作为函数极限的导数

摘要

本课把函数在一点处的导数定义为一个极限：割线斜率的极限，即切线的斜率；平均速度的极限，即瞬时速度。本课说明这一定义在哪些点上有意义，引入单侧导数、切线与法线、导函数和莱布尼茨记号，并证明导数有三种等价的表述：差商的极限、以可忽略的误差用直线作的近似，以及卡拉泰奥多里分解。由最后一种表述可知，每个可导函数都连续；绝对值和立方根表明逆命题不成立。

学习目标

把函数在一点处的导数定义为差商的极限，并把它解释为切线的斜率和瞬时速度。
计算单侧导数，并用它们判断函数在一点处是否可导。
证明差商、线性近似与卡拉泰奥多里刻画三者等价。
证明在一点处可导的函数在该点连续，并识别不可导的连续函数。

切线与速度

在关于抛物线的方程的课中，一条直线在某点与曲线相切，是指它只在该点与曲线接触而不穿过曲线。这一想法对圆锥曲线足够，但对任意曲线则不够。在原点处，曲线 $y = x^3$ 在左侧位于水平轴下方，在右侧位于其上方：每条过原点的直线都穿过它，而直线 $y = mx$ （其中 $m < 0$ ）只在原点与它接触，因为 $x^3 = mx$ 要求 $x = 0$ 或 $x^2 = m$ 。没有一条直线满足这个条件，然而从直观上看，水平轴正是在原点附近最贴近曲线的直线。因此需要另一个定义，它不依赖于曲线的整体形状，只依赖于该点附近发生的情况。

这个想法由来已久：切线是割线的极限位置。考虑函数 $f$ 及其图像上的点 $(a, f(a))$ 。对 $h \neq 0$ ，过 $(a, f(a))$ 和 $(a + h, f(a + h))$ 的割线的斜率为

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

当 $h$ 趋近 $0$ 时，第二个点趋近第一个点；如果这些斜率有极限，那么以这个极限为斜率、过 $(a, f(a))$ 的直线就是切线的候选。

例题抛物线的割线

设 $f(x) = x^2$ ， $a = 1$ 。我们计算过点 $(1, 1)$ 的几条割线的斜率，再求它们的极限。图中画出每条割线，最后画出切线。

证明

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
取 $h = 1$ ，割线过 $(1, 1)$ 和 $(2, 4)$ 。
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
取 $h = \frac{1}{2}$ ，第二个点为 $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ ，斜率减小。
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
一般地，对一切 $h \neq 0$ ，无论正负，斜率都可以化简；取 $h = \frac{1}{4}$ 时，它等于 $\frac{9}{4}$ 。
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
当 $h$ 趋于 $0$ 时，斜率趋于 $2$ 。过 $(1, 1)$ 、斜率为 $2$ 的直线就是切线；它与关于抛物线的课中切线引理给出的直线相同，此时 $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ 。

研究运动时也出现同样的极限。设 $s(t)$ 是一个沿直线运动的点在时刻 $t$ 的位置，那么商 $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ 是它在时刻 $t_0$ 与 $t_0 + h$ 之间的平均速度：位移除以所用的时间。在时刻 $t_0$ 的速度，也就是速度计会显示的速度，是当 $h$ 趋于 $0$ 时平均速度的极限。例如，若 $s(t) = t^2 - 4t$ ，则在 $1$ 与 $1 + h$ 之间的平均速度是 $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ ，它趋于 $-2$ ：在时刻 $1$ ，该点以每单位时间两个长度单位的速率向左运动。切线问题和速度问题这两个问题导向同一个极限，下面定义的正是这个极限。

一点处的导数

如同在关于函数的极限的课中那样，首先要说明极限在何处有意义。差商需要值 $f(a)$ ，所以 $a$ 必须属于定义域；而当 $x$ 趋于 $a$ 时的极限要求 $a$ 是定义域的聚点。

定义函数在一点处的导数

设 $f$ 是定义在实数集 $A$ 上的实函数， $a$ 是 $A$ 的一个元素，并且是 $A$ 的聚点。 $f$ 在 $a$ 处的差商是函数 $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ ，它对一切 $x$ （属于 $A$ 且不等于 $a$ ）有定义。称 $f$ 在 $a$ 处可导，如果差商有实数极限 $L$ （当 $x$ 趋于 $a$ 时）；这个数就是 $f$ 在 $a$ 处的导数，记作 $f'(a)$ ：

