المصفوفات والبنى الجبرية: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة الخاصة بالمصفوفات والبنى الجبرية. ويجمع في سلسلة استنتاجية ما حقّقته دروسها السبعة: ضرب المصفوفات، المولود من تركيب التعويضات الخطية؛ والحل الكامل للأنظمة الخطية بطريقة غاوس-جوردان ومبرهنة روشيه-فروبنيوس؛ والمحدد بوصفه مساحة موجهة ومعيارًا للوحدانية؛ والمصفوفة العكسية والشروط المكافئة لقابلية القلب؛ وقراءة المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى؛ ونسخة الأعداد المركبة داخل المصفوفات؛ ومفاهيم الزمرة والحلقة الجبرية والحقل والتماثل، التي تسمّي ما هو مشترك بين كل تلك الحسابات. ويشرح كيف تستند الوحدة إلى نتائج الوحدات التي سبقت ودورة الجبر والهندسة 1، وما قُبل دون برهان، وكيف تمهّد للوحدة اللاحقة، الخاصة بالهندسة التحليلية في الفضاء، ولدورة التفاضل والتكامل 1. ويُختم بعشرة تحدّيات أصعب من مسائل الدروس، يجمع كل منها بين عدة دروس.

أهداف التعلم

إعادة بناء سلسلة التعاريف والمبرهنات في الوحدة، من ضرب المصفوفات إلى التماثلات، مع شرح أيّ نتيجة تستند إلى أيّ نتيجة.
ربط نتائج الوحدة بنتائج الوحدات التي سبقت ودورة الجبر والهندسة 1، ولا سيما بالأنظمة الخطية والمتجهات ودوران المحاور والشكل القطبي وحساب البواقي، والتمييز بين ما بُرهن عليه وما قُبل، واستشراف استعمالها في هندسة الفضاء.
حل مسائل تجمع بين المحددات والمصفوفات العكسية والتحويلات ومصفوفات الأعداد المركبة والبنى الجبرية، مع اختيار الأداة المناسبة في كل حالة.
نقل مسألة من بنية إلى أخرى بواسطة إسناد يحفظ العمليات، واستعمال لامتغيرات التماثل للحكم على زمرتين هل هما الزمرة نفسها.

ما حقّقته الوحدة

جبر المصفوفات والأنظمة الخطية

كانت نقطة الانطلاق ملاحظةً حول التعويضات الخطية. ففي الدرس الخاص بـالمصفوفات والعمليات على المصفوفات، حُصل على جدول التعويض المركّب بضرب جدولي التعويضين صفًّا في عمود، واتُّخذت هذه القاعدة تعريفًا للضرب. ونتجت منها التجميعية، بواسطة تبديل ترتيب مجموعين، والتوزيعية وكون المصفوفة المحايدة عنصرًا محايدًا؛ وفي الاتجاه المعاكس تبيّن أن الضرب ليس تبديليًا، وأنه يقبل قواسم الصفر، وأن هناك مصفوفات غير صفرية لها قوة صفرية. والمنقول يعكس ترتيب العوامل، $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ ، والأثر لا يميّز الترتيب، $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ ، ومن ثمّ فإن المعادلة $AB - BA = I$ ليس لها حل في أي درجة.

وبالضرب كُتب كل نظام خطي معادلةً واحدة $AX = B$ . وأثبت الدرس الخاص بـالأنظمة الخطية وطريقة غاوس-جوردان أن العمليات الأولية على الصفوف تحفظ الحلول وأن كل مصفوفة تُختزل إلى شكل درجي مختزل؛ وأثبت، بالاستقراء على عدد الأعمدة، أن هذا الشكل وحيد، ومن ثمّ فإن الرتبة لا تتوقف على مسار الحذف، وبرهن مبرهنة روشيه-فروبنيوس: يكون النظام متسقًا إذا وفقط إذا كان $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ ، وعندئذ تتوقف حلوله على $n - r$ من الوسطاء الحرة. ونتج من ذلك أن النظام الخطي لا يكون له أبدًا حلّان بالضبط، وأن النظام المتجانس الذي عدد معادلاته أقل من عدد مجاهيله له حلول غير تافهة.

