انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الهندسة بالأعداد المركبة

ملخص

يستعمل هذا الدرس الأعداد المركبة إحداثياتٍ للمستوى، ويترجم إلى عمليات جبرية مفاهيم الهندسة الأولية: فالمسافة هي مقياس فرق، والمنتصف ومركز الثقل متوسطات، وحركات المستوى صيغ قصيرة. ويبرهن على أن R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) هو الدوران الذي مركزه cc وزاويته φ\varphi، وعلى أن الانعكاس في مستقيم يمر بالأصل بزاوية α\alpha هو S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z}، وعلى أن تركيب انعكاسين دوران. ويميّز الاستقامية والتعامد بواسطة حاصل قسمة، ويعرّف توجيه المثلث بإشارة الجزء التخيلي لحاصل القسمة ذاك، ويبرهن على أن ثلاث نقاط تكوّن مثلثًا متساوي الأضلاع إذا وفقط إذا كان z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0، حيث ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}، ويبرهن على أن النقاط التي تحافظ مسافاتها إلى نقطتين ثابتتين على نسبة ثابتة تكوّن دائرة، هي دائرة أبولونيوس. وتبلغ المسائل ذروتها بمبرهنة نابليون.

أهداف التعلم

  1. تمثيل النقاط والمسافات والمنتصفات ومراكز الثقل بالأعداد المركبة، والتعبير عن الانسحابات والدورانات والتحاكيات والانعكاسات بوصفها دوالَّ في متغير مركب.
  2. البرهان على صيغتي الدوران حول نقطة والانعكاس في مستقيم، ودراسة تراكيب الانعكاسات والدورانات.
  3. الحكم على الاستقامية والتعامد والزاوية بين قطعتين مستقيمتين بواسطة حاصل قسمة فرقين، وتحديد توجيه المثلث بإشارة الجزء التخيلي لحاصل القسمة ذاك، وتمييز المثلث المتساوي الأضلاع بالجذر التكعيبي للواحد ω\omega.
  4. وصف الدوائر بالمقياس، والبرهان على مبرهنة دائرة أبولونيوس، واستعمال هذه الأدوات في مسائل كلاسيكية، مثل مسألتي نابليون وفان أوبيل.

النقاط والمسافات والمراكز

منذ درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالأعداد المركبة، يُطابَق كل عدد مركب z=a+biz = a + bi مع النقطة (a,b)(a, b) من المستوى، والفرق z−wz - w هو المتجه الذي يذهب من النقطة ww إلى النقطة zz؛ وبمبرهنة فيثاغورس، المسافة بين النقطتين هي ∣z−w∣\abs{z - w}. وفي هذا الدرس تنقلب وجهة النظر: لا تُدرس الأعداد عبر المستوى، بل يُدرس المستوى عبر الأعداد. فالشكل يوصف بالأعداد المركبة لنقاطه، والخاصية الهندسية بمساواة بينها.

الأداة الرئيسية هي الدالة الأسية المركبة من الدرس الخاص بـالدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر. فلكل عدد حقيقي φ\varphi، العدد eiφe^{i\varphi} هو نقطة الدائرة التي نصف قطرها 11 وعمدتها φ\varphi، وهو يحقق الخواص الآتية؛ والأخيرة منها ترجع إلى أن cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi وأن sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

بحسب الدرس الخاص بـالشكل القطبي للأعداد المركبة، يُكتب كل عدد مركب غير منعدم على الشكل z=reiθz = re^{i\theta}، حيث r=∣z∣r = \abs{z} وθ\theta عمدة لـzz؛ وعند ضرب عددين مركبين تُضرب المقاييس وتُجمع العمد، وعند قسمتهما تُقسم المقاييس وتُطرح العمد. وبالخصوص، ضرب zz في eiφe^{i\varphi} يحافظ على مقياسه ويزيد عمدته بمقدار φ\varphi: فهو يدير النقطة zz بزاوية φ\varphi حول الأصل، عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كان φ>0\varphi > 0. والضرب في i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}، الذي دُرس في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالأعداد المركبة بوصفه دورانًا بربع دورة، هو الحالة φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

ونقاط القطعة المستقيمة أيضًا توصف بالأعداد المركبة. فبحسب درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمتجهات في المستوى، نقاط المستقيم المار بـz1z_1 وz2z_2 هي التي على الشكل z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1)، حيث tt حقيقي، ونقاط القطعة المستقيمة التي تصلهما توافق 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

توطئةالمنتصف ومركز الثقل بالأعداد المركبة

منتصف القطعة المستقيمة التي طرفاها z1z_1 وz2z_2 هو نصف المجموع m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. والمتوسطات الثلاثة لمثلث رؤوسه z1z_1 وz2z_2 وz3z_3 تمر بالنقطة g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}، المسماة مركز الثقل، الواقعة على كل متوسط عند ثلثي الطريق الذي يذهب من الرأس إلى منتصف الضلع المقابل. بُرهنت التوطئة بالمتجهات في المسألة المحلولة الخاصة بالمتوسطات من درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمتجهات في المستوى؛ والبرهان الآتي يترجمها إلى الأعداد المركبة. ويتابعه الرسم بالرؤوس z1=−2−iz_1 = -2 - i وz2=3−iz_2 = 3 - i وz3=2iz_3 = 2i.

البرهان

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    نقطة القطعة المستقيمة الموافقة لـt=12t = \frac{1}{2} هي نصف مجموع الطرفين.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    وهي على المسافة نفسها من الطرفين، لأن المتجهين اللذين يصلانها بهما متساويان: إنها المنتصف.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    على المتوسط الذي يصل z3z_3 بمنتصف الضلع المقابل، النقطة الموافقة لـt=23t = \frac{2}{3} هي الآتية.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    العبارة المحصل عليها متناظرة في الرؤوس الثلاثة؛ وإذا كان الأمر كذلك، فالحساب نفسه مع أي من المتوسطين الآخرين يعطي النقطة نفسها، والثلاثة تمر بـgg. وبرؤوس الرسم، g=13g = \frac{1}{3}.

وهكذا فالمنتصف هو متوسط عددين مركبين، ومركز الثقل متوسط ثلاثة.