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

差商在 $A \setminus \{a\}$ 上有定义，而 $a$ 是这个集合的聚点，因为聚点的定义只考虑不等于 $a$ 的元素。由极限的唯一性，导数若存在则唯一。在定义域的孤立点处不定义导数，尽管任何函数在那里都连续。如果差商趋于 $\infty$ 或 $-\infty$ ，函数在 $a$ 处不可导：导数是一个实数。定义常常用增量 $h = x - a$ 代替点 $x$ 来写，如例中那样。

命题导数的增量形式

在定义的假设下，并且只在 $f(a + h)$ 有定义处考虑它：

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

这就是变量替换 $x = a + h$ ；关于单侧极限的课中的平移与翻折命题曾对一侧作过这一替换，现在对两侧同时进行。

证明

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
设 $Q(x)$ 为差商。函数 $g(h) = a + h$ ，对一切 $h \neq 0$ （满足 $a + h$ 属于 $A$ ），趋于 $a$ ，不取值 $a$ ，且其值都在 $Q$ 的定义域内。由关于极限的运算法则的课中的复合函数的极限定理，若 $Q$ 趋于 $L$ （在 $a$ 处），则 $Q(a + h)$ 也趋于 $L$ （在 $0$ 处）。
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
反过来，函数 $x - a$ ，对一切 $x$ （属于 $A$ 且不等于 $a$ ），趋于 $0$ 且不取值 $0$ ；把它与 $h \mapsto Q(a + h)$ 复合，得到差商 $Q(x)$ ，它趋于同一极限。

最初几个导数可以直接计算。若 $f(x) = mx + b$ ，则差商等于 $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ （对一切 $h \neq 0$ ），其极限为 $m$ ：一次函数的导数在每一点都是它的斜率，其切线就是这条直线本身。特别地，常数的导数是 $0$ ，恒等函数 $f(x) = x$ 的导数是 $1$ 。对 $f(x) = x^2$ ，例中的计算（用 $a$ 代替 $1$ ）给出 $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ ，导数为 $2a$ 。

单侧导数

在区间的端点，或在函数改变表达式的点处，宜分别考察每一侧的差商。

定义单侧导数

设 $a$ 是 $A$ 的元素，并且是 $A \cap \ioo{a}{\infty}$ 的聚点。称 $f$ 在 $a$ 处右可导，如果差商在 $a$ 处有实数右极限；这个极限就是右导数 $f'_+(a)$ ：

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

类似地，若 $a$ 是 $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ 的聚点，则左导数 $f'_-(a)$ 是差商的左极限，条件为 $a - \delta < x < a$ 。

命题导数与单侧导数

设 $a$ 是 $A$ 的元素。

若 $a$ 是 $A \cap \ioo{a}{\infty}$ 和 $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ 的聚点，则 $f$ 在 $a$ 处可导当且仅当两个单侧导数都存在且相等；此时 $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ 。
若 $a$ 只是 $A$ 中位于一侧的点的聚点，则 $f$ 在 $a$ 处可导当且仅当它在这一侧可导，并且导数就是这一侧的单侧导数。

不需要任何新的论证：单侧导数就是差商的单侧极限，而关于单侧极限的课已经把它们与极限联系起来。

证明

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
在第一种情形，把极限与单侧极限定理应用于差商，即得等价性。
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
在第二种情形，同一课指出，当 $a$ 只是定义域中位于一侧的点的聚点时，极限与该侧的单侧极限一致：存在 $r > 0$ ，使得所有 $x$ （属于 $A$ 且满足 $0 < \abs{x - a} < r$ ）都在这一侧。