المحدد والمصفوفة العكسية

غير أنه يهمّ، في الأنظمة المربعة، الحكمُ على الوحدانية دون إجراء الحذف كله. وقد فسّر الدرس الخاص بـالمحددات: الخصائص وقاعدة كرامر المحددَ من الدرجة الثانية بوصفه مساحة موجهة، وعرّفه في أي درجة بالتراجع، وأثبت بالاستقراء على الدرجة خصائصه الست، واستعملها لحسابه بالاختزال. وإذا كان الأمر كذلك، فإن كل عملية أولية تضرب المحدد في عدد غير صفري، ونتج من ذلك أن $\det A \neq 0$ إذا وفقط إذا كان $\operatorname{rank}(A) = n$ . وقد بُرهنت هناك مبرهنة الجداء، $\det(AB) = \det A \det B$ ، في الدرجة الثانية بحساب مباشر، وعبّرت قاعدة كرامر، المبرهنة في كل درجة بالمتممات الجبرية لعمود، عن كل مجهول بوصفه خارج قسمة محددين.

وأتمّ الدرس الخاص بـالمصفوفة العكسية هذا الشق. فأثبت أن المصفوفة العكسية وحيدة، وأنها موجودة إذا وفقط إذا كان المحدد غير منعدم، وأنها المصفوفة المصاحبة مقسومةً على المحدد؛ وأن معكوس الجداء يعكس ترتيب العوامل؛ وأن كل عملية أولية هي الضرب في مصفوفة أولية، ومن ثمّ فإن طريقة غاوس-جوردان تحوّل $\left( A, I \right)$ إلى $\left( I, A^{-1} \right)$ دون حساب محددات. وجُمع ذلك كله في مبرهنة واحدة للتكافؤات، تربط الدروس الأربعة التي سبقت؛ واستُنتج منها أنه يكفي التحقق من أحد جداءي التعريف، وبُرهنت بالمصفوفات الأولية في أي درجة مبرهنة جداء المحددات:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

هندسة المصفوفات

وأعطى الدرس الخاص بـالمصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى ذلك الحساب معنى هندسيًا. فبمبرهنة الأعمدة، تكون المصفوفات من الدرجة الثانية هي بالضبط التحويلات الخطية للمستوى، ويتعيّن كل منها بصورتَي متجهَي الأساس؛ وبهذا المبدأ حُصل على مصفوفات الدورانات والإسقاطات والانعكاسات والتحاكيات وعمليات القص. وتبيّن أن تركيب التحويلات هو ضرب مصفوفاتها، ومن ثمّ $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ و $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ؛ وتبيّن أن المحدد هو المعامل الذي تُضرب فيه المساحات، بإشارة سالبة إذا انعكس التوجيه؛ وكُتب دوران المحاور في معادلة الدرجة الثانية بوصفه الانتقال من $M$ إلى $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ ، مع الأثر والمحدد بوصفهما لامتغيرين.

وطبّق الدرس الخاص بـالأعداد المركبة بوصفها مصفوفات هذه القراءة على الضرب في عدد مركب. فالإسناد $M(a + bi) = aI + bJ$ تبايني ويحفظ الجمع والضرب؛ وفيه يكون مربع المقياس هو المحدد، والمرافق هو المنقول، والمقلوب هو المصفوفة العكسية، والشكل القطبي دورانًا يتبعه تحاكٍ، $M(z) = r R_\theta$ . ونتج من ذلك أن صيغتي أويلر ودي موافر هما قاعدة تركيب الدورانات، وأن مصفوفات الأعداد المركبة هي بالضبط المصفوفات التي تتبادل مع $J$ ، وأن رباعيات هاملتون تقبل هي أيضًا تمثيلًا بالمصفوفات، لم يعد جداؤه تبديليًا.

البنى

وأخيرًا، عزل الدرس الخاص بـالبنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول ما هو مشترك. فالزمرة مجموعة مزوّدة بعملية تجميعية، لها عنصر محايد ولكل عنصر فيها نظير؛ وفي كل زمرة يكون العنصر المحايد والنظائر وحيدة، وتصح قاعدة الاختزال و $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ ، دون استعمال التبديلية. وقادت الزمر الجزئية الدائرية والمجموعات المشاركة إلى مبرهنة لاغرانج: رتبة الزمرة الجزئية تقسم رتبة الزمرة. وأضافت الحلقات الجبرية والحقول عملية ثانية، وانطلاقًا من مبرهنة البواقي القابلة للقلب في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بالتطابقات، بُرهن أن $\mathbb{Z}_n$ حقل إذا وفقط إذا كان $n$ أوليًا. وأخيرًا، دقّقت التماثلات فكرة أن نظامين لهما جدول العمليات نفسه هما النظام نفسه.

