跳至内容
Topos Uranos
中文 (中国)

曲率与曲率半径

摘要

本课度量函数图像在一点处弯曲的程度。切线是在该点处与函数具有相同的值和相同的导数的直线；密切圆则是除此之外还具有相同的二阶导数的圆。把圆的方程求导两次可得，在圆上的每一点处，一阶导数与二阶导数的某个组合恰好等于其半径；据此，本课证明：若函数的二阶导数不为零，则密切圆存在且唯一，并给出它的圆心与半径，即曲率半径。曲率半径的倒数就是曲率，它在二阶导数为零之处为零。接着证明曲率中心是邻近法线交点的极限，正如惠更斯所见，并证明交换坐标轴时曲率不变，这使得在切线竖直之处也能度量曲率。这些问题判断密切圆是否穿过图像，求出指数函数曲率最大的点、椭圆曲率最大与最小的点以及悬链线的曲率半径，并研究直线与圆弧之间曲率的跳跃。

学习目标

  1. 定义函数图像在一点处的密切圆，证明当二阶导数不为零时它存在且唯一，并计算其圆心与半径。
  2. 计算图像在一点处的曲率与曲率半径，解释曲率为零的含义，并求出图像曲率最大或最小的点。
  3. 把曲率中心作为法线交点的极限求出，并通过交换坐标轴的角色，在切线竖直之处度量曲率。
  4. 用高阶导数判别法判断密切圆是穿过图像，还是只位于图像的一侧。

密切圆

ff 的图像在 (a,f(a))(a, f(a)) 处的切线，是在 aa 处与 ff 具有相同的值和相同的导数的直线。关于凹凸性与拐点的那一课表明：若 f′′(a)≠0f''(a) \neq 0，则图像在 aa 附近只位于其切线的一侧：当 f′′(a)>0f''(a) > 0 时在切线上方，当 f′′(a)<0f''(a) < 0 时在切线下方。但它没有说明图像偏离切线多少，即弯曲了多少。为了度量这一点，宜将它与始终同样弯曲的曲线即圆相比较：小圆弯曲得厉害，大圆弯曲得轻微。圆不是函数的图像，因为每条穿过其内部的竖直直线都与它相交两次；但它的两半中的每一半，去掉端点后，都是函数的图像。

引理半圆的导数

设 (h,k)(h, k) 是平面上的一点，r>0r > 0，σ\sigma 等于 11 或 −1-1，并设 u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}（其中 xx 属于 (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}），当 σ=1\sigma = 1 时其图像是上半圆，当 σ=−1\sigma = -1 时是下半圆，圆心为 (h,k)(h, k)，半径为 rr，不含端点。则 uu、u′u' 与 u′′u'' 在 (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r} 上可导，u(x)≠ku(x) \neq k，并且在区间的每一点 xx 处：

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

因此，u′′(x)u''(x) 不为零且与 −σ-\sigma 同号，从而下半圆严格下凸，上半圆严格上凸，并且在其所有点处：

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

证明

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    若 xx 属于该区间，则 r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0，从而 u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} 不为零，并且 uu 可导，依据的是常见复合函数的导数这一推论（出自关于链式法则的那一课）。平方之后，uu 的图像落在圆上：

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    两边在该区间上是 xx 的同一个函数，它们的导数相等：这就是关于反函数的导数与隐函数求导的那一课中的隐函数求导，用于一个已知可导的函数。解出一阶导数，u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} 是两个可导函数之商，分母不为零，由商法则（出自关于求导法则的那一课）可导；再求导一次就得到第二个等式，由它可知 u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} 也是两个可导函数之商。

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    由于 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0，二阶导数不为零，且与 u(x)−ku(x) - k 异号，而后者的符号就是 σ\sigma 的符号；由下凸性与二阶导数这一推论，即得严格下凸或严格上凸。由第一个等式，1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 等于 (x−h)2(x - h)^2 与 (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2 之和（它等于 r2r^2）除以 (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2。

