يقع فوق المحور بالضبط في هذه الفترات، ويقطعه عند كل نقطة حرجة.

الرتبة والعوامل غير القابلة للتحليل

ليست كل كثيرة حدود قابلة للتحليل إلى عوامل خطية مختلفة. وكما رأينا في الدرس الخاص بـجذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا، يكون $r$ جذرًا من الرتبة $k$ عندما تكون كثيرة الحدود هي $(x - r)^k$ مضروبًا في كثيرة حدود أخرى لا تنعدم عند $r$ ، وتُعيَّن هذه الرتبة بالقسمة التركيبية المكررة؛ وفي الجدول يكون العامل المقابل هو $(x - r)^k$ . ومن جهة أخرى، بحسب مبرهنة إشارة المميز، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـتحليل كثير الحدود التربيعي، فإن العامل التربيعي $ax^2 + bx + c$ ذا المميز السالب غير قابل للتحليل وليس له جذور حقيقية. والقضية الآتية تبيّن الدور الذي يؤديه كل منهما في الجدول.

قضيةالإشارة والرتبة

تتغير إشارة كثيرة حدود محلَّلة عند عبور نقطة حرجة إذا وفقط إذا كانت رتبة ذلك الجذر فردية. والعوامل التربيعية غير القابلة للتحليل إشارتها ثابتة، هي إشارة معاملها الرئيسي، ويمكن حذفها من متراجحة عندما تكون موجبة، لأن القسمة على عدد موجب تحافظ على المتباينة.

ليكن $r$ جذرًا من الرتبة $k$ لكثيرة الحدود $P$ . ويتتبع الرسم البرهان مع $r = 1$ والعامل المرافق $x + 2$ ، وفي النهاية مع العامل غير القابل للتحليل $x^2 + x + 1$ .

البرهان

$\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}$
نكتب $P$ بفصل عامل $r$ . بين $r$ وأقرب نقطة حرجة لـ $C$ ، لا ينعدم أيّ عامل من عوامل $C$ ، وبحسب قاعدة الإشارات تكون إشارة $C$ ثابتة على جانبي $r$ .
$k = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r$
إذا كان $k$ زوجيًا، فإن $(x - r)^k$ مربع عدد غير منعدم على جانبي $r$ ، فهو موجب: لـ $P$ هناك إشارة $C$ ، التي لا تتغير.
$k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2$
إذا كان $k$ فرديًا، فإن $(x - r)^k$ هو $x - r$ مضروبًا في مربع موجب، وله إشارة $x - r$ ، التي تتغير عند $r$ : وبحسب قاعدة الإشارات، تتغير إشارة $P$ عند عبور $r$ .
$ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}$
إذا كان $b^2 - 4ac < 0$ ، فإن ما بين المعقوفين في الشكل بعد إتمام المربع هو مربع زائد عدد موجب: فللعامل دائمًا إشارة $a$ ، ولا يضيف نقاطًا حرجة، وإذا كان $a > 0$ ، فإن القسمة عليه تحافظ على اتجاه المتباينة.

مثالجذر مضاعف وعامل غير قابل للتحليل

عيّن أين تكون كثيرة الحدود $Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1)$ موجبة وأين تكون غير سالبة.

البرهان

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$
النقاط الحرجة هي $-1$ ، وهو جذر مضاعف، و $2$ . والعامل التربيعي لا يضيف أيّ نقطة، لأن مميزه سالب.
$(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1$
العامل $(x + 1)^2$ مربع: ينعدم عند $-1$ ويكون موجبًا على الجانبين.
$2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2$
العامل $2 - x$ معامله الرئيسي سالب: فهو موجب على يسار $2$ .
$x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$
العامل غير القابل للتحليل موجب في جميع الأعمدة، كما يبيّن المربع المتمَّم.
$Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2$
بقاعدة الإشارات نحصل على سطر $Q$ : لا تتغير الإشارة عند $-1$ ، وهو جذر رتبته زوجية، وتتغير عند $2$ . والمتباينة غير الصارمة تشمل الصفرين.
$Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1$
المتباينة الصارمة تستبعد أصفار $Q$ ، ومنها الصفر عند $-1$ ، مع أن كثيرة الحدود موجبة على جانبيه.

في بقية هذا الدرس

إشارة خارج القسمة
المقاربات العمودية والنقاط القابلة للإزالة
المتراجحات الحدودية والكسرية
مجالات تعريف تقتضي جداول الإشارات
مسائل محلولة
متراجحة حدودية بالتجميع
كثيرة حدود من الدرجة السادسة بعوامل غير قابلة للتحليل
متراجحة كسرية
نقطة معزولة في مجال التعريف
مجال تعريف دالة بجذر في المقام وإشارتها
جذور متداخلة
مسائل مقترحة
الذهاب والإياب
تغيير المتغير قبل الجدول
مفعول دواء
العلبة الأقل استهلاكًا للصفيح
متراجحة بوسيط