الهندسة التحليلية في المستوى: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للهندسة التحليلية في المستوى. فهو يجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما بُرهن عليه في دروسها التسعة، من صيغة المسافة إلى مبرهنة الرؤوس في البرمجة الخطية؛ ويبيّن كيف تستند الوحدة إلى الوحدات السابقة، ولا سيما إلى إكمال المربع والمميز وجداول الإشارات، وكيف تمهّد للوحدة اللاحقة، التي تصف دوالُّها المتسامية القطعَ الزائد من جديد. ثم يقترح تقييم الخروج، الموازي لتقييم الدخول، ويُختم بعشرة تحدّيات، أصعب من المسائل المقترحة في الدروس، تقتضي الجمع بين عدّة منها والعثور في كل حالة على الفكرة التي تفتح الطريق.

أهداف التعلم

أن يصوغ النتائج الرئيسية للوحدة ويشرح كيف تعتمد كلٌّ منها على ما قبلها.
أن يربط طرائق الوحدة بطرائق الوحدات المتقدّمة عليها وبطرائق الوحدة اللاحقة.
أن يحلّ مسائل تجمع بين المستقيمات والمتجهات والقطوع المخروطية والمتباينات، مختارًا من بين التعريف المتري للمنحنى ومعادلته والمميز الأداةَ الأنجع.
أن يترجم شروط القيمة الصغرى والتماس والمحل الهندسي إلى معادلات، ويتحقق من أن المعادلة الناتجة تصف بالضبط المجموعة المطلوبة.

ما حقّقته الوحدة

الإحداثيات والمستقيم والمتجهات

بدأت الوحدة بفكرة واحدة: مطابقة كل نقطة من المستوى بزوج إحداثياتها. ونتج عن ذلك، في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم، أن المسافة بين نقطتين نتيجةٌ لمبرهنة فيثاغورس، وأن ميل المستقيم لا يتوقف على النقطتين اللتين يُحسب بهما، بسبب تشابه المثلثات. وهاتان المبرهنتان، مع حرية اختيار المحورين، وتساوي الزوايا المتناظرة بين مستقيمين متوازيين، ومجموع زوايا المثلث، وزوايا المثلث المتساوي الساقين، هي حقائق الهندسة الإقليدية التي تقبلها الوحدة صراحةً في بدايتها، لأن برهانها ينتمي إلى البناء المسلّماتي لتلك الهندسة. ومن ثبات الميل استُنتج أن نقاط المستقيم هي بالضبط حلول معادلة $Ax + By + C = 0$ ؛ ومن حساب بمعادلتي مستقيمين، أن مستقيمين غير رأسيين متوازيان إذا وفقط إذا كان لهما الميل نفسه؛ ومن مبرهنة فيثاغورس وعكسها، مع تساوي الزوايا المتناظرة، أنهما متعامدان إذا وفقط إذا كان جداء ميليهما $-1$ ؛ ومن مبرهنة فيثاغورس، أن العمود النازل من نقطة هو أقصر طريق إلى المستقيم.

وأعاد الدرس الخاص بـالمتجهات في المستوى صياغة هذه النتائج دون التوقف على اختيار المحورين. فالمتجهات، بجمعها وضربها في عدد، تحقق مسلّمات الفضاء المتجهي الثماني؛ والجداء السلمي يحسم التعامد بالشرط $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ، الذي لم يعد يستثني المستقيمات الرأسية، ويعطي متباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية والإسقاط العمودي. ومن ذلك حُصل على المعادلة المتجهية للمستقيم، والمتجه الناظمي $\left( A, B \right)$ للمستقيم $Ax + By + C = 0$ ، وصيغة المسافة من نقطة إلى مستقيم، التي تعود في كل الدروس اللاحقة تقريبًا:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

القطوع المخروطية المعرَّفة بالمسافات

طبّقت الدروس الخمسة اللاحقة طريقة واحدة على أربعة منحنيات: تعريف المنحنى بخاصية من خواص المسافات، وترجمتها إلى معادلة بالتربيع، ثم البرهان على العكس، لأن التربيع قد يضيف نقاطًا دخيلة. فعرّف الدرس الخاص بـمعادلة القطع المكافئ القطعَ المكافئ ببؤرة ومستقيم دليل، وبرهن على أن التمثيلات البيانية لكثيرات الحدود التربيعية هي بالضبط القطوع المكافئة ذات المحور الرأسي، وأثبت خاصية الانعكاس فيه؛ وحصل الدرس الخاص بـتوصيف القطوع المكافئة، بإكمال المربع، على عناصره بدلالة المعاملات، وبرهن على أن الرأس هو النقطة القصوى وأن المميز يحسم نقاط التقاطع مع المحور الأفقي.