在圆上，切线的斜率与二阶导数随点而变，但引理中的组合不变：它总等于半径。这启发我们用它来度量任意图像弯曲的程度。在此之前，宜先求出在一点处与图像吻合得最好的圆，即与图像直到二阶导数都相同的圆。

定义密切圆

设 ff 是在开区间 II 上可导、并在点 aa（属于 II）处二阶可导的函数。圆心为 (h,k)(h, k)、半径为 r>0r > 0 的圆称为 ff 的图像在 (a,f(a))(a, f(a)) 处的密切圆，如果它经过该点，且该点既不是它最左边的点也不是最右边的点，即 (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 且 f(a)≠kf(a) \neq k，并且含有该点的半圆，即引理中的函数 uu（取 σ\sigma 等于 f(a)−kf(a) - k 的符号）的图像，在 aa 处与 ff 具有相同的值、相同的导数和相同的二阶导数：

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

其圆心称为图像在该点处的曲率中心。

切线满足前两个等式；密切圆还满足第三个。这个圆的拉丁文名称源自 osculari，意为「亲吻」，中文的「密切」则指紧密贴合：这个圆不仅像其他相切的圆那样与图像相切，而且像图像一样弯曲。图中以 f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 和 a=1.2a = 1.2 为例，画出了与图像相切的三个圆，其中之一就是密切圆。

定理密切圆的存在性与唯一性

设 ff 是在开区间 II 上可导、并在点 aa（属于 II）处二阶可导的函数，并设 m=f′(a)m = f'(a)，q=f′′(a)q = f''(a)。若 q≠0q \neq 0，则 ff 的图像在 (a,f(a))(a, f(a)) 处恰有一个密切圆，其圆心为 (h,k)(h, k)，半径为 ρ\rho：

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

其圆心在图像于该点处的法线上，当 q>0q > 0 时位于该点上方，当 q<0q < 0 时位于该点下方。若 q=0q = 0，则图像在 (a,f(a))(a, f(a)) 处没有密切圆。

证明

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    假设圆心为 (h,k)(h, k)、半径为 rr 的圆是密切圆，其半圆为 uu。引理的第一个等式在 x=ax = a 处，结合 u(a)=f(a)u(a) = f(a) 与 u′(a)=mu'(a) = m，说明圆心满足图像在该点处的法线方程，这依据关于作为极限的导数的那一课中切线与法线的定义，无论 m≠0m \neq 0 还是法线竖直。

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    引理的第二个等式在 x=ax = a 处，结合 u′′(a)=qu''(a) = q，当 q=0q = 0 时不可能成立，因为 1+m2>01 + m^2 > 0：没有密切圆。若 q≠0q \neq 0，它确定了 f(a)−kf(a) - k；于是第一个等式给出 a−ha - h，圆的方程给出半径。因此，密切圆至多有一个，其圆心与半径就是定理中所述的那样。

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    反过来，设 hh、kk 与 ρ\rho 如定理中所述。由上面的计算，圆心为 (h,k)(h, k)、半径为 ρ\rho 的圆经过 (a,f(a))(a, f(a))，并且 f(a)−kf(a) - k 不为零且与 −q-q 同号，因此 σ=−1\sigma = -1（当 q>0q > 0 时），此时圆心位于该点上方，而 σ=1\sigma = 1（当 q<0q < 0 时）。引理中的函数 uu 满足 u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a)，引理的两个等式在 x=ax = a 处给出它的导数：该圆是密切圆。

若 q>0q > 0，密切圆以其下半圆从上方贴靠图像，下半圆是下凸的；若 q<0q < 0，则以其上半圆贴靠，上半圆是上凸的。在两种情形下，关于凹凸性的那一课中图像与其切线这一命题，取 n=2n = 2，应用于 ff 和 uu（它们有相同的切线，且二阶导数同号），都把图像与圆在 aa 附近放在这条切线的同一侧。若 f′′(a)=0f''(a) = 0，则任何圆都不行，因为半圆的二阶导数从不为零；切线的二阶导数为零，它满足全部三个等式，起着半径为无穷大的圆的作用。