例如，绝对值在 $0$ 处的差商为 $\frac{\abs{x}}{x}$ ，它的值为 $1$ （若 $x > 0$ ）和 $-1$ （若 $x < 0$ ）：其单侧导数为 $f'_+(0) = 1$ 和 $f'_-(0) = -1$ ，两者不同，所以 $\abs{x}$ 在 $0$ 处不可导。反之，若函数定义在 $\icc{0}{1}$ 上，则它在 $0$ 处的导数就是它的右导数，在 $1$ 处的导数就是它的左导数：定义本身已把定义域的端点当作只有一侧来处理。例如， $f(x) = x$ 限制在 $\icc{0}{1}$ 上，在 $0$ 处可导，且 $f'(0) = 1$ 。

切线与法线

有了导数，切线就不再是凭眼睛辨认的图形，而成为可以计算的直线。

定义切线与法线

设 $f$ 在 $a$ 处可导。 $f$ 的图像在点 $(a, f(a))$ 处的切线是过该点、斜率为 $f'(a)$ 的直线：

y = f(a) + f'(a)(x - a)

同一点处的法线是过该点且垂直于切线的直线：若 $f'(a) \neq 0$ ，它是直线 $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ ；若 $f'(a) = 0$ ，它是竖直直线 $x = a$ 。

法线的斜率由关于直线的方程的课中的垂直的直线定理得出：两条不竖直的直线互相垂直，当且仅当它们斜率的乘积为 $-1$ 。回到曲线 $y = x^3$ ，它在 $0$ 处的差商为 $x^2$ ，趋于 $0$ ：原点处的切线是水平轴，尽管它穿过曲线。当 $f$ 在 $a$ 处连续，而差商趋于 $\infty$ 或 $-\infty$ 时，割线趋于竖直；这时称图像在 $(a, f(a))$ 处有竖直切线，即直线 $x = a$ ，尽管 $f$ 在 $a$ 处不可导。

同样，若 $s(t)$ 是沿直线运动的点的位置，则它在时刻 $t_0$ 的速度是 $s'(t_0)$ （若存在）。速度的符号表示运动的方向，其绝对值表示速率。关于变化率的课将展开这种解读。

导函数与莱布尼茨记号

$f$ 可导的每一点都提供一个数，即它在该点的导数。由所有这些数构成一个新函数。

定义导函数

设 $f$ 是定义在 $A$ 上的函数。 $f$ 的导函数是函数 $f'$ ，它给每一点 $x$ （属于 $A$ 且 $f$ 在该点可导）指定数 $f'(x)$ ；其定义域就是这些点构成的集合。若 $f$ 在集合 $S$ （包含于 $A$ ）的每一点都可导，则称它可导于 $S$ ；如果它在整个定义域上可导，就简单地称它可导。

例如， $x^2$ 的导数是函数 $2x$ ，定义在整个 $\mathbb{R}$ 上；绝对值的导数的值为 $1$ （在 $\ioo{0}{\infty}$ 上）和 $-1$ （在 $\ioo{-\infty}{0}$ 上），其定义域不含 $0$ 。记号 $f'$ （带撇号）出自拉格朗日。另一种常用记号出自莱布尼茨：若 $y = f(x)$ ，导数写作 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 或 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ ，而对 $x$ 求导这一运算写作 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ ，放在被求导的表达式前面：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

这一记号提示导数的来历。若 $\Delta x$ 是自变量的增量， $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 是函数相应的增量，则差商为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ，而导数是它的极限：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

需要强调，目前 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 是一个整体符号，而不是商： $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 单独还没有意义；它们将在关于高阶导数与微分的课中获得意义。这一记号明确指出对哪个变量求导：若位置依赖于时间，速度写作 $s'(t)$ 或 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ 。

导数的三种刻画

定义说差商趋于 $f'(a)$ 。还有另外两种方式表达同一件事，各有其用：第二种把函数与它的切线比较；第三种避免除法。

定理导数的刻画

设 $f$ 是定义在 $A$ 上的函数， $a$ 是 $A$ 的元素，并且是 $A$ 的聚点， $L$ 是实数。以下三个命题等价：

差商。 $f$ 在 $a$ 处可导，且 $f'(a) = L$ 。
线性近似。 $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ （当 $h$ 趋于 $0$ 时）；也就是说，余项 $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ 满足 $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ 。
卡拉泰奥多里。存在函数 $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ ，在 $a$ 处连续， $\varphi(a) = L$ ，使得 $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ 对一切 $x$ （属于 $A$ ）成立。