وعرّف الدرس الخاص بـالقطوع الناقصة والدوائر القطعَ الناقص بالمجموع الثابت $2a$ للمسافتين إلى بؤرتين، واستنتج معادلته المختصرة مع $b^2 = a^2 - c^2$ ، وأثبت أن مسافتي كل نقطة إلى البؤرتين هما $a + ex$ و $a - ex$ ؛ وتبيّن أن الدائرة هي القطع الناقص ذو البؤرتين المنطبقتين. وقاس الدرس الخاص بـالدائرة وضعَ نقطة بقوتها، وحسم وضع مستقيم بمقارنة بعد المركز عنه بنصف القطر، وبرهن على أن المماس عمودي على نصف القطر، وصنّف الأوضاع الستة لدائرتين بواسطة محورهما الجذري، وبرهن على مبرهنة قوة نقطة، التي تنتج عنها مبرهنة الأوتار المتقاطعة ومبرهنة القاطع والمماس ومبرهنة المركز الجذري. ووضع الدرس الخاص بـمعادلة القطع الزائد الفرقَ مكان المجموع، مع $c^2 = a^2 + b^2$ ، ودرس المقاربين، وبرهن على أن التمثيل البياني لـ $y = \frac{1}{x}$ قطع زائد قائم، وبيّن أن مستقيمًا موازيًا لأحد المقاربين يقطع القطع الزائد في نقطة واحدة دون أن يكون مماسًّا.

النظرية الموحّدة والمتباينات

وجمع الدرس الخاص بـالقطوع المخروطية المنحنيات الأربعة في نظرية واحدة. فكل معادلة $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ تمثّل، بحسب إشارة $AC$ وإشارة الطرف الثاني $G$ الذي يتركه إكمال المربعين، قطعًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا أو قطعًا مكافئًا أو إحدى حالاتها المنحلة؛ وتصف مبرهنة البؤرة والمستقيم الدليل القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد بوصفها المحالّ التي تكون فيها النسبة بين المسافة إلى بؤرة والمسافة إلى مستقيم دليل عددًا ثابتًا $e$ ، أصغر من $1$ أو مساويًا له أو أكبر منه.

وانتقل الدرس الأخير، الخاص بـالمتراجحات في المستوى والبرمجة الخطية، من المساويات إلى المتباينات. فمبرهنة أنصاف المستويات تضمن أن العبارة $Ax + By + C$ تحافظ على إشارتها في كل جهة من جهتي المستقيم، ومن هنا طريقة نقطة الاختبار؛ والمناطق المعرَّفة بمتراجحات خطية محدّبة، لأن العبارة الخطية تتغير على امتداد قطعة مستقيمة بين قيمتيها عند الطرفين؛ والعبارة من الدرجة الثانية التي لا تنعدم على قطعة مستقيمة تحافظ عليها على إشارتها، ولذلك تصلح طريقة نقطة الاختبار أيضًا للمناطق التي تحدّها قطوع مخروطية؛ والدالة الخطية تبلغ قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى على مضلع محدّب محدود عند أحد رؤوسه. وإذا لم تكن المنطقة محدودة، فقد لا توجد القيمة المثلى، وقد لا تُبلغ عند رأس حتى لو وُجدت، كما في الشريط؛ لكن إذا كان للمنطقة رأس ما، أي إذا لم تحتوِ على مستقيمات كاملة، فإن كل قيمة مثلى موجودة تُبلغ أيضًا عند أحد الرؤوس.