لذلك تشكّل الوحدة سلسلة: التركيب يحفّز الضرب؛ والضرب يتيح كتابة الأنظمة معادلاتٍ $AX = B$ ؛ والحذف يحلّها والرتبة تصنّفها؛ والمحدد يحكم على الوحدانية والمصفوفة العكسية تعبّر عنها؛ وتركيب التحويلات يعيد إلى الضرب معناه الهندسي؛ والأعداد المركبة تظهر عائلةً من التحويلات مستقرة بالنسبة إلى الجمع والتركيب؛ ومفهوم الزمرة يبيّن أن وحدانية معكوس مصفوفة، ووحدانية مقلوب عدد، ووحدانية الدوران الذي يلغي دورانًا آخر، مبرهنة واحدة. ويجمع الرسم الآتي المقاطع الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكل منها موصولة بخط متصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط متقطع بالحلقة التي تثبت فيها، ما عدا التي تُقبل دون برهان أو تأتي من الوحدات التي سبقت أو من دورة الجبر والهندسة 1، فهذه تُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aالاستقراء. إذا تحققت خاصية في الحالة الأولى وانتقلت من كل حالة إلى الحالة التي تليها مباشرة، تحققت في الحالات جميعها؛ وقد بُرهن في الوحدة 1 من دورة الجبر والهندسة 1، ويُستعمل هنا للمجاميع المزدوجة والحذف والقوى والدورانات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bتجميعية الضرب. تتحقق $(AB)C = A(BC)$ كلما كانت الجداءات معرّفة، بحيث يُجمَّع جداء عدة مصفوفات كما يناسب دون تغيير ترتيب العوامل. تثبت في: 2. خصائص الضرب.
Cمبرهنة الأعمدة. كل تحويل خطي للمستوى هو تحويل مصفوفة وحيدة، أعمدتها صورتا $\vec{e}_1$ و $\vec{e}_2$ . تثبت في: 16. أعمدة المصفوفة.
Dصيغ المجموع. جيب وجيب تمام المجموع والفرق والزاوية المضاعفة، المبرهنة في الوحدة 2 الخاصة بحساب المثلثات التحليلي. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eمتجهات المستوى. بعد نقطة عن مستقيم، والإسقاط العمودي، ومعيار التوازي، المبرهنة في الوحدة 4 من دورة الجبر والهندسة 1، الخاصة بالهندسة التحليلية في المستوى. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fمساحة متوازي الأضلاع. مساحة متوازي الأضلاع هي جداء قاعدة في الارتفاع المناظر لها؛ وتُقبل، كما في الهندسة الأولية، في برهان مبرهنة المساحة الموجهة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Gالبواقي والتطابقات. القسمة مع الباقي، والتطابق بترديد $n$ ، وتلاؤمه مع الجمع والضرب، وأصناف البواقي، ومبرهنة البواقي القابلة للقلب، التي تنص على أن $a$ له مقلوب بترديد $n$ إذا وفقط إذا كان $\operatorname{gcd}(a, n) = 1$ ، وكلها مبرهنة في الوحدة 1 من دورة الجبر والهندسة 1، في الدرسين الخاصين بقابلية القسمة وبالتطابقات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

