跳至内容
Topos Uranos
中文 (中国)

最优化问题

摘要

本课解决这样一类问题：要在众多可能的配置中找出最好的一个，如面积最大的矩形、表面积最小的圆柱、最短或最快的路径。前面的课给出了求已知函数最值的工具；这里函数并未给出，大部分工作，以及大部分错误，都在于构造它。本课确立一个分五个阶段的方法（变量、函数、定义域、最值及其论证、结论），并证明一个函数与它和一个严格递增函数的复合在相同的点取得最值，这使得我们可以，例如，用距离的平方代替距离本身来求最小值。随后证明：对任意一点，在闭区间上连续的函数的图像上都有离它最近的点；若该点不在边界上，则已知点位于法线上；并由最短时间原理推出折射定律（斯涅尔定律）和反射定律（海伦定律）。各题求出体积最大的盒子、表面积最小的圆柱、能拐过墙角的最长杆子、看一幅画视角最大的位置，以及横渡运河最快的方式。

学习目标

  1. 把一个几何或物理问题转化为在精确确定的定义域上求一元函数最值的问题。
  2. 论证所求得的值确实是最值：若定义域是有界闭区间，用魏尔斯特拉斯定理；若不是，则用导数的符号、下凸性或定义域端点处的极限。
  3. 求出图像上离给定点最近的点，并认识到连接这两点的直线是图像的法线。
  4. 由最短时间原理推出反射定律与折射定律，并识别最优点何时位于定义域的边界上。

方法

关于魏尔斯特拉斯定理和极值与最值的课，教了如何在给定区间上求给定函数的最值。而在最优化问题中，要求的是一个图形或一种运动的最优配置，需要研究的函数及其定义域必须根据题目构造出来。这个方法有五个阶段。

  1. 变量。选取一个决定配置的量（一个长度、一个角、一个位置），并借助问题的条件，用它表示其余所有的量。
  2. 函数。把要使其最大或最小的量写成这个单一变量的函数。
  3. 定义域。确定变量在问题中可以取的值的集合，它通常是一个区间。若函数可以连续地延拓到退化的配置，例如高为零的矩形或没有体积的盒子，那么只要所求的最值不在其上取得，宜把它们纳入，以得到闭区间。
  4. 最值。在定义域中求出它们，并论证它们确实是最值。若定义域是有界闭区间，魏尔斯特拉斯定理保证它们存在，而关于极值与最值的课中的有界闭区间上的最值这一命题，通过比较函数值求出它们。若不是，则用导数的符号（同一课中的用一阶导数判别最值这一定理，或唯一的临界点这一推论）、下凸性（关于凹凸性的课中的下凸函数的临界点这一推论）或定义域端点处的极限（开区间上的最值这一命题）。
  5. 结论。回到问题：给出最优配置，而不仅是最优值，并检验它是否合理，包括计量单位和特殊情形。

第四个阶段最常被省略：找到导数为零的点是不够的。这个点可能在求最大值时却是最小值，可能只是极值，也可能在定义域之外；而最值可能位于区间的端点，在那里导数未必为零。关于极值与最值的课用 1x+x2\frac{1}{x} + x^2 说明了：若定义域不是区间，唯一的临界点什么也保证不了。此外，常常宜把函数换成一个更简单、在相同点取得最值的函数。

引理最值与严格单调函数

设 ff 是定义在集合 AA 上的函数，cc 是 AA 中的一点，φ\varphi 是在某个包含 ff 的各个值的集合上严格递增的函数。则 ff 在 cc 处取得它在 AA 上的最大值，当且仅当 φ∘f\varphi \circ f 在该点取得最大值；对最小值、对极值以及对严格极值，同样成立。若 φ\varphi 严格递减，则 ff 在 cc 处取得最大值，当且仅当 φ∘f\varphi \circ f 在 cc 处取得同类型的最小值，反之亦然。 严格递增函数不改变函数值之间的顺序，而最值与极值只依赖于这个顺序。

证明

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    设 uu 与 ww 属于 φ\varphi 的定义域。若 u<wu < w，严格单调性给出 φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w)；若 u=wu = w，两值相等；若 u>wu > w，则给出 φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w)。因此，数之间的不等式与它们的像之间的不等式是等价的。

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    取 u=f(x)u = f(x) 与 w=f(c)w = f(c)，对每个 xx（属于 AA），或对每个 xx（属于 AA，且与 cc 的距离小于某个 δ\delta），按照关于极值与最值的课，以及关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的课中极值的定义，定义最大值、极大值和严格情形的不等式对 ff 成立，当且仅当它们对 φ∘f\varphi \circ f 成立。最小值的情形相同；若 φ\varphi 严格递减，像之间的不等式反向。

最常用的情形有四种。平方根在 [0,∞)\ico{0}{\infty} 上严格递增：一个距离和它的平方在相同的点取得最小值，而平方写出来不含根式。平方函数在 [0,∞)\ico{0}{\infty} 上严格递增：一个非负的量和它的平方在相同的点取得最大值。对数在 (0,∞)\ioo{0}{\infty} 上严格递增：正的幂的乘积和它的对数（即一个和）也是如此。此外，正函数在其倒数取得最小值的地方取得最大值，因为 1u\frac{1}{u} 在 (0,∞)\ioo{0}{\infty} 上严格递减。

例题内接于半圆的矩形

在内接于半径为 RR 的半圆、且一边在直径上的矩形中，求面积最大的一个。解题的各个阶段就是方法的各个阶段。

证明

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    变量与函数。把圆心放在原点，直径放在水平轴上。矩形由其底边的一半 xx 确定：它的上方两个顶点在半圆上，位于 (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)，其面积是下面的函数。

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    定义域。真正的矩形对应于 xx 属于 (0,R)\ioo{0}{R}；我们也允许取 00 和 RR，它们给出面积为零的退化矩形，于是得到一个有界闭区间，AA 在其上连续：由魏尔斯特拉斯定理，最大值存在。由于 AA 非负，由引理，只需求它的平方的最大值；这个平方是多项式，并且与 AA 不同，它在 RR 处也可导。

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    候选点。FF 的导数在 (0,R)\ioo{0}{R} 中只有一个零点。

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    比较与结论。由有界闭区间上的最值这一命题，FF 的最大值是它在 00、RR 和临界点处的值中最大的一个。最优矩形的底为 2R\sqrt{2}R，高为 R2\frac{R}{\sqrt{2}}（底的一半），面积为 R2R^2。

把最优矩形关于直径作反射，就得到一个边长为 2R\sqrt{2}R、内接于整个圆、面积为 2R22R^2 的正方形；由同样的计算，它就是内接于该圆的面积最大的矩形。退化矩形没有改变结果：最大值在一个真正的矩形上取得。