وتسري ثلاث أدوات في الوحدة كلها. الأولى صيغة المسافة، التي تقوم عليها كل تعريفات المنحنيات. والثانية إكمال المربع، الذي يردّ كل معادلة من الدرجة الثانية إلى الشكل الذي تُقرأ فيه عناصرها. والثالثة المميز، الذي يحسم في كل القطوع المخروطية هل يقطعها مستقيم في نقطتين أو في نقطة واحدة أو لا يقطعها، والذي، مع الاحتراز من المستقيمات الموازية لمحور القطع المكافئ أو لمقاربَي القطع الزائد، يميّز المماسات دون اللجوء إلى النهايات.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يُقبل أو يأتي من وحدات سابقة، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aالهندسة الإقليدية. تُقبل، في بداية الوحدة، حريةُ اختيار المحورين، ومبرهنة فيثاغورس وعكسها، وتساوي الزوايا المتناظرة بين مستقيمين متوازيين، ومبرهنة طاليس وتشابه المثلثات، ومجموع زوايا المثلث، وتساوي الزاويتين المقابلتين للضلعين المتساويين في المثلث المتساوي الساقين. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bصيغة المسافة. المسافة بين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هي $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ؛ وعليها تقوم كل تعريفات المنحنيات في الوحدة. تثبت في: 1. المسافة والمنتصف.
Cالمعادلة العامة للمستقيم. نقاط كل مستقيم هي بالضبط حلول معادلة $Ax + By + C = 0$ ، حيث $A$ و $B$ ليسا منعدمين معًا. تثبت في: 2. معادلة المستقيم.
Dالمسافة من نقطة إلى مستقيم. المسافة من النقطة $(x_1, y_1)$ إلى المستقيم $Ax + By + C = 0$ هي $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . تثبت في: 10. المسافة من نقطة إلى مستقيم.
Eإكمال المربع. تتحقق المساواة $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ ، حيث $\Delta = b^2 - 4ac$ ؛ وقد بُرهن عليها في الوحدة الخاصة بالدوال الجبرية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fالمميز. للمعادلة التربيعية جذران، أو جذر مضاعف، أو لا جذر لها، بحسب ما يكون مميزها موجبًا أو منعدمًا أو سالبًا، وعند انعدام الجذور يحافظ كثير الحدود على إشارة معامله الرئيسي؛ وقد بُرهن على ذلك في الوحدة الخاصة بالدوال الجبرية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Gانسحاب التمثيلات البيانية. تعويض $x$ بـ $x - h$ و $y$ بـ $y - k$ يسحب التمثيل البياني بمقدار $h$ أفقيًا وبمقدار $k$ رأسيًا؛ وقد بُرهن على ذلك في الوحدة الخاصة بالدوال الجبرية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Hقاعدة الإشارات. يكون جداء عاملين موجبًا إذا كانت لهما الإشارة نفسها، وسالبًا إذا كانت إشارتاهما متعاكستين؛ وهي أساس جداول الإشارات في الوحدة الخاصة بالدوال الجبرية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

