انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الدوال الكسرية: المقاربات والتمثيل البياني

ملخص

الدالة الكسرية هي خارج قسمة كثيرتي حدود. يعلّم هذا الدرس دراستها ورسم تمثيلها البياني رسمًا تقريبيًا بأداتين جبريتين: جدول الإشارات وقسمة كثيرات الحدود. فأصفار المقام تحدد مجال التعريف وتعطي، بحسب انعدام البسط عندها أو عدمه، نقاطًا قابلة للإزالة أو مقاربات عمودية، يقرر جدول الإشارات بجوارها إلى أين يفلت المنحنى. والقسمة تكتب الدالة على شكل كثيرة حدود مضافًا إليها كسر يؤول إلى الصفر، وكثيرة الحدود هذه هي المقارب الأفقي أو المائل أو المنحني الذي يقترب منه التمثيل البياني عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية. وبنقاط التقاطع مع المحورين يكتمل الرسم التقريبي، ويُحصل على المدى بعزل المتغير متى أمكن ذلك أو، في غير ذلك، انطلاقًا من سلوك الفروع.

أهداف التعلم

  1. تحديد مجال تعريف دالة كسرية والتمييز، بين أصفار المقام، بين النقاط القابلة للإزالة والمقاربات العمودية.
  2. وصف سلوك دالة كسرية على كل جانب من مقارب عمودي بواسطة جدول إشاراتها.
  3. إيجاد المقارب الأفقي أو المائل أو المنحني لدالة كسرية، بواسطة قسمة كثيرات الحدود، ووضع التمثيل البياني بالنسبة إليه.
  4. رسم التمثيل البياني لدالة كسرية رسمًا تقريبيًا وتحديد مداها، بدقة حين يمكن حل المعادلة y=f(x)y = f(x)، وفي غير ذلك بالقدر الذي تسمح به فروعها.
  5. نمذجة مواقف تطبيقية بدوال كسرية، مثل القدرة التي تقدّمها بطارية، أو متوسط تكلفة إنتاج، أو تركيز خليط، وتفسير مقارباتها ومداها في السياق.

الدوال الكسرية ومجال تعريفها

في الدرس الخاص بـالدوال الجبرية سُمّيت كسرية كل دالة هي خارج قسمة كثيرتي حدود، مقامها ليس كثيرة الحدود المنعدمة:

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

يتكوّن مجال تعريفها من الأعداد الحقيقية التي لا تعدم المقام. وإيجاده يقتضي إذن إيجاد جذور QQ، ولذلك تفيد صيغة حل المعادلة التربيعية وتقنيات الدرس الخاص بـتحليل كثير الحدود التربيعي، مع مبرهنتي الباقي والعامل من الدرس الخاص بـجبر كثيرات الحدود. فكل دراسة لدالة كسرية تبدأ، تبعًا لذلك، بتحليل مقامها إلى عوامل.

غير أن أصفار المقام لا تؤدي كلها الدور نفسه. فكما رأينا في الدرس الخاص بـجداول الإشارات والمتراجحات، إذا كان عدد rr يعدم معًا QQ وPP، فإن كلتا كثيرتي الحدود، بمبرهنة العامل، تقبل القسمة على x−rx - r، ويُختصر العامل المشترك في جميع نقاط مجال التعريف. وإذا لم يعد مقام الكسر المبسَّط ينعدم عند rr، فإن العدد rr نقطة قابلة للإزالة: التمثيل البياني لـff هو تمثيل الكسر المبسَّط محذوفةً منه نقطة واحدة، وكانت الدالة لتصبح معرّفة عند rr لو أُسندت إليها قيمة الكسر المبسَّط. أما إذا ظل العدد rr، بعد اختصار جميع العوامل المشتركة، يعدم المقام، فإن المستقيم x=rx = r مقارب عمودي، كما سيُدقَّق فيما يلي. ولذلك يحسن تبسيط الكسر قبل دراسته، دون نسيان أن الأعداد المختصرة تبقى خارج مجال التعريف.