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Topos Uranos
中文 (中国)

行列式：性质与克拉默法则

摘要

本课把一个数推广到任意阶的方阵：在课程 代数与几何 I 中关于线性方程组的课里，这个数判定由两个方程组成、含两个未知数的方程组是否有唯一解。本课把二阶行列式解释为以矩阵的两列为边的平行四边形的有向面积；用按第一行展开定义三阶行列式，并说明它与萨吕法则一致；再以递推方式定义 nn 阶行列式。本课从这一定义出发，对阶数用归纳法证明行列式的性质（对每一行的线性、两行互换、零行或相同的行、加另一行的倍数、转置以及三角矩阵），并把它们用于化简计算以及行列式与秩的关系。本课在二阶情形证明乘积的行列式定理（其一般证明在关于逆矩阵的课里给出），并在任意阶证明克拉默法则；各题把行列式用于三角形的面积、范德蒙德行列式、斐波那契数的卡西尼恒等式，以及过三点的圆。

学习目标

  1. 用按一行展开和萨吕法则计算二阶与三阶行列式，并把二阶行列式解释为有向面积。
  2. 对阶数用归纳法证明行列式的性质，并用它们通过化为三角矩阵来计算任意阶的行列式。
  3. 把行列式与秩以及矩阵的乘积联系起来，并用它判定一个矩阵是否奇异。
  4. 用克拉默法则解含 nn 个方程、nn 个未知数的方程组，并把行列式用于解析几何与数列的问题。

二阶行列式与有向面积

在课程 I 中关于一次方程、一次不等式与线性方程组的课里，由两个方程组成的方程组的行列式被定义为数 D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1，并证明了克拉默法则：若 DD 不为零，则方程组恰有一个解。在关于平面向量的课里，用两个向量的坐标组成的同一个数判定它们是否平行。然而，在关于矩阵及其运算的课里引入了方阵，在关于高斯-若尔当消元法的课里，每个线性方程组都写成了 AX=BAX = B 的形式。若是如此，就宜把那个数看作系数矩阵的函数，并把它推广到任意阶的方阵。

方阵 AA 为二阶时，其行列式是主对角线上的元素之积减去另一条对角线上的元素之积。记作 det⁡A\det A，或把矩阵的元素写在两条竖线之间。
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

由两个方程组成的方程组的行列式就是其系数矩阵的行列式；系数矩阵的第一列是 xx 的系数，第二列是 yy 的系数，其行列式为 a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D。这里的竖线并不表示绝对值，因为行列式可以是负数；例如：

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

二阶矩阵的两列是平面向量，而紧接着陈述的有向面积定理赋予行列式一种几何意义，顺便也解释了课程 I 中关于向量的课里的平行判别法。

定理有向面积

设 u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) 和 v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) 是平面向量，设 AA 是以 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 为列的矩阵。由同一起点画出的 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 的箭头所确定的平行四边形，其面积等于 det⁡A\det A 的绝对值。此外，若两个向量都不是零向量且不平行，则 det⁡A\det A 在以下情形为正：把 u⃗\vec{u} 的方向转到 v⃗\vec{v} 的方向、转角小于半周的旋转是逆时针的；在该旋转是顺时针时为负。

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

若 u⃗\vec{u} 为零向量，平行四边形退化为一条线段，行列式为零；因此设 u⃗\vec{u} 不是零向量。证明要用到课程 I 中关于向量的课里得到的点到直线的距离、关于极坐标的课里的极坐标，以及关于两角和与差公式的课里的差角正弦公式。图中以 u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) 和 v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right) 演示证明过程。

证明

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    如初等几何中那样，承认平行四边形的面积等于一条底边乘以对应的高。取表示 u⃗\vec{u} 的边为底边，它位于过原点、具有该方向的直线上；该直线的方程是 −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0，原点和 u⃗\vec{u} 的终点都满足它。由法向量定理，向量 n⃗\vec{n} 垂直于这条直线，且其模等于 u⃗\vec{u} 的模。

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    高是 v⃗\vec{v} 的终点到这条直线的距离。在距离公式中取原点作为直线上的点，于是从直线指向该点的向量就是 v⃗\vec{v} 本身。

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    面积等于底乘高，u⃗\vec{u} 的模与 n⃗\vec{n} 的模约去。在图中，底为 10\sqrt{10}，高为 510\frac{5}{\sqrt{10}}，面积为 55。

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    为确定符号，用极坐标写出这两个向量：rr 和 ss 是它们的模，α\alpha 和 β\beta 是它们与横轴正半轴所成的角，于是 u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) 且 v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right)。由差角正弦公式，行列式等于 rsrs 乘以从 u⃗\vec{u} 到 v⃗\vec{v} 的角的正弦。

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    由于 rs>0rs > 0，行列式与 sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha) 同号；后者在 β−α\beta - \alpha 位于 0∘0^\circ 与 180∘180^\circ 之间（可相差 360∘360^\circ 的整数倍）时为正，即 v⃗\vec{v} 可由 u⃗\vec{u} 逆时针旋转不到半周得到时为正；在相反的情形为负。它为零当且仅当 β−α\beta - \alpha 是 180∘180^\circ 的倍数，即两向量平行。在图中，β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ；交换两列后，把 v⃗\vec{v} 转到 u⃗\vec{u} 的旋转是顺时针的，符号随之改变。

这条定理说明了二阶行列式为什么称为有向面积：它的绝对值度量面积，它的符号表示把第一列转到第二列的旋转方向。课程 I 中关于向量的课里的平行判别法正是面积为零的情形：两个向量平行，恰好当它们确定的平行四边形被压扁到一条直线上。当矩阵作为平面变换作用时，行列式与任意图形面积之间的关系，将在关于作为平面变换的矩阵的课里研究。