المقطع 1 الإحداثيات والمستقيم والمتجهات
- الحصول من مبرهنة فيثاغورس على المسافة بين نقطتين وعلى منتصف قطعة مستقيمة.
- البرهان على أن نقاط المستقيم هي بالضبط حلول معادلة من الدرجة الأولى، وتمييز التوازي والتعامد بالميول.
- تزويد متجهات المستوى بالجمع والضرب في عدد والنظيم والجداء السلمي، واستنتاج متباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية والإسقاط العمودي.
- الحصول على المعادلة المتجهية للمستقيم ومتجهه الناظمي والمسافة من نقطة إلى مستقيم.
1. المسافة والمنتصف. المسافة بين $P_1 = (x_1, y_1)$ و $P_2 = (x_2, y_2)$ هي $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ، والنقطة $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ تقسم القطعة المستقيمة إلى نصفين متساويين.
  تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية). يُبرهن في: معادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية.
2. معادلة المستقيم. لا يتوقف الميل على النقطتين اللتين يُحسب بهما، وتقع نقطة على المستقيم الذي ميله $m$ والمارّ بـ $(x_0, y_0)$ إذا وفقط إذا كان $y - y_0 = m(x - x_0)$ ؛ ومن ذلك، لكل مستقيم معادلة $Ax + By + C = 0$ .
  تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية). يُبرهن في: معادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية.
3. المستقيمات المتوازية والمتعامدة. يكون مستقيمان مختلفان غير رأسيين متوازيين إذا وفقط إذا كان لهما الميل نفسه، ومتعامدين إذا وفقط إذا كان جداء ميليهما $-1$ .
  تستعمل: 2. معادلة المستقيم. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), B (صيغة المسافة). يُبرهن في: معادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية.
4. العمود أقصر طريق. إذا كانت $Q$ موقع العمود النازل من $P$ على المستقيم $r$ ، فإن كل نقطة أخرى $R$ من $r$ تحقق $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  تستعمل: 3. المستقيمات المتوازية والمتعامدة. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), B (صيغة المسافة). يُبرهن في: معادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية.
5. العمليات على المتجهات. يحقق جمع المتجهات وضربها في عدد مسلّمات الفضاء المتجهي الثماني، ومتجهان غير منعدمين يحققان $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ يولّدان كل متجه من المستوى بطريقة وحيدة.
  يُبرهن في: المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم.
6. الجداء السلمي والتعامد. الجداء السلمي $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ تبديلي وتوزيعي، ويحقق $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ ، ويكون متجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  تستعمل: 5. العمليات على المتجهات. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), B (صيغة المسافة). يُبرهن في: المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم.
7. كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية. تتحقق $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ ، ومنها $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ ، ولثلاث نقاط $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  تستعمل: 6. الجداء السلمي والتعامد. تستند إلى: F (المميز). يُبرهن في: المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم.
8. الإسقاط العمودي. إذا لم يكن $\vec{v}$ منعدمًا، يوجد عدد وحيد $t$ بحيث يكون $\vec{u} - t \vec{v}$ عموديًا على $\vec{v}$ ، وهو $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  تستعمل: 6. الجداء السلمي والتعامد. يُبرهن في: المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم.
9. المعادلة المتجهية والمتجه الناظمي. نقاط المستقيم المارّ بـ $P_0$ والذي متجه توجيهه $\vec{d}$ هي النقاط $P_0 + t \vec{d}$ ، ولكلٍّ منها وسيط وحيد $t$ ؛ والمتجه $\vec{n} = \left( A, B \right)$ عمودي على المستقيم $Ax + By + C = 0$ ، الذي نقاطه هي النقاط $P$ التي تحقق $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ .
  تستعمل: 2. معادلة المستقيم, 6. الجداء السلمي والتعامد. تستند إلى: C (المعادلة العامة للمستقيم). يُبرهن في: المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم.
10. المسافة من نقطة إلى مستقيم. المسافة من $(x_1, y_1)$ إلى المستقيم $Ax + By + C = 0$ هي $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ ، وتُبلغ عند موقع العمود.
  تستعمل: 4. العمود أقصر طريق, 8. الإسقاط العمودي, 9. المعادلة المتجهية والمتجه الناظمي. تستند إلى: C (المعادلة العامة للمستقيم). يُبرهن في: المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم.
المقطع 2 القطوع المخروطية المعرَّفة بالمسافات
- تعريف القطع المكافئ ببؤرة ومستقيم دليل، والحصول على معادلته، والبرهان على أن التمثيلات البيانية لكثيرات الحدود التربيعية هي بالضبط القطوع المكافئة ذات المحور الرأسي.
- قراءة رأس القطع المكافئ بإكمال المربع، وحسم نقاط تقاطعه مع المحور الأفقي بالمميز.
- استنتاج المعادلة المختصرة للقطع الناقص والمعادلة الأساسية للقطع الزائد، مع البرهان على العكس، والتعرّف على الدائرة بوصفها القطع الناقص ذا البؤرتين المنطبقتين.
- دراسة وضع مستقيم ووضع دائرة أخرى بالنسبة إلى دائرة، والبرهان على مبرهنة قوة نقطة.
- تمييز مماسات القطوع المخروطية بواسطة المميز، مع الاحتراز من المستقيمات الموازية للمحور أو للمقاربين، ومعالجة المستقيمات الرأسية على حدة.
1. معادلة القطع المكافئ. النقاط المتساوية البعد عن البؤرة $(h, k + f)$ وعن المستقيم الدليل $y = k - f$ هي بالضبط نقاط المنحنى $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ ، المتناظر بالنسبة إلى محوره $x = h$ .
  تستند إلى: B (صيغة المسافة), G (انسحاب التمثيلات البيانية). يُبرهن في: معادلة القطع المكافئ: التعاريف والخصائص.
2. القطع المكافئ وكثير الحدود التربيعي. التمثيلات البيانية لـ $y = ax^2 + bx + c$ ، حيث $a \neq 0$ ، هي بالضبط القطوع المكافئة ذات المحور الرأسي، مع $f = \frac{1}{4a}$ ، وقيمته المطلقة هي البعد البؤري.
  تستعمل: 11. معادلة القطع المكافئ. تستند إلى: E (إكمال المربع). يُبرهن في: معادلة القطع المكافئ: التعاريف والخصائص.
3. خاصية الانعكاس. يصنع المماس عند نقطة $P$ من القطع المكافئ زاويتين متساويتين مع الموازي للمحور المرسوم من $P$ ومع المستقيم الواصل بين $P$ والبؤرة.
  تستعمل: 11. معادلة القطع المكافئ. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), B (صيغة المسافة), F (المميز). يُبرهن في: معادلة القطع المكافئ: التعاريف والخصائص.
4. الرأس ونقاط التقاطع مع المحور. رأس $y = ax^2 + bx + c$ هو $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ ، وهو أخفض نقاطه إذا كان $a > 0$ وأعلاها إذا كان $a < 0$ ، ويقطع القطع المكافئ المحور $x$ في نقطتين أو في نقطة واحدة أو لا يقطعه، بحسب ما يكون $\Delta$ موجبًا أو منعدمًا أو سالبًا.
  تستعمل: 12. القطع المكافئ وكثير الحدود التربيعي. تستند إلى: E (إكمال المربع), F (المميز). يُبرهن في: توصيف القطوع المكافئة وتمثيلاتها البيانية.
5. المعادلة المختصرة للقطع الناقص. مع $b^2 = a^2 - c^2$ ، يكون القطع الناقص الذي بؤرتاه $(\pm c, 0)$ ومجموع مسافتيه $2a$ هو بالضبط المنحنى $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ، ومسافتا كل نقطة إلى البؤرتين هما $a + \frac{c}{a} x$ و $a - \frac{c}{a} x$ .
  تستند إلى: B (صيغة المسافة). يُبرهن في: معادلة القطع الناقص والدائرة.
6. معادلة الدائرة. الدائرة التي مركزها $(h, k)$ ونصف قطرها $r$ هي المنحنى $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ، وهي القطع الناقص الذي تنطبق بؤرتاه على المركز.
  تستعمل: 15. المعادلة المختصرة للقطع الناقص. تستند إلى: B (صيغة المسافة), G (انسحاب التمثيلات البيانية). يُبرهن في: معادلة القطع الناقص والدائرة.
7. التماس مع القطع الناقص. يكون مستقيم غير رأسي مماسًّا للقطع الناقص إذا وفقط إذا كان مميز المعادلة الناتجة عن تعويضه منعدمًا؛ وإذا كان موجبًا قطعه في نقطتين، وإذا كان سالبًا لم يلمسه. والمماسان الرأسيان الوحيدان هما $x = a$ و $x = -a$ .
  تستعمل: 15. المعادلة المختصرة للقطع الناقص. تستند إلى: F (المميز). يُبرهن في: معادلة القطع الناقص والدائرة.
