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Topos Uranos
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极坐标与极坐标曲线

摘要

本课介绍命名平面上的点的第二种方式：用它到一个定点（极点）的距离，以及它与一条定射线（极轴）所成的角。本课采用允许负极径的约定，描述同一个点的所有表示，推导极坐标与笛卡儿坐标之间的互化公式（反正切需按象限修正），并用余弦定理求出两点之间的距离。随后研究直线和圆的极坐标方程、对称性判别，以及用数值表画心形线、玫瑰线、阿基米德螺线和帕斯卡蜗线，最后给出焦点在极点的圆锥曲线的极坐标方程，并由它读出曲线的类型、顶点和通径。

学习目标

  1. 用极坐标表示点，认出同一个点的所有表示，并在极坐标与笛卡儿坐标之间相互转化。
  2. 在极坐标中计算距离，把直线和圆的方程从一个坐标系转化到另一个坐标系，既不丢失也不添加极点。
  3. 把对称性判别和数值表用于画极坐标曲线：心形线、玫瑰线、螺线和蜗线。
  4. 推导焦点在极点的圆锥曲线的极坐标方程，并从中读出离心率、顶点和通径。

极坐标

笛卡儿坐标已在课程 I 中关于直线的方程与笛卡儿坐标系的课中研究过，它用一个点到两条互相垂直的直线的有向距离来命名这个点。然而，许多曲线用到一个定点的距离和从该点看它的方向来描述更为自然：绕圆心的圆、以恒定速度展开的螺线、绕太阳运行的行星轨道。对这些曲线，适合用极坐标系，它由一个定点 OO（称为极点）和从该点出发的一条定射线（称为极轴）组成。为使两个坐标系并存，把极点放在原点，把极轴放在横轴的正半轴上。

设 rr 和 θ\theta 是两个实数。极坐标为 (r,θ)(r, \theta) 的点，是平面上笛卡儿坐标如下的点

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

若 r>0r > 0，它是到极点的距离为 rr、位于标准位置的角 θ\theta 的终边上的点（标准位置已在关于角及其度量的课中研究过）：它就是单位圆上的点 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)（在关于三角比的课中定义）把坐标乘以 rr 所得的点。数 rr 称为极径，角 θ\theta（以弧度计）称为极角。

定义也允许 r=0r = 0 和 r<0r < 0，这就是本课的约定。当 r=0r = 0 时得到极点，无论 θ\theta 取何值。当 r<0r < 0 时，得到的点到极点的距离为 −r-r，方向与 θ\theta 的方向相反：由关于三角比的课中的对称性 cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta 与 sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta，数对 (−r,θ)(-r, \theta) 与 (r,θ+π)(r, \theta + \pi) 给出同一个点。

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

许多教材要求 r≥0r \geq 0；允许负极径有两个好处，本课都将用到：过极点、方向为 α\alpha 的直线可以整条地用方程 θ=α\theta = \alpha 描述，而像玫瑰线这样的曲线可以连续地描出。代价是同一个点有更多的表示。由此得到一条应当从现在起就确定的规则：只要一个点的某一个表示满足极坐标方程，这个点就属于该方程的曲线，即使其他表示不满足它。

引理点的表示

设 (r1,θ1)(r_1, \theta_1) 是不同于极点的点 PP 的一个表示。数对 (r2,θ2)(r_2, \theta_2) 也表示 PP，当且仅当 r2=r1r_2 = r_1 且 θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi（对某个整数 kk），或者 r2=−r1r_2 = -r_1 且 θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi（对某个整数 kk）。极点是由数对 (0,θ)(0, \theta)（θ\theta 任意）表示的点。

这里用到平方关系，以及关于角及其度量的课中对终边相同的角的刻画：两个角给出单位圆上的同一个点，当且仅当它们相差 2π2\pi 的整数倍。

证明

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    一个点到极点的距离与所选的表示无关：由平方关系，x2+y2x^2 + y^2 等于 r2r^2。因此，同一个点的两个表示满足 r22=r12r_2^2 = r_1^2，而极点是唯一满足 r=0r = 0 的点。