المقطع 1 جبر المصفوفات والأنظمة الخطية
- تعريف ضرب المصفوفات انطلاقًا من تركيب التعويضات الخطية، وكتابة كل نظام خطي معادلةً $AX = B$ .
- إثبات التجميعية والتوزيعية وكون المصفوفة المحايدة عنصرًا محايدًا، وإدراك أن الضرب ليس تبديليًا وأنه يقبل قواسم الصفر.
- إثبات أن المنقول يعكس ترتيب العوامل وأن الأثر لا يميّز الترتيب.
- إثبات أن الشكل الدرجي المختزل وحيد وتعريف الرتبة به.
- حل كل نظام خطي بطريقة غاوس-جوردان وتصنيفه بمبرهنة روشيه-فروبنيوس.
1. ضرب المصفوفات. المُدخلة $(i, j)$ من $AB$ هي مجموع جداءات مُدخلات الصف $i$ من $A$ في مُدخلات العمود $j$ من $B$ ؛ وبذلك يُحصل على جدول تركيب تعويضين خطيين، ويُكتب كل نظام خطي على الصورة $AX = B$ .
  يُبرهن في: المصفوفات والعمليات على المصفوفات.
2. خصائص الضرب. بتبديل ترتيب مجموعين، يكون ضرب المصفوفات تجميعيًا وتوزيعيًا بالنسبة إلى الجمع، والمصفوفات المحايدة عنصره المحايد؛ لكنه في المقابل ليس تبديليًا ويقبل قواسم الصفر والمصفوفات معدومة القوى. وفضلًا عن ذلك، $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ و $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ ، ومن ثمّ فإن المعادلة $AB - BA = I$ ليس لها حل.
  تستعمل: 1. ضرب المصفوفات. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: المصفوفات والعمليات على المصفوفات.
3. طريقة غاوس-جوردان. العمليات الأولية على الصفوف تحوّل نظامًا إلى نظام آخر مكافئ له، وكل مصفوفة تُختزل بها، بعدد منته من العمليات، إلى شكل درجي مختزل.
  تستعمل: 1. ضرب المصفوفات. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: الأنظمة الخطية وطريقة غاوس-جوردان.
4. وحدانية الشكل المختزل. كل شكلين درجيين مختزلين يُوصل إليهما من مصفوفة واحدة متساويان، لأن لنظاميهما المتجانسين الحلول نفسها؛ لذلك فإن الرتبة، أي عدد الصفوف غير الصفرية في أي شكل درجي، لا تتوقف على العمليات المختارة.
  تستعمل: 3. طريقة غاوس-جوردان. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: الأنظمة الخطية وطريقة غاوس-جوردان.
5. روشيه-فروبنيوس. النظام $AX = B$ ، ذو المصفوفة الموسعة $M$ وعدد المجاهيل $n$ ، متسق إذا وفقط إذا كان $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ ، وعندئذ يكون ذا حل وحيد إذا كانت الرتبة $n$ ، ويتوقف على $n - r$ من الوسطاء الحرة إذا كان $r < n$ ؛ وبوجه خاص، للنظام $AX = 0$ حلول غير تافهة إذا وفقط إذا كان $\operatorname{rank}(A) < n$ .
  تستعمل: 3. طريقة غاوس-جوردان, 4. وحدانية الشكل المختزل. يُبرهن في: الأنظمة الخطية وطريقة غاوس-جوردان.
المقطع 2 المحدد والمصفوفة العكسية
- تفسير المحدد من الدرجة الثانية بوصفه مساحة موجهة، وتعريفه في أي درجة بالتراجع.
- إثبات خصائص المحدد بالاستقراء على الدرجة، وحسابه بالاختزال، والحكم به على وحدانية الحلول.
- توصيف المصفوفات القابلة للقلب، وحساب المصفوفة العكسية بالمصفوفة المصاحبة وبطريقة غاوس-جوردان.
- جمع الشروط المكافئة لقابلية القلب في مبرهنة واحدة، واستنتاج المعكوس من جهة واحدة ومبرهنة جداء المحددات منها.
1. المساحة الموجهة. القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة ذات العمودين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يعيّنانه، وإشارته تدل على أن الدوران من $\vec{u}$ إلى $\vec{v}$ عكس اتجاه عقارب الساعة أو في اتجاهها.
  تستند إلى: E (متجهات المستوى), D (صيغ المجموع), F (مساحة متوازي الأضلاع). يُبرهن في: المحددات: الخصائص وقاعدة كرامر.