8. وضع مستقيم. إذا كانت $\delta$ بعد المركز عن مستقيم، فإن هذا المستقيم لا يلمس الدائرة إذا كان $\delta > r$ ، ويلمسها عند موقع العمود وحده إذا كان $\delta = r$ ، ويقطعها في نقطتين إذا كان $\delta < r$ .
  تستعمل: 4. العمود أقصر طريق, 16. معادلة الدائرة. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), D (المسافة من نقطة إلى مستقيم), F (المميز). يُبرهن في: الدائرة: المماسات والأوضاع النسبية وقوة نقطة.
9. المماس عمودي على نصف القطر. يكون مستقيم يمرّ بنقطة $T$ من الدائرة مماسًّا إذا وفقط إذا كان عموديًا على نصف القطر الواصل بين المركز و $T$ ؛ ولا يمرّ بكل نقطة إلا مماس واحد.
  تستعمل: 3. المستقيمات المتوازية والمتعامدة, 4. العمود أقصر طريق, 18. وضع مستقيم. يُبرهن في: الدائرة: المماسات والأوضاع النسبية وقوة نقطة.
10. المحور الجذري والأوضاع النسبية. النقاط التي لها القوة نفسها بالنسبة إلى دائرتين مختلفتي المركز تكوّن مستقيمًا عموديًا على خط المركزين، وللدائرتين نقطتان مشتركتان إذا كان $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ ، ونقطة واحدة إذا كانت $d$ مساوية لأحد هذين الحدّين، وفي هذه الحالة، باستثناء نقطة التماس، تقع نقاط الصغرى داخل الكبرى في التماس الداخلي، وتقع نقاط كلٍّ منهما خارج الأخرى في التماس الخارجي، ولا نقطة مشتركة في غير ذلك.
  تستعمل: 3. المستقيمات المتوازية والمتعامدة, 7. كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية, 16. معادلة الدائرة, 18. وضع مستقيم. تستند إلى: C (المعادلة العامة للمستقيم), D (المسافة من نقطة إلى مستقيم). يُبرهن في: الدائرة: المماسات والأوضاع النسبية وقوة نقطة.
11. قوة نقطة. إذا قطع مستقيمٌ مارٌّ بـ $P$ الدائرةَ في $A$ و $B$ ، فإن $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ ، حيث $p = d^2 - r^2$ ؛ ومن نقطة خارجية يخرج مماسان بالضبط، طول كلٍّ منهما $\sqrt{p}$ .
  تستعمل: 18. وضع مستقيم, 19. المماس عمودي على نصف القطر, 20. المحور الجذري والأوضاع النسبية. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية). يُبرهن في: الدائرة: المماسات والأوضاع النسبية وقوة نقطة.
12. معادلة القطع الزائد. مع $b^2 = c^2 - a^2$ ، يكون القطع الزائد الذي بؤرتاه $(\pm c, 0)$ وفرق مسافتيه $2a$ هو بالضبط المنحنى $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ، الذي يقترب فرعاه من المقاربين $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
  تستند إلى: B (صيغة المسافة). يُبرهن في: معادلة القطع الزائد واشتقاقها.
13. القطع الزائد القائم. التمثيل البياني لـ $y = \frac{1}{x}$ هو القطع الزائد الذي بؤرتاه $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ و $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ والذي تختلف مسافتا كل نقطة منه إليهما بمقدار $2\sqrt{2}$ ؛ وهو قطع زائد قائم، ومقارباه هما المحوران.
  تستعمل: 22. معادلة القطع الزائد. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), B (صيغة المسافة). يُبرهن في: معادلة القطع الزائد واشتقاقها.
14. التماس مع القطع الزائد. يكون مستقيم غير موازٍ للمقاربين مماسًّا للقطع الزائد تمامًا عندما يكون المميز منعدمًا؛ والمستقيم الموازي لأحد المقاربين، دون أن ينطبق عليه، يقطعه في نقطة واحدة ويخترقه؛ والمماسان الرأسيان الوحيدان هما $x = a$ و $x = -a$ .
  تستعمل: 22. معادلة القطع الزائد. تستند إلى: F (المميز). يُبرهن في: معادلة القطع الزائد واشتقاقها.
المقطع 3 النظرية الموحّدة والمتباينات
- تصنيف المعادلات $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ بحسب إشارة $AC$ والطرف الثاني الذي يتركه إكمال المربعين.
- وصف القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد بوصفها محالّ مرتبطة ببؤرة ومستقيم دليل، بحسب اختلافها المركزي.
- البرهان على أن العبارة الخطية تحافظ على إشارتها في كل جهة من جهتي مستقيمها، وتأسيس طريقة نقطة الاختبار على ذلك.
- إثبات أن المناطق المعرَّفة بمتراجحات خطية محدّبة، وتوسيع طريقة نقطة الاختبار إلى القطوع المخروطية، والبرهان على أن الدالة الخطية تبلغ قيمتيها القصويين على مضلع محدّب محدود عند رأس، وعند رأس أيضًا على منطقة غير محدودة ذات رؤوس متى وُجدت هاتان القيمتان.
