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Topos Uranos
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高阶导数与微分

摘要

本课对导数再求导。函数的导数是另一个函数，它本身还可以再求导：这样就得到二阶导数、三阶导数，一般地得到 nn 阶导数；对于幂函数、指数函数、正弦和余弦，它有一个封闭的公式，用归纳法证明。乘积的 nn 阶导数遵循与二项式的幂相同的规律：这就是莱布尼茨公式。本课的后半部分分别赋予莱布尼茨记号中的符号 dy\mathrm{d}y 和 dx\mathrm{d}x 以意义：微分 dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x 是函数增量的线性部分，是唯一一个与增量之差相对于自变量的增量可以忽略的部分。借助微分可以求近似值，并估计测量误差如何传播，但暂不打算给出近似误差的界。

学习目标

  1. 定义高阶导数及其定义域，并用归纳法求出幂函数、指数函数、正弦、余弦和多项式的 nn 阶导数。
  2. 证明乘积的 nn 阶导数的莱布尼茨公式，并在其中一个因子是多项式时加以应用。
  3. 定义微分并证明它是增量的主部，区分 Δy\Delta y 与 dy\mathrm{d}y。
  4. 用微分求近似值并估计相对误差，清楚近似说明了什么、没有说明什么。

高阶导数

函数的导数是另一个函数，没有什么妨碍再对它求导。x3x^3 的导数是 3x23x^2，3x23x^2 的导数是 6x6x；6x6x 的导数是 66，66 的导数是 00。若 s(t)s(t) 是一个运动物体在时刻 tt 的位置，它的导数 s′(t)s'(t) 就是速度，而速度的导数衡量速度本身变化的快慢，就是加速度；关于变化率的那一课将研究这种解读。如同在关于作为极限的导数的那一课中那样，应当准确确定每个导数在哪里有定义。

定义高阶导数

设 ff 是定义在 AA 上的函数。ff 的高阶导数用递归方式定义：00 阶导数是函数本身，而 n+1n + 1 阶导数是 nn 阶导数的导函数：

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

由导函数的定义，n+1n + 1 阶导数的定义域是 f(n)f^{(n)} 的定义域中使 f(n)f^{(n)} 可导的点所成的集合。称 ff nn 阶可导于点 aa，是指 aa 属于 f(n)f^{(n)} 的定义域；称它在集合 SS 上如此，是指它在 SS 的每一点处都如此；称它在 SS 上无穷次可导，是指它对任意 nn 都如此。前几阶用撇号表示：f′′=f(2)f'' = f^{(2)}（二阶导数）和 f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}；从四阶起把阶数写在括号里，如 f(4)f^{(4)}，以免与幂混淆。若 y=f(x)y = f(x)，在莱布尼茨记号中写作 d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} 和 dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}，而求导 nn 次的运算写作 dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}。

在莱布尼茨记号中，分子的指数表示运算 ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 施行的次数，分母的指数作用于整个符号 dx\mathrm{d}x，而不作用于变量 xx；完整的符号 d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} 作为一个整体来读。若 ff 在某点处 nn 阶可导，则每个阶数小于 nn 的导数都在该点可导，因而由关于作为极限的导数的那一课中可导必连续的定理，在该点连续。即使一阶导数存在，二阶导数也可能不存在：关于求导法则的那一课说明了 x∣x∣x \abs{x} 在整个 R\mathbb{R} 上可导，导数为 2∣x∣2\abs{x}，而由连续而不可导的命题，绝对值在 00 处不可导。因此 x∣x∣x \abs{x} 在 R\mathbb{R} 上可导一次，而只在 R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} 上可导两次，在那里它的二阶导数取值 22（在 00 的右侧）和 −2-2（在左侧）。

为了不重复关于定义域的假设，一般性命题中的函数都看作定义在开区间 II 上，它的点都是 II 的聚点。这样做并无损失：由关于求导法则的那一课中导数的局部性引理的第二个结论，在包含于定义域内的开区间的一点处，函数的导数等于它在该区间上的限制的导数；由归纳法，高阶导数也是如此。因此，1x\frac{1}{x} 在 (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} 上和在 (0,∞)\ioo{0}{\infty} 上研究。

引理高阶导数的线性性

设 ff 和 gg 是定义在开区间 II 上且 nn 阶可导于 II 的函数，并设 α\alpha 是实数。则 h=αf+gh = \alpha f + g nn 阶可导于 II，且 h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}（在 II 上）。 将关于求导法则的那一课中线性组合的导数的定理应用 nn 次。

证明

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    当 n=1n = 1 时，这就是线性组合的导数的定理，在 II 的每一点处应用。

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    若等式对 nn 成立，且 ff 和 gg 是 n+1n + 1 阶可导于 II 的，则函数 h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} 是两个在 II 上可导的函数的线性组合；由同一定理，它在 II 上可导。由数学归纳原理，等式对任意 nn 成立。