الدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي

القوة ذات الأس الحقيقي

في الدرس الخاص بـالقوى ذات الأسس النسبية عُرّفت $a^x$ من أجل $a > 0$ و$x$ نسبي، وبُرهن أن التعريف لا يتوقف على الكسر الذي يُكتب به الأس، وأن قوانين الأسس صحيحة، وأنه إذا كان $a > 1$ فإن القوة تتزايد بتزايد الأس: إذا كان $r < s$ عددين نسبيين فإن $a^r < a^s$. في المقابل، يبقى تعبير مثل $2^{\sqrt{2}}$ بلا معنى، لأن $\sqrt{2}$ ليس كسرًا، ولا يوجد جذر ولا قوة صحيحة تعرّفه.

غير أن $\sqrt{2}$ أكبر من الأعداد النسبية $1$ و$\frac{7}{5}$ و$\frac{141}{100}$ و$\frac{1414}{1000}$، التي تقترب منه من الأدنى، والقوى $2^1$ و$2^{\frac{7}{5}}$ و$2^{\frac{141}{100}}$ و$2^{\frac{1414}{1000}}$ تكوّن متتالية متزايدة، قيمها تقريبًا 2؛ 2,639؛ 2,657 و2,665. ولا تتجاوز أيٌّ منها $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$، لأن كل هذه الأسس أصغر من $\frac{3}{2}$. وإذا كان الأمر كذلك، فمن الطبيعي تعريف $2^{\sqrt{2}}$ بأنه أصغر عدد لا تتجاوزه أي قوة $2^r$ حيث $r$ نسبي و$r \leq \sqrt{2}$، أي بوصفه حدًّا أعلى أصغر؛ ووجوده يضمنه تمام الأعداد الحقيقية، الذي قُدّم في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية.

التعريف بواسطة الحد الأعلى الأصغر

ليكن $a > 1$ وليكن $x$ عددًا حقيقيًا. نسمّي $A_x$ مجموعة القوى $a^r$ حيث $r$ نسبي و$r \leq x$. القوة ذات الأس الحقيقي $a^x$ هي الحد الأعلى الأصغر للمجموعة $A_x$. وإذا كان $0 < a < 1$، نعرّف $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$، حيث الأساس $\frac{1}{a}$ أكبر من $1$؛ ونعرّف $1^x = 1$ لكل عدد حقيقي $x$.

يتضمن التعريف دعويين يجب البرهان عليهما: أن الحد الأعلى الأصغر موجود، وأنه إذا كان $x$ نسبيًا فإن العدد الجديد $a^x$ هو نفسه العدد المعروف من قبل. ومن دون الدعوى الثانية، يكون للرمز $a^x$ معنيان بالنسبة إلى الأسس النسبية.

والتعريف من أجل الأساسات الأصغر من $1$ يمدّد هو أيضًا التعريف المعروف من قبل: إذا كان $0 < a < 1$ و$r$ نسبيًا، فبقوانين الأسس النسبية $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$. وفضلًا عن ذلك، تنتج من التعريف مباشرةً قاعدة ستُستعمل كثيرًا: من أجل كل أساس $a > 0$ وكل عدد حقيقي $x$، قوة مقلوب الأساس هي القوة ذات الأس المعاكس. وبالفعل، إذا كان $a > 1$، فإن الأساس $\frac{1}{a}$ أصغر من $1$، وبالتعريف $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$؛ وإذا كان $0 < a < 1$، فإن الأساس $\frac{1}{a}$ أكبر من $1$، وتعريف $a^{-x}$ هو بالضبط $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$.

الرتابة

أول استعمال للتعريف هو وضع $a^x$ بين القوى النسبية: إذا كان الأساس أكبر من $1$، فكل أس نسبي أصغر من $x$ يعطي قوة أصغر من $a^x$، وكل أس نسبي أكبر يعطي قوة أكبر. ومن ذلك تنتج الرتابة من أجل أي أسس حقيقية.

إذا كان $a > 1$، فإن للرتابة قراءة في الاتجاهين: من أجل أي عددين حقيقيين $u$ و$v$، يتحقق $u < v$ إذا وفقط إذا $a^u < a^v$، و$u = v$ إذا وفقط إذا $a^u = a^v$. وبالفعل، لو كان $u \geq v$ لكان $a^u \geq a^v$. وإذا كان الأساس بين $0$ و$1$، فإن التكافؤ يصح مع عكس المتباينة. وهكذا تُقارَن قوى ذات أساس واحد بمقارنة أسسها.