1. المعادلة العامة من الدرجة الثانية. كل معادلة $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ ، حيث $A$ و $C$ ليسا منعدمين معًا، تمثّل قطعًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا أو قطعًا مكافئًا، بحسب ما يكون $AC$ موجبًا أو سالبًا أو منعدمًا، أو إحدى حالاتها المنحلة، التي يحسم بينها الطرف الثاني $G$ الذي يتركه إكمال المربعين.
  تستعمل: 11. معادلة القطع المكافئ, 15. المعادلة المختصرة للقطع الناقص, 16. معادلة الدائرة, 22. معادلة القطع الزائد. تستند إلى: E (إكمال المربع), F (المميز), G (انسحاب التمثيلات البيانية). يُبرهن في: القطوع المخروطية: توصيف المكافئ والناقص والزائد وتمثيلها البياني.
2. مبرهنة البؤرة والمستقيم الدليل. النقاط التي تساوي مسافتها إلى بؤرة $F$ جداءَ $e$ في مسافتها إلى مستقيم دليل $L$ تكوّن قطعًا ناقصًا إذا كان $e < 1$ ، وقطعًا مكافئًا إذا كان $e = 1$ ، وقطعًا زائدًا إذا كان $e > 1$ .
  تستعمل: 11. معادلة القطع المكافئ, 15. المعادلة المختصرة للقطع الناقص, 22. معادلة القطع الزائد, 25. المعادلة العامة من الدرجة الثانية. تستند إلى: A (الهندسة الإقليدية), B (صيغة المسافة), E (إكمال المربع). يُبرهن في: القطوع المخروطية: توصيف المكافئ والناقص والزائد وتمثيلها البياني.
3. المستقيمان الدليلان للقطع الناقص وللقطع الزائد. في القطع الناقص والقطع الزائد اللذين اختلافهما المركزي $e = \frac{c}{a}$ ، تساوي مسافةُ كل نقطة إلى البؤرة $(c, 0)$ جداءَ $e$ في مسافتها إلى المستقيم $x = \frac{a}{e}$ ؛ أما الدائرة فليس لها مستقيم دليل.
  تستعمل: 15. المعادلة المختصرة للقطع الناقص, 22. معادلة القطع الزائد, 26. مبرهنة البؤرة والمستقيم الدليل. يُبرهن في: القطوع المخروطية: توصيف المكافئ والناقص والزائد وتمثيلها البياني.
4. مبرهنة أنصاف المستويات. العبارة $Ax + By + C$ موجبة في كل نقاط إحدى جهتي المستقيم $Ax + By + C = 0$ وسالبة في كل نقاط الجهة الأخرى؛ ومن ذلك طريقة نقطة الاختبار.
  تستند إلى: C (المعادلة العامة للمستقيم), H (قاعدة الإشارات). يُبرهن في: المتراجحات في المستوى والبرمجة الخطية.
5. العبارات على امتداد قطعة مستقيمة. على القطعة المستقيمة التي طرفاها $P$ و $Q$ ، تحقق العبارة الخطية $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ ، فتكون مناطق الحلول لأنظمة المتراجحات الخطية محدّبة؛ والعبارة من الدرجة الثانية التي لا تنعدم على قطعة مستقيمة تحافظ عليها على إشارتها، فيقسم كل قطع مخروطي المستوى إلى منطقتين أو ثلاث تصلح فيها طريقة نقطة الاختبار.
  تستعمل: 2. معادلة المستقيم, 28. مبرهنة أنصاف المستويات, 7. كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية, 14. الرأس ونقاط التقاطع مع المحور. تستند إلى: F (المميز), H (قاعدة الإشارات). يُبرهن في: المتراجحات في المستوى والبرمجة الخطية.
6. مبرهنة الرؤوس. تبلغ دالة $ax + by + c$ قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى على المنطقة غير الخالية والمحدودة لنظام من المتراجحات الخطية غير الصارمة، وتبلغ كلًّا منهما عند أحد رؤوسها؛ وإذا لم تكن المنطقة محدودة لكن كان لها رأس، أي إذا لم تحتوِ على مستقيمات كاملة، فإن كل قيمة عظمى أو صغرى تُبلغ تُبلغ أيضًا عند رأس.
  تستعمل: 29. العبارات على امتداد قطعة مستقيمة. يُبرهن في: المتراجحات في المستوى والبرمجة الخطية.

نحو الدوال المتسامية. تختم السلسلة دراسة المنحنيات الجبرية من الدرجتين الأولى والثانية. وتخرج الوحدة اللاحقة من الدوال الجبرية، لكن القطع الزائد يعود إلى الظهور فيها: فالمساحات تحت $y = \frac{1}{x}$ تسلك سلوك اللوغاريتمات، والنقطة $(\cosh t, \sinh t)$ ترسم الفرع الأيمن من $x^2 - y^2 = 1$ .

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
أقصر طريق مع قطع مكافئ
أكبر مثلث محاط بقوس من قطع مكافئ
دائرة أبولونيوس وقوة نقطة
المركز الصحي لثلاث قرى
بؤرتا قطع ناقص ومماساته
المماسان المتعامدان لقطع ناقص
مراكز الدوائر المماسة
مماس للقطع الزائد ومقارباه
مستقيم أويلر
دالة خطية على منطقة يحدّها قطع مكافئ