小 $\operatorname{o}$ 就是关于等价无穷小与等价无穷大的课中的那个，其中 $f(a + h)$ 只在有定义处考虑。函数 $\varphi$ 是割线的斜率，在 $a$ 处用导数补全。图中以 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ 和 $a = 1$ 为例，画出曲线与切线之间的余项、一条割线，最后画出 $\varphi$ 的图像，在这里它是直线 $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ 。

证明

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
第一与第二：余项除以 $h$ 的商等于差商减去 $L$ 。由关于极限的运算法则的课中作为趋于零的距离的极限引理，这个商趋于 $0$ 当且仅当差商趋于 $L$ ；而由增量形式，这等价于 $f'(a) = L$ 。
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
由第一到第三：定义 $\varphi$ 在 $a$ 以外等于差商，并令其取值 $L$ （在 $a$ 处）。由定义，等式在一切 $x \neq a$ 处成立；在 $x = a$ 处也成立，因为两边都等于 $0$ 。由于 $a$ 是 $A$ 的聚点，且 $\varphi$ 在 $a$ 处的极限是 $L = \varphi(a)$ ，关于极限与连续性的课中的连续性与极限命题给出 $\varphi$ 在 $a$ 处的连续性。
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
由第三到第一：若 $x \neq a$ ，两边除以 $x - a$ ，差商就是 $\varphi$ 在 $A \setminus \{a\}$ 上的限制。由于 $\varphi$ 在 $a$ 处连续，由同一命题它趋于 $\varphi(a) = L$ ；再由关于极限的运算法则的课中的限制的极限引理，差商也趋于这个值。

第三种刻画中的函数 $\varphi$ 若存在则唯一：在 $a$ 以外它是差商，在 $a$ 处它的值是该差商的极限。第二种刻画说明了切线在什么意义上是最贴近曲线的直线。若把 $f(a + h)$ 换成 $f(a) + mh$ ，其中斜率 $m$ 不等于 $f'(a)$ ，误差为 $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ ，它除以 $h$ 的商趋于 $f'(a) - m \neq 0$ ：它与 $h$ 同阶。只有斜率为 $f'(a)$ 时，误差相对于 $h$ 才可忽略。第三种刻画有一个技术上的优点：它是乘积之间的等式，不含除法。关于求导法则和链式法则的课将利用它，以免除以可能为零的量。第一个推论是直接的。

定理可导必连续

若 $f$ 在 $a$ 处可导，则 $f$ 在 $a$ 处连续。卡拉泰奥多里分解把 $f$ 写成若干函数之间的运算，这些函数都在 $a$ 处连续。

证明

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
由刻画定理，存在 $\varphi$ ，在 $a$ 处连续，使得 $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ 对一切 $x$ （属于 $A$ ）成立。
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
常数 $f(a)$ 与多项式 $x - a$ 都在 $a$ 处连续， $\varphi$ 也是。由关于极限与连续性的课中的连续函数的运算定理，常数与乘积之和在 $a$ 处连续。

逆命题不成立。连续性要求 $f(x) - f(a)$ 趋于 $0$ ；可导性要求更多：要求它除以 $x - a$ 的商有极限，也就是说，它趋于 $0$ 的速度至少与 $x - a$ 一样快，而且不在不同的斜率之间振荡。

命题连续而不可导

绝对值和立方根在 $0$ 处连续，在 $0$ 处不可导：前者的单侧导数不相等，后者的差商趋于 $\infty$ ，因此它的图像在原点有竖直切线。由关于极限与连续性的课中的已知的连续函数推论，两者都连续。图中在绝对值上画出两个单侧斜率，在立方根上画出越来越陡的割线。

证明

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
绝对值在 $0$ 处的差商在右侧等于 $1$ ，在左侧等于 $-1$ 。单侧导数不相等，由导数与单侧导数命题， $\abs{x}$ 在 $0$ 处不可导。
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
立方根在 $0$ 处的差商是 $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ 的倒数，后者在 $x \neq 0$ 时为正，且由根式的连续性趋于 $0$ 。由关于无穷极限的课中的倒数引理，差商趋于 $\infty$ ，没有实数极限。

