指数与对数的方程和不等式

摘要

本课讲授如何解未知数出现在指数中或对数的真数中的方程和不等式。它依据指数函数和对数函数的两个性质：单射性，它允许令指数相等、令真数相等；单调性，它根据底数保持或反转不等式的方向。借助它们，本课研究化为同底、取对数、把方程化为二次方程的换元、对数方程的定义域以及在定义域之外应用对数运算法则时出现的增根、方程组、任何代数方法都解不出的方程（其唯一解用二分法确定位置），以及含参数的方程的解的个数的讨论。

学习目标

通过化为同底、取对数或借助把方程化为二次方程的换元来解指数方程，并舍去新变量的非正值。
解对数方程：先确定其定义域，只在对数运算法则成立的地方应用它们，并识别增根。
解指数不等式和对数不等式，根据底数保持或反转不等号的方向，并把解集表示为区间的并。
用介值定理证明一个没有代数解法的方程有唯一解，用二分法确定它的位置，并讨论含参数的方程的解的个数。

指数方程

指数方程是未知数出现在某个指数中的方程，例如 $2^x = 3^{x - 1}$ 或 $4^x - 2^x - 6 = 0$ 。解这类方程要用到关于指数函数的一课和关于对数函数的一课中研究过的事实。若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则幂 $a^x$ 对任意实数 $x$ 都有定义，并且总是正的；当 $a > 1$ 时它严格递增，当 $0 < a < 1$ 时严格递减，并且每个正值恰好取一次。它的反函数是以 $a$ 为底的对数，定义在正实数上，只要真数为正，它就满足积、商和幂的法则，并满足换底公式。

定理指数函数与对数的单射性

设 $a$ 是不等于 $1$ 的正实数。对所有实数 $u$ 与 $v$ ， $a^u = a^v$ 当且仅当 $u = v$ ；对所有正实数 $u$ 与 $v$ ， $\log_a u = \log_a v$ 当且仅当 $u = v$ 。此外，若 $c > 0$ ，则方程 $a^x = c$ 恰有一个解，即 $x = \log_a c$ ；若 $c \leq 0$ ，则方程无解。

这里用到指数函数的严格单调性和对数作为其反函数的定义。图中所示为 $a = 2$ 的情形：高度为 $3$ 的水平直线与 $y = 2^x$ 的图像只交于一点，而高度为 $-2$ 的直线与它不相交。

证明

$u \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}$
若 $u = v$ ，则两个幂相等，因为函数给每个数只指定一个值。反过来，若 $u \neq v$ ，则两者之一较小，由指数函数的严格单调性（已在指数函数的性质定理中证明），它们的幂不相等。
$\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v$
若 $\log_a u = \log_a v$ ，对两边施以以 $a$ 为底的指数函数，它抵消对数，得到 $u = v$ ；反过来显然成立。
$a^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}$
若 $c > 0$ ，则由对数的定义，数 $\log_a c$ 是解；而且它是唯一的解，因为每个解的幂都与它的幂相同。
$a^x > 0 \geq c$
若 $c \leq 0$ ，则无解，因为幂 $a^x$ 对任意实数 $x$ 都是正的。

化为同底

若两边都能写成同一底数的幂，单射性便允许令指数相等，指数方程就化为代数方程。例如，由于 $8 = 2^3$ 且 $4 = 2^2$ ，方程 $8^{x - 1} = 4^{x + 1}$ 等价于 $2^{3x - 3} = 2^{2x + 2}$ ，即等价于 $3x - 3 = 2x + 2$ ，其解为 $x = 5$ ：

8^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

取对数

当底数不是同一个数的幂时，例如 $2$ 和 $3$ ，就对两边取对数。若两边都为正，对数的单射性保证所得方程与原方程等价：既不丢失解，也不增加解。任何底数都可以；通常使用自然对数（在关于对数函数的一课中定义），或以 $10$ 为底的对数。

例题含两个底数的方程

解方程 $2^x = 3^{x - 1}$ 。

证明

$2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}$
对任意 $x$ ，两边都为正。对两边取自然对数，由对数的单射性，得到一个等价方程。
$\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}$
幂的法则把指数作为因数移到前面。
$x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3$
把含 $x$ 的项移到一边。系数 $\ln 3 - \ln 2$ 为正，因为自然对数严格递增，且 $2 < 3$ 。
$x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}$
两边除以这个系数。由商的法则，分母为 $\ln \frac{3}{2}$ ；由换底公式，解是以 $\frac{3}{2}$ 为底的对数；其值约为 2.71。
$2^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}$
一张函数值表确认了解的位置：在 $2$ 处第一个幂较大，在 $3$ 处第二个幂较大；两图像在这两个数之间相交，交点是 $x$ 满足方程的唯一点。

可化为二次方程的方程

若方程中出现 $a^x$ 与 $a^{2x}$ ，或可化为它们的幂，例如 $4^x = (2^x)^2$ ，则换元 $t = a^x$ 把它化为关于 $t$ 的二次方程，可用关于二次多项式的因式分解的一课中的方法求解。然而，新变量并不取遍所有实数：由于 $a^x$ 总是正的，只接受 $t$ 的正值。由单射性定理，每个正根恰好给出一个解 $x = \log_a t$ ，每个负根或零根都舍去。

例题一次换元

解方程 $4^x - 2^x - 6 = 0$ 。

证明

$\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}$
把 $4^x$ 写成 $2^x$ 的平方，并把这个幂记作 $t$ ，它是正的。
$\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0$
方程是关于 $t$ 的二次方程，只要找出积为 $-6$ 、和为 $-1$ 的两个数，就能分解因式。
$t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0$
根 $t = -2$ 舍去，因为 $t$ 是正的：方程 $2^x = -2$ 无解。图中显示变量 $t$ 的平面上的抛物线，其中只有 $t > 0$ 处的图像才算数。
$2^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}$
根 $t = 3$ 为正，由单射性定理，它恰好给出一个解；其值约为 1.58。
$4^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}$
验证：由对数的定义， $2^{\log_2 3} = 3$ ，而这个幂的平方是 $9$ 。