2. خصائص المحدد. بالاستقراء على الدرجة، انطلاقًا من النشر وفق الصف الأول، يكون المحدد خطيًا بالنسبة إلى كل صف، وتتغير إشارته عند تبديل صفين، وينعدم إذا كان أحد الصفوف صفريًا أو كان صفّان متساويين، ولا يتغير عند إضافة مضاعف صف إلى صف آخر ولا عند النقل، ويساوي جداء عناصر القطر في المصفوفة المثلثية، ويُنشر وفق أي صف أو عمود.
  تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: المحددات: الخصائص وقاعدة كرامر.
3. المحدد والرتبة. يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة $n$ محدد غير منعدم، أي تكون غير شاذة، إذا وفقط إذا كانت رتبتها $n$ ؛ لذلك يكون للنظام $AX = 0$ حلول غير صفرية إذا وفقط إذا كانت $A$ شاذة، أي إذا كان $\det A = 0$ .
  تستعمل: 3. طريقة غاوس-جوردان, 4. وحدانية الشكل المختزل, 5. روشيه-فروبنيوس, 7. خصائص المحدد. يُبرهن في: المحددات: الخصائص وقاعدة كرامر.
4. قاعدة كرامر. إذا كان $D = \det A \neq 0$ ، فإن للنظام $AX = B$ ، المكوّن من $n$ معادلة في $n$ مجهولًا، حلًّا وحيدًا، $x_k = \frac{D_k}{D}$ ، حيث ينتج $D_k$ من تعويض العمود $k$ بعمود الحدود الثابتة؛ ويُبرهن ذلك في كل درجة بالمتممات الجبرية للعمود $k$ .
  تستعمل: 2. خصائص الضرب, 5. روشيه-فروبنيوس, 7. خصائص المحدد, 8. المحدد والرتبة. يُبرهن في: المحددات: الخصائص وقاعدة كرامر.
5. وحدانية المصفوفة العكسية. للمصفوفة المربعة مصفوفة عكسية واحدة على الأكثر: إذا كان $AB = BA = I$ و $AD = DA = I$ ، فإن $B = D$ .
  تستند إلى: B (تجميعية الضرب). يُبرهن في: المصفوفة العكسية.
6. المحدد وقابلية القلب. تكون المصفوفة المربعة $A$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $\det A \neq 0$ ، أي إذا كانت غير شاذة، وعندئذ تكون مصفوفتها العكسية هي المصفوفة المصاحبة مقسومةً على المحدد؛ ويُحصل على اللزوم بواسطة الرتبة، دون استعمال محدد الجداء، وعلى الكفاية بواسطة توطئة المتممات الجبرية الغريبة.
  تستعمل: 5. روشيه-فروبنيوس, 7. خصائص المحدد, 8. المحدد والرتبة. تستند إلى: B (تجميعية الضرب). يُبرهن في: المصفوفة العكسية.
7. خصائص المصفوفة العكسية. إذا كانت $A$ و $B$ قابلتين للقلب، فإن $AB$ و $A^{\mathsf{T}}$ و $cA$ حيث $c \neq 0$ و $A^m$ قابلة للقلب أيضًا، وبوجه خاص $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  تستعمل: 2. خصائص الضرب, 10. وحدانية المصفوفة العكسية. تستند إلى: B (تجميعية الضرب), A (الاستقراء). يُبرهن في: المصفوفة العكسية.
8. المصفوفة العكسية بطريقة غاوس-جوردان. كل عملية أولية هي الضرب في مصفوفة أولية قابلة للقلب؛ فإذا كان الشكل الدرجي المختزل لـ $A$ هو $I$ ، حوّلت العمليات $\left( A, I \right)$ إلى $\left( I, A^{-1} \right)$ ، وكانت $A$ جداء مصفوفات أولية، وإن لم يكن كذلك فإن $A$ غير قابلة للقلب.
  تستعمل: 3. طريقة غاوس-جوردان, 4. وحدانية الشكل المختزل, 12. خصائص المصفوفة العكسية. تستند إلى: B (تجميعية الضرب). يُبرهن في: المصفوفة العكسية.
9. التوصيفات والمعكوس من جهة واحدة. للمصفوفة المربعة $A$ من الدرجة $n$ تتكافأ الشروط: أن تكون قابلة للقلب، وأن يكون $\det A \neq 0$ ، وأن يكون لكل نظام $AX = D$ حل وحيد، وألّا يكون للنظام $AX = 0$ إلا الحل التافه، وأن يكون $\operatorname{rank}(A) = n$ ، وأن يكون شكلها الدرجي المختزل هو المصفوفة المحايدة. ويلزم من ذلك أنه إذا كان $AB = I$ أو $BA = I$ ، فإن $B = A^{-1}$ .
  تستعمل: 5. روشيه-فروبنيوس, 4. وحدانية الشكل المختزل, 11. المحدد وقابلية القلب, 13. المصفوفة العكسية بطريقة غاوس-جوردان. تستند إلى: B (تجميعية الضرب). يُبرهن في: المصفوفة العكسية.
10. محدد الجداء. لكل مصفوفتين مربعتين $A$ و $B$ من الدرجة نفسها يتحقق $\det(AB) = \det A \det B$ : ويُبرهن ذلك بالمصفوفات الأولية إذا كانت $A$ قابلة للقلب، وبواسطة الرتبة إن لم تكن.
