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Topos Uranos
中文 (中国)

向量积与混合积

摘要

本课用坐标定义空间中两个向量的向量积，把它写成一个形式行列式，其中含有向量 i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j} 和 k⃗\vec{k}，并利用行列式的性质证明它是反交换的、双线性的，但不满足结合律。本课证明向量积垂直于它的两个因子，证明拉格朗日恒等式，并由此推出它的模等于两个因子所确定的平行四边形的面积，而且它为零当且仅当两个因子平行。本课建立二重向量积公式和雅可比恒等式，把混合积定义为一个三阶行列式，证明它的轮换性质，并把它解释为平行六面体和四面体的体积，同时给出共面判定法以及用数量积表示体积的公式。本课准确说明右手法则中哪一部分可以证明、哪一部分是约定，说明向量积是两个纯四元数之积的向量部分，并把它应用于力矩、运动电荷所受的磁场力、空间三角形的面积以及计算机图形学中的法向量。

学习目标

  1. 用坐标和行列式计算向量积与混合积，并利用反交换性、双线性、轮换性质和二重向量积公式进行运算。
  2. 证明向量积与因子的垂直性、拉格朗日恒等式、平行判定法、二重向量积公式和共面判定法。
  3. 计算空间中平行四边形和三角形的面积以及平行六面体和四面体的体积，并判断四个点是否共面。
  4. 区分右手法则中可以证明的内容与约定的内容，并用向量积为力矩、磁场力以及计算机图形学中曲面的定向建立模型。

向量积

在关于空间向量与数量积的课中，R3\mathbb{R}^3 中的向量写成了三元组 u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right)，而数量积 u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 使我们能够度量长度和角、判断垂直以及把一个向量投影到另一个向量上。两个向量的数量积是一个数。然而，空间中的许多问题需要的是一个向量：垂直于一个平面的方向，力使物体绕之转动的轴，磁场使电荷偏转的方向。在平面上，每个方向只有一条垂线；在空间中，垂直于一个方向的直线铺满整个平面，要确定一条公共垂线，需要两个不平行的方向。若是如此，自然的问题如下：给定两个向量 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v}，哪个向量 x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) 满足 u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 和 v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0？

这是含三个未知数的两个线性方程。把第一个方程 u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0 乘以 v1v_1，把第二个乘以 u1u_1，再相减，x1x_1 就消去了，剩下 (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0，取 x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 和 x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 即可满足；对其余未知数作同样的推理，得到 x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2。这三个表达式都是由 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 的分量构成的二阶行列式，就像关于行列式的课中的那样。这一探求启发了定义；关于向量积的几何的那一部分证明，这样构造的向量确实垂直于两个因子。

设 u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) 和 v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) 是 R3\mathbb{R}^3 中的向量。它们的向量积，又称叉积，是向量 u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right)。

这个定义有一个值得记住的规律。每个分量都由它前面的那个分量把下标轮换平移而得，1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1：第一个分量是 u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2；把每个下标加上 11，并把 3+13 + 1 当作 11，就得到 u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3，即第二个分量，再重复一次就得到第三个分量。为了便于记忆，使用标准基的向量 i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right)、j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) 和 k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right)，任一向量都可写成 u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}，再使用一个形式行列式：一个三阶的表，其第一行含有向量 i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j} 和 k⃗\vec{k}，并像关于行列式的课中那样按这一行展开。

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

这个行列式之所以是形式的，是因为它的元素并不都是数，而且不对它使用行列式的任何性质：它只是概括了按第一行展开的公式。第二项的负号再现了第二个分量，因为 −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3。另一方面，每个分量都是一个真正的二阶行列式，由矩阵（行为 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v}）的两列构成；向量积的代数性质正是建立在这一观察之上的。

例题一个向量积与标准基向量之间的积

求 u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}，其中 u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right)，v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right)，并求标准基向量两两之间的积。

证明

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    第一个分量：删去第一个分量所在的列，计算剩下的二阶行列式。

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    第二个分量：删去中间一列，并改变行列式的符号。

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    第三个分量：删去最后一列。

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    把三个分量合在一起。图中画出了共起点的三个向量；u⃗\vec{u} 位于水平面内，u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} 指向上方。

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    由定义，i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right)，其余各对同理。基中的每个向量，乘以在轮换顺序 i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}、k⃗\vec{k} 中紧跟在它后面的向量，得到第三个向量；顺序相反时，得到它的相反向量。

代数性质

向量积的性质可以从它的分量中读出。把构成这些分量的三个二阶行列式记为 D1D_1、D2D_2 和 D3D_3，各列按轮换顺序排列：D1D_1 用矩阵（行为 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v}）的第二列和第三列；D2D_2 用第三列和第一列，按这个顺序；D3D_3 用第一列和第二列。

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
定理向量积的代数性质

对任意向量 u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v} 和 w⃗\vec{w}（属于 R3\mathbb{R}^3）以及任意实数 ss 和 tt：向量积是反交换的，v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}；它是双线性的，即对每个因子都是线性的，(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} 和 v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}；并且 u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}。

三条性质都归结为二阶行列式的性质，分别用于三个分量中的每一个：两行互换的引理和对每一行的线性的引理，它们已在关于行列式的课中对任意阶证明。图沿用例子「一个向量积与标准基向量之间的积」。

证明

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    每个分量 DmD_m 都是一个二阶矩阵的行列式，其第一行取自 u⃗\vec{u}，第二行取自 v⃗\vec{v}，所用的两列相同。

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    若交换 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v}，则每个行列式的两行互换，由互换引理，每个分量改变符号。图中，v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) 指向下方。

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    若第一个因子是 su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}，则每个行列式的第一行等于 ss 乘以取自 u⃗\vec{u} 的行，加上 tt 乘以取自 w⃗\vec{w} 的行。由线性引理，每个分量也以同样的方式分解。

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    对第二个因子的线性可由前两条性质推出：交换顺序，应用对第一个因子的线性，再把顺序换回来。

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    若两个因子相同，则每个行列式有两行相等，因而为零。特别地，i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}。

利用双线性，向量积也可以像和的乘积那样用分配律展开，并结合标准基向量之间的积来计算。例如，(i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}。反交换性说明因子的顺序是重要的，这与矩阵乘法相同，不过方式非常特殊：颠倒顺序只改变符号。

例题向量积不满足结合律

比较 (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} 与 i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)。

证明

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    由定理，一个向量与它自身的积为零，而由双线性，零向量与任何向量的积也为零。

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    按另一种结合方式，括号内的积是 k⃗\vec{k}，这由标准基的例子得到。

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    由反交换性，i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} 是 k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} 的相反向量。

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    两个结果不同：向量积不满足结合律，而像 u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} 这样不加括号的表达式没有意义。

也不存在单位元：没有任何向量 e⃗\vec{e} 满足 e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u}（对所有 u⃗\vec{u} 成立），因为 e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} 会迫使 e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}，那样一来 e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} 对所有 u⃗\vec{u} 成立。因此，除了分配律以外，向量积不具有数的乘法的任何性质。关于二重向量积的那一部分将给出代替结合律的确切法则。