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Topos Uranos
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棣莫弗公式与复数的乘方

摘要

本课证明棣莫弗公式，根据这个公式，复数的整数次幂（指数为 nn，复数的模为 11、辐角为 θ\theta）的辐角是 nθn\theta；本课还从五个方向应用这个公式。它不展开乘积而计算高次幂，并判定幂何时为实数或等于 11；把该公式与二项式定理相比较，重新得到多倍角公式；把余弦与正弦的幂表示为多倍角余弦之和，这一运算称为线性化；把角成等差数列的正弦之和与余弦之和作为复数的等比求和来计算；并把二项式系数的若干和作为 1+i1 + i 的幂的实部与虚部求出。

学习目标

  1. 对任意整数指数证明棣莫弗公式，并从几何上解释复数的幂。
  2. 借助极坐标形式计算复数的幂，并判定它们何时为实数或等于 11。
  3. 推导多倍角公式，并把正弦与余弦的幂线性化。
  4. 把三角和与二项式系数的和作为复数的和与幂的实部与虚部来计算。

棣莫弗公式

在关于复数的极坐标形式的课里，每个非零复数都写成了 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)，其中 r=∣z∣r = \abs{z} 是它的模，θ\theta 是它的一个辐角；并且利用两角和的正弦与余弦公式证明了：在乘积中，模相乘，辐角相加。对两个模为 11 的复数，这个乘积定理写成：

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

如果两个因子相等，乘积就是平方，辐角为 2θ2\theta；再乘以同一个因子，就得到立方，辐角为 3θ3\theta。重复相乘时，辐角与自身相加，相加的次数等于因子的个数，因此乘方归结为把一个角乘以一个整数。这一事实就是本课的主题：亚伯拉罕·棣莫弗在十八世纪初以等价的形式使用过它，欧拉在 1748 年把它写成了现在的形式。

定理棣莫弗公式

对任意实数 θ\theta 和任意整数 nn，下面的等式成立。

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

证明分为三部分：指数 00，自然数指数（用归纳法），以及负指数（借助倒数）。这里使用的数学归纳原理采用课程 代数与几何 I 中关于求和、数列与归纳法的课里的形式，整数指数幂则来自关于复数的课，其中 z0=1z^0 = 1，z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}。图形在半径为 11 的圆上跟随证明，取一个较小的角 θ\theta，并取 n=3n = 3。

证明

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    当 n=0n = 0 时，左边按定义等于 11，右边也是如此，因为 cos⁡0=1\cos 0 = 1 且 sin⁡0=0\sin 0 = 0。

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    当 n=1n = 1 时，等式显然成立。归纳假设：设它对某个自然数 nn 成立。

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    指数大一的幂等于原来的幂与底数之积，而原来的幂按归纳假设代换。

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    展开乘积后，实部和虚部正是关于两角和与差公式的课中两角和的余弦与正弦公式的右边：这就是极坐标形式下的乘积与商定理。于是得到 n+1n + 1 时的公式，由数学归纳原理，它对一切自然数成立。

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    由乘积定理，cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta 乘以 cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) 得 cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1，所以后一个数是前一个数的倒数。由于余弦是偶函数、正弦是奇函数，这个倒数就是共轭复数。

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    若 n=−mn = -m，其中 mm 为自然数，则由幂的运算法则，指数为 −m-m 的幂是倒数的 mm 次幂。对角 −θ-\theta 应用自然数指数的情形。

这个公式可以推广到一切非零复数，因为乘积的幂等于幂的乘积，对负指数也是如此：乘积的倒数等于倒数的乘积。

定理极坐标形式下的幂

若 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 是非零复数，则对任意整数 nn 有 zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)：znz^n 的模是 rnr^n，而 nθn\theta 是 znz^n 的一个辐角。 把实因子与模为 11 的因子分开，并对后者应用棣莫弗公式。图形用一个模略大于 11 的复数并取 n=3n = 3 来跟随证明，最后给出 z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) 及其前三个幂。

证明

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    乘积的幂等于幂的乘积：对自然数指数，这由乘法的交换律与结合律得出；对负指数，则是因为乘积的倒数等于倒数的乘积。

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    对第二个因子应用棣莫弗公式，它对任意整数 nn 成立。

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    由于 r>0r > 0，幂 rnr^n 是正实数，nn 为负时也是如此。由极坐标形式下的相等定理，所得表达式是 znz^n 的一个极坐标形式：它的模是 rnr^n，而 nθn\theta 是它的辐角之一。

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    取 z=3+iz = \sqrt{3} + i，各幂的模为 22、44 和 88，辐角为 π6\frac{\pi}{6}、π3\frac{\pi}{3} 和 π2\frac{\pi}{2}：立方是纯虚数。

由此可知，幂 z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots 的模构成公比为 rr 的等比数列，辐角构成公差为 θ\theta 的等差数列，这是在课程 I 中关于求和与数列的课的意义上说的。若 r=1r = 1，它们都在半径为 11 的圆上，每一个相对于指数小一的那个幂旋转了角 θ\theta；若 r>1r > 1，它们边旋转边远离原点；若 r<1r < 1，则边旋转边靠近原点。此外，由于 zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k，而乘以 zz 是旋转角 θ\theta 与比为 rr 的伸缩的复合，所以所有以 00、zkz^k 和 zk+1z^{k + 1} 为顶点的三角形都与以 00、11 和 zz 为顶点的三角形相似，这在关于极坐标形式的课中已经证明。

例题幂的螺线

设 zz 是模为 1110\frac{11}{10}（略大于 11）、辐角为 π4\frac{\pi}{4} 的复数。我们计算它直到八次幂的若干幂，并描述它们所在的曲线。

证明

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    这个数的极坐标形式与代数形式如下。

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    由极坐标形式下的幂定理，平方的辐角为 π2\frac{\pi}{2}：它是纯虚数。

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    四次幂的辐角为 π\pi：它是负实数。

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    八次幂的辐角为 2π2\pi：转过整整一周后，它回到正实半轴上，到原点的距离略大于 22。

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    由乘积的模的定理，相邻两个幂之间的距离也按公比为 1110\frac{11}{10} 的等比数列增长。这些点位于这样一条曲线上：在关于极坐标与极坐标曲线的课中研究过的极坐标下，它的方程是 r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}；这是一条螺线，称为对数螺线，可以用微分学证明，它与过原点的每条直线总以同一个角相交。