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    若 r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0，把两个点的坐标都除以 r1r_1：单位圆上的点 (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) 与 (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) 重合，而这恰好在两个角终边相同时发生。

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    若 r2=−r1r_2 = -r_1，数对 (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) 与 (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi) 给出同一个点，由前面的论证，θ2+π\theta_2 + \pi 与 θ1\theta_1 终边相同。由于 2k−12k - 1 取遍所有奇数（当 kk 取遍整数时），这正是引理所断言的。

于是，极坐标为 (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) 的点也有表示 (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) 和 (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right)，它们多转一周或少转一周，还有 (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) 或 (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right)，它们朝相反方向看并向后量取。

从笛卡儿坐标到极坐标

公式 x=rcos⁡θx = r \cos \theta 与 y=rsin⁡θy = r \sin \theta 给出从极坐标到笛卡儿坐标的转化。反向的转化要求在所有可能的表示中选出一个；通常取满足 r>0r > 0 且 θ\theta 在区间 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 中的那个表示。求角时用关于反三角函数的课中的反正切函数，它在 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 中取值，因此只能看到第一和第四象限的角：在另外两个象限中，必须加上或减去 π\pi 来修正它。

定理从笛卡儿坐标到极坐标

每个不同于极点的点 (x,y)(x, y) 都有唯一的极坐标表示 (r,θ)(r, \theta)，满足 r>0r > 0 且 θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}。它的极径为 r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}，它的极角由如下公式的五种情形给出。

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

思路是把问题归结到单位圆上：在那里，过极点的直线的斜率确定两个相对的点，而横坐标的符号在两者之间作出选择。

证明

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    由前面的引理，r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2，而由于 r>0r > 0，极径就是平方根。除以 rr 后，所求的角是单位圆上点 QQ 的角；由按弧长行进公理的覆盖性质（这条公理已在角及其度量一课中承认），这个点存在，并且它的角在 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 中唯一，因为这个区间（长为 2π2\pi）中的两个角不可能终边相同。

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    若 x=0x = 0，点 QQ 是 (0,1)(0, 1) 或 (0,−1)(0, -1)（取决于 yy 的符号），由正弦与余弦的特殊角的值，角为 π2\frac{\pi}{2} 或 −π2-\frac{\pi}{2}。

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    若 x≠0x \neq 0，θ\theta 的正切就是连接极点与该点的直线的斜率 m=yxm = \frac{y}{x}。角 α=arctan⁡m\alpha = \arctan m 具有这个正切，并且位于 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 中，在那里余弦为正。

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    单位圆上恰有两个点从极点看去斜率为 mm：若 (u,v)(u, v) 是其中之一，则 v=muv = mu 且 u2+v2=1u^2 + v^2 = 1。它们是相对的点，所以一个横坐标为正，另一个为负；由角 α+π\alpha + \pi 的对称性，它们是角 α\alpha 与 α+π\alpha + \pi 的点。

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    若 x>0x > 0，点 QQ 的横坐标为正，且 θ=α\theta = \alpha。若 x<0x < 0，它是 α+π\alpha + \pi 的点。此外，当 y≥0y \geq 0 时，斜率为负或为零，α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0}，而 α+π\alpha + \pi 已经在 (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi} 中；当 y<0y < 0 时，斜率为正，需要减去一周，α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi。

例如，点 (−1,1)(-1, 1) 在第二象限：它的极径为 2\sqrt{2}，又因为 arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}，它的极角为 −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}。一个计算器若只给出 yx\frac{y}{x} 的反正切，而不分别考虑 xx 和 yy 的符号，就会返回 −π4-\frac{\pi}{4}，这是相对的点 (1,−1)(1, -1) 的角。