  تستعمل: 7. خصائص المحدد, 8. المحدد والرتبة, 13. المصفوفة العكسية بطريقة غاوس-جوردان, 14. التوصيفات والمعكوس من جهة واحدة. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: المصفوفة العكسية.
المقطع 3 هندسة المصفوفات
- مطابقة المصفوفات من الدرجة الثانية مع التحويلات الخطية للمستوى، والحصول على مصفوفات الدورانات والإسقاطات والانعكاسات.
- ترجمة تركيب التحويلات إلى ضرب المصفوفات، والمحدد إلى معامل المساحات.
- كتابة دوران المحاور على صورة مصفوفية، مع الأثر والمحدد بوصفهما لامتغيرين.
- تمثيل الأعداد المركبة بالمصفوفات، مع المقياس والمرافق والمقلوب والشكل القطبي.
1. أعمدة المصفوفة. كل تحويل معرّف بمصفوفة تحويلٌ خطي، وكل تحويل خطي للمستوى هو تحويل مصفوفة وحيدة، هي التي عموداها $T(\vec{e}_1)$ و $T(\vec{e}_2)$ .
  تستعمل: 2. خصائص الضرب. يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
2. الدورانات والإسقاطات والانعكاسات. الدوران بزاوية $\theta$ حول نقطة الأصل، والإسقاط على مستقيم يمر بنقطة الأصل، والانعكاس فيه، تحويلات خطية مصفوفاتها $R_\theta$ و $P_\alpha$ و $S_\alpha$ .
  تستند إلى: C (مبرهنة الأعمدة), D (صيغ المجموع), E (متجهات المستوى). يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
3. التركيب والجداء. إذا كان $T$ التحويل ذا المصفوفة $A$ و $U$ التحويل ذا المصفوفة $B$ ، فإن التركيب $T \circ U$ هو التحويل ذو المصفوفة $AB$ .
  تستند إلى: B (تجميعية الضرب), C (مبرهنة الأعمدة). يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
4. تركيب الدورانات والانعكاسات. تتحقق $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ و $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ و $R_\theta^n = R_{n\theta}$ و $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  تستعمل: 17. الدورانات والإسقاطات والانعكاسات, 18. التركيب والجداء. تستند إلى: D (صيغ المجموع), A (الاستقراء). يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
5. المحدد بوصفه معامل المساحة. التحويل ذو المصفوفة $A$ ينقل المربع الواحدي إلى متوازي الأضلاع المنشأ على أعمدتها، ويضرب المساحات في $\abs{\det A}$ ، وهذا يُقبل في المناطق العامة؛ ويحفظ التوجيه إذا كان $\det A > 0$ ويعكسه إذا كان $\det A < 0$ .
  تستعمل: 6. المساحة الموجهة. تستند إلى: C (مبرهنة الأعمدة). يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
6. التحويلات القابلة للقلب. التحويل ذو المصفوفة $A$ تقابلي إذا وفقط إذا كان $\det A \neq 0$ ، وعندئذ يكون معكوسه التحويل ذا المصفوفة $A^{-1}$ ؛ وإذا كان $\det A = 0$ ، فإن صورته محتواة في مستقيم يمر بنقطة الأصل.
  تستعمل: 11. المحدد وقابلية القلب, 18. التركيب والجداء. تستند إلى: E (متجهات المستوى). يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
7. دوران المحاور بالمصفوفات. عند تدوير المحاور بالزاوية $\theta$ ، تصير المصفوفة المتناظرة $M$ لصيغة تربيعية $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ ، ولها الأثر نفسه والمحدد نفسه اللذان لـ $M$ .
  تستعمل: 2. خصائص الضرب, 7. خصائص المحدد, 15. محدد الجداء, 19. تركيب الدورانات والانعكاسات. يُبرهن في: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
8. الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات. الإسناد $M(a + bi) = aI + bJ$ تبايني ويحفظ الجمع والضرب، و $J$ ، مصفوفة $i$ ، هي الدوران بربع دورة كاملة، ومربعها $-I$ .
  تستعمل: 1. ضرب المصفوفات, 17. الدورانات والإسقاطات والانعكاسات. يُبرهن في: الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات.
