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Topos Uranos
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费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理

摘要

本课从导数在一点处所说的，过渡到它在一个区间上所说的。本课定义极值，并证明费马引理：若函数在其定义域的一个内点处取得极值且在该点可导，则其导数为零；证明来自关于变化率的那一课中一点处导数的符号这一命题。费马引理与前一课的魏尔斯特拉斯定理一起给出罗尔定理；罗尔定理应用于函数与其弦之差，给出拉格朗日中值定理，据此某条切线平行于弦；应用于两个函数的某种组合，则给出柯西中值定理，接下来的一课将用它证明洛必达法则。由中值定理得到最初的整体性推论：在区间上导数为零的函数是常数，导数相同的两个函数相差一个常数，导数的界给出增量的界，函数的两个零点之间有其导数的一个零点，而导数的极限若存在，就是导数。简单的情形表明，定理的任何条件都不可省略。

学习目标

  1. 用量词表述什么是极值，并证明费马引理，区分它给出的必要条件与充分条件。
  2. 证明罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理，在图像上解读它们，并用反例说明其条件不可省略。
  3. 由中值定理推出在区间上导数为零的函数是常数，并由导数的界得到不等式与误差界。
  4. 计数方程的根，用罗尔定理从上方、用波尔查诺定理从下方估计其个数。

极值与费马引理

关于魏尔斯特拉斯定理的那一课保证，在有界闭区间上连续的函数取得最大值与最小值，但没有说在哪里取得。为了确定它们的位置，需要一个只看点附近的概念：一个值可以是邻近的值中最大的，而不是所有值中最大的。

定义极值与内点

设 ff 是定义在集合 AA 上的函数，x0x_0 是 AA 的元素。称 ff 在 x0x_0 处取得极大值，如果存在 δ>0\delta > 0，使得 ff 在 AA 中的点（与 x0x_0 的距离小于 δ\delta）处的任何值都不超过 f(x0)f(x_0)；称它在 x0x_0 处取得极小值，如果这些值都不小于 f(x0)f(x_0)：

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

极值是指极大值或极小值。点 x0x_0 称为 AA 的内点，如果存在 r>0r > 0，使得 (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A。

若 ff 在 AA 上于点 x0x_0 处取得最大值（按前一课的意义），则它在该点取得极大值，且 δ\delta 可任取；反之不成立。考虑 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x。由于 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x)，f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) 对任意 x≤2x \leq 2 成立：函数在 −1-1 处取得极大值（取 δ=3\delta = 3），这个极大值不是它在 R\mathbb{R} 上的最大值，因为 f(3)=18f(3) = 18。区间的内点是除属于它的端点以外的所有点；[a,b]\icc{a}{b} 的内点就是 (a,b)\ioo{a}{b} 的点。极值可以在边界上：函数 xx 在 [0,1]\icc{0}{1} 上于 00 处取得最小值，于 11 处取得最大值。

定理费马引理

设 ff 是定义在集合 AA 上的函数，aa 是 AA 的内点。若 ff 在 aa 处取得极值且在 aa 处可导，则 f′(a)=0f'(a) = 0。 若导数为正，导数符号的命题会在 aa 右侧很近处给出大于 f(a)f(a) 的值；若导数为负，则会在左侧给出这样的值。图中以 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 及其在 a=−1a = -1 处的极大值说明，为什么两种斜率都不可能。

证明

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    先设 ff 在 aa 处取得极大值（取某个 δ0>0\delta_0 > 0），并设 r>0r > 0 使得区间 I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} 包含于 AA。设 FF 为 ff 在 II 上的限制。每个 xx（属于 AA 且满足 ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r）都在 II 中；由关于求导法则的那一课中导数的局部性引理，FF 在 aa 处可导，且导数相同。

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    若 f′(a)>0f'(a) > 0，则关于变化率的那一课中一点处导数的符号这一命题，应用于 FF 在开区间 II 上，给出一个 δ>0\delta > 0，使得 f(x)>f(a)f(x) > f(a) 对任意 xx（属于 II 且满足 a<x<a+δa < x < a + \delta）成立。设 ρ\rho 为数 δ\delta、δ0\delta_0 与 rr 中最小者。点 a+ρ2a + \frac{\rho}{2} 属于 II，满足该条件，且与 aa 的距离小于 δ0\delta_0：函数在该点的值将既大于 f(a)f(a) 又不大于它。因此 f′(a)>0f'(a) > 0 是不可能的。

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    若 f′(a)<0f'(a) < 0，则同一命题（值之间的不等式反向）给出一个 δ>0\delta > 0，使得 f(x)>f(a)f(x) > f(a) 对任意 xx（属于 II 且满足 a−δ<x<aa - \delta < x < a）成立，而点 a−ρ2a - \frac{\rho}{2} 导致同样的矛盾。既然导数既不为正也不为负，它就等于零。

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    若 ff 在 aa 处取得极小值，则 −f-f 在该点取得极大值，且由关于求导法则的那一课中线性组合的导数定理，它在 aa 处可导，导数为 −f′(a)-f'(a)。由已证明的结论，该导数为零。

定理给出的是必要条件，而非充分条件：x3x^3 在 00 处导数为零，却不在该处取得任何极值，因为它在 00 左侧取负值，在右侧取正值。另外两个条件也不可省略。若 aa 不是内点，导数可以不为零：函数 xx 在 [0,1]\icc{0}{1} 上于 11 处取得最大值，而它在该点的导数，即差商的左极限（因为定义域在 11 右侧没有点），等于 11。若 ff 在 aa 处不可导，定理什么也不说：∣x∣\abs{x} 在 00 处取得最小值，而它在该点不可导。因此，函数的极值要在导数为零的内点、不可导的点以及不是内点的点中寻找；关于单调性的那一课将给这些点命名，并给出判定哪些是极值的判别法。关于求导法则的那一课的例题 1 注意到，xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} 的水平切线在图像的最大值与最小值处与图像相切，并预告这不是巧合：在 R\mathbb{R} 上可导且取得最大值的函数，必在一个内点处取得它，而费马引理在该点使导数为零。