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Topos Uranos
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魏尔斯特拉斯最值定理

摘要

本课开启从逐点到整体的过渡。函数在一点处的连续性只控制该点附近的函数；魏尔斯特拉斯定理断言，若函数在有界闭区间的所有点处连续，则它在整个区间上有界，并在其上取得最大值和最小值。这两个结论都借助上确界、用完备性公理来证明，与波尔查诺定理一样：有界性，借助函数直到其处都保持有界的那些点的上确界，以及关于极限与连续性的那一课中的局部有界性；最大值的存在，借助函数值的上确界，以及一个辅助函数，假如该上确界取不到，这个辅助函数就会连续而无界。本课用反例说明任何一个条件都不能去掉，推出有界闭区间的像是同类型的区间，并推出若函数在两个端点处取值相同，则它的最大值和最小值之一在内部取得；最后把定理应用于正函数、周期函数和在整条直线上有定义的函数。

学习目标

  1. 区分函数值的上确界与函数的最大值，并用量词表述函数在一个集合上取得最大值或最小值。
  2. 用完备性公理证明在有界闭区间上连续的函数有界，并且取得最大值和最小值。
  3. 用反例说明，若区间不是闭的、不是有界的，或函数不连续，则定理不成立，并认识到定理的条件是充分的而非必要的。
  4. 将该定理与介值定理及无穷远处的极限结合起来，求有界闭区间的像，并证明函数在不是有界闭区间的定义域上取得最值。

函数的最大值、最小值与上确界

前两个单元研究的是函数在一点处的性质：极限、连续性和导数描述的是在 aa 附近发生的事。然而，许多问题涉及整个集合：函数在一个区间上取到的最大的值是多少（如果存在的话），或者在哪一点取得。函数 xx 在 (0,1)\ioo{0}{1} 上没有比其他所有值都大的值：对该区间中的每个 xx，数 x+12\frac{x + 1}{2} 也在该区间中，而且更大。它的值趋近于 11 而取不到它。因此应当区分两个概念：值的最小上界，只要值有界它就存在；以及最大值，它是函数的一个值。

定义有界函数；函数在集合上的最大值与最小值

设 ff 是定义在集合 AA 上的函数，SS 是 AA 的非空子集。称 ff 在 SS 上有上界，如果存在数 KK，使得 f(x)≤Kf(x) \leq K 对任意 xx（属于 SS）成立；称它有下界，如果存在 KK，使得 f(x)≥Kf(x) \geq K 对任意 xx（属于 SS）成立；称它有界，如果两者兼备，即存在 KK，使得 ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K 对任意 xx（属于 SS）成立。称 ff 在 SS 上于点 x0x_0（属于 SS）处取得最大值，如果值 f(x0)f(x_0) 不被 ff 在 SS 上的任何其他值超过；称它在 x0x_0 处取得最小值，如果在 SS 上没有更小的值：

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

数 f(x0)f(x_0) 称为 ff 在 SS 上的最大值（或最小值），记作 max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x)（或 min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)）；点 x0x_0 称为最大值点（或最小值点）。

最大值若存在则是唯一的，因为两个最大值将各自大于或等于对方；最大值点则可以不唯一：余弦的最大值 11 在 [0,4π]\icc{0}{4\pi} 上于三个点处取得：00、2π2\pi 和 4π4\pi。关于极值与最值的那一课将指出，这些就是最大值与最小值，它们不同于只把 f(x0)f(x_0) 与附近的值相比较的极大值与极小值。

若 ff 在 SS 上有上界，则它的值的集合 f(S)f(S) 非空且有上界；由完备性公理（在关于实数轴的那一课中回顾过），它有上确界，记作 sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x)。两个概念之间的关系很简单：ff 在 SS 上取得最大值，当且仅当它的值的上确界是其中之一，此时二者相等。事实上，若 f(x0)f(x_0) 是最大值，它就是 f(S)f(S) 的一个上界并且属于 f(S)f(S)，而任何更小的数都不可能是上界；反过来，若上确界是一个值 f(x0)f(x_0)，则没有任何值超过它。函数 xx 在 (0,1)\ioo{0}{1} 上有界，其上确界为 11 而取不到；其下确界为 00，也取不到。魏尔斯特拉斯定理给出了使这种情况不会发生的条件。