9. المقياس والمرافق والمقلوب. محدد $M(z)$ هو $\abs{z}^2$ ، ومصفوفة المرافق هي منقول $M(z)$ ، وإذا كان $z \neq 0$ ، فإن مصفوفة $z^{-1}$ هي المصفوفة العكسية لـ $M(z)$ .
  تستعمل: 10. وحدانية المصفوفة العكسية, 20. المحدد بوصفه معامل المساحة, 23. الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات. يُبرهن في: الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات.
10. الشكل القطبي ودي موافر. إذا كان $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ، فإن $M(z) = r R_\theta$ ، أي دوران يتبعه تحاكٍ؛ ومن $R_\theta^n = R_{n\theta}$ تلزم صيغة دي موافر لكل أس صحيح.
  تستعمل: 19. تركيب الدورانات والانعكاسات, 23. الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات, 24. المقياس والمرافق والمقلوب. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات.
المقطع 4 البنى
- تعريف الزمر وإثبات خصائصها الأولية دون استعمال التبديلية.
- دراسة الزمر الجزئية الدائرية وإثبات مبرهنة لاغرانج.
- تعريف الحلقات الجبرية والحقول، والحكم متى تكوّن البواقي $\mathbb{Z}_n$ حقلًا.
- تحديد متى تكون زمرتان البنية نفسها بواسطة التماثلات.
1. خصائص الزمر. في كل زمرة يكون العنصر المحايد ونظير كل عنصر وحيدين، وتصح قاعدة الاختزال من كل جهة و $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ ، دون استعمال التبديلية.
  يُبرهن في: البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول.
2. الزمرة الجزئية الدائرية. في الزمرة المنتهية يكون لكل عنصر $g$ رتبة $k$ ، ويتحقق $g^m = e$ إذا وفقط إذا كان $k$ يقسم $m$ ، والقوى $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ تكوّن زمرة جزئية عدد عناصرها $k$ .
  تستعمل: 26. خصائص الزمر. تستند إلى: G (البواقي والتطابقات). يُبرهن في: البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول.
3. مبرهنة لاغرانج. رتبة الزمرة الجزئية من زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة، لأن الزمرة تتوزع إلى مجموعات مشاركة منفصلة، في كل منها من العناصر بقدر ما في الزمرة الجزئية.
  تستعمل: 26. خصائص الزمر. يُبرهن في: البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول.
4. البواقي تكوّن حقلًا. من أجل $n \geq 2$ ، تكوّن البواقي $\mathbb{Z}_n$ حقلًا إذا كان $n$ أوليًا، لأن كل باقٍ غير صفري له مقلوب بمبرهنة البواقي القابلة للقلب؛ وإذا كان $n$ مؤلّفًا، فلها قواسم صفر ولا تكوّن حقلًا.
  تستند إلى: G (البواقي والتطابقات). يُبرهن في: البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول.
5. ما يحفظه التماثل. التماثل بين زمرتين ينقل العنصر المحايد إلى العنصر المحايد، ونظير كل عنصر إلى نظير صورته، وكل عنصر إلى عنصر له الرتبة نفسها، ويحفظ التبديلية.
  تستعمل: 26. خصائص الزمر, 27. الزمرة الجزئية الدائرية. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول.

نحو هندسة الفضاء. لا تتوقف السلسلة هنا: ففي الوحدة اللاحقة، يعطي المحدد من الدرجة الثالثة الجداء المتجهي والجداء المختلط وحجم متوازي السطوح، وتحكم الرتبة والمصفوفة العكسية على تقاطعات المستقيمات والمستويات وتحسبها، بحيث يصير جبر هذه الوحدة أداة هندسة الفضاء.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورتين
نحو هندسة الفضاء وما بعدها
تقييم الخروج
التحدّيات
مصفوفة الصغريات
مصفوفة عكسية يتغير حجمها
المصفوفات التي مكعبها المصفوفة المحايدة
دوران بثلاث عمليات قص
السنة مجموعًا لمربعين
المحدد الدوراني
إطفاء الأضواء
فيبوناتشي بترديد خمسة
المصفوفات القابلة للقلب على حقل منته
زمرة مصفوفات رتبتها ثمانية