这两个函数只在一个点处失效，但存在在整条直线上连续、却在任何点都不可导的函数；魏尔斯特拉斯在 1872 年给出了最著名的例子，其构造超出了本课程的范围。

例题

这些问题按难度递增：第一题计算一个在定义域边界上不再存在的导数；第二题用切线发现双曲线的一个性质；第三题说明单侧导数可能不存在；第四题说明函数可能只在一点处可导；最后一题把卡拉泰奥多里分解与单侧导数结合起来。

例题 1定义域边界上的平方根

研究 $f(x) = \sqrt{x}$ （定义在 $\ico{0}{\infty}$ 上）的可导性，并求横坐标为 $4$ 的点处的切线。

解答

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
若 $a > 0$ ，差商是 $\frac{0}{0}$ 型不定式；分子分母同乘共轭根式。
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
由根式的连续性，分母趋于 $2\sqrt{a} \neq 0$ ；由关于极限的运算法则的课中的倒数的极限定理，差商趋于 $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ 。在 $a = 4$ 处，导数为 $\frac{1}{4}$ ，切线过 $(4, 2)$ 。
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
在 $a = 0$ 处只有右侧有定义域中的点，由导数与单侧导数命题，导数就是右导数。差商为 $\frac{1}{\sqrt{h}}$ ，由于 $\sqrt{h}$ 为正且趋于 $0$ ，倒数引理给出 $\infty$ 。
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
因此， $\sqrt{x}$ 在 $\ioo{0}{\infty}$ 上可导，在 $0$ 处不可导；它在该点连续，其图像有竖直切线 $x = 0$ 。导函数的定义域比函数的定义域小。

例题 2双曲线的切线

证明： $y = \frac{1}{x}$ 在点 $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ （其中 $a > 0$ ）处的切线与两坐标轴围成面积为 $2$ 的三角形，不论 $a$ 如何；并且切点是两坐标轴在切线上截得的线段的中点。

解答

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
两分式相减后差商化简；由倒数的极限定理，其极限为 $-\frac{1}{a^2}$ 。
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
切线以这个斜率过 $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ 。
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
令 $y = 0$ 得到与水平轴的交点，令 $x = 0$ 得到与竖直轴的交点。两者的中点就是切点。
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
三角形的两条直角边 $2a$ 和 $\frac{2}{a}$ 在坐标轴上。它的面积与 $a$ 无关：图中画出两个这样的三角形，形状不同而面积相同。

例题 3连续而没有单侧导数

设 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ ， $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ （对 $x \neq 0$ ），且 $f(0) = g(0) = 0$ 。证明 $f$ 在 $0$ 处连续，在 $0$ 处既无导数也无单侧导数；而 $g$ 在 $0$ 处可导，且 $g'(0) = 0$ 。

解答

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
由关于极限与连续性的课中的例题 3， $f$ 在 $0$ 处连续。它在 $0$ 处的差商为 $\sin \frac{1}{x}$ 。
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
关于极限的课中的练习题 3 用两族正的点证明了 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $0$ 处没有极限，在这两族点上它的值为 $1$ 和 $-1$ 。同样的论证否定了右极限；用相反的点（在这些点上它的值为 $-1$ 和 $1$ ），就否定了左极限。
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
与此相反， $g$ 的差商是 $x \sin \frac{1}{x}$ ，即一个有界函数与一个趋于 $0$ 的函数之积；由关于夹逼定理的课中的定理，它趋于 $0$ 。
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
这两个函数在 $0$ 附近振荡无穷多次。 $f$ 的振荡以 $\abs{x}$ 为界，它与分母 $x - 0$ 同阶，所以差商继续振荡； $g$ 的振荡以 $x^2$ 为界，它相对于 $x$ 可忽略，所以差商逐渐消失。

例题 4只在一点处可导

设 $f$ 是这样的函数：取值 $x^2$ （若 $x$ 为有理数）和 $0$ （若 $x$ 为无理数）。证明 $f$ 在 $0$ 处可导，且 $f'(0) = 0$ ，而在其他任何点都不可导。

解答

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
设 $g$ 是关于极限与连续性的课中例题 5 的函数，它在有理数处取值 $x$ ，在无理数处取值 $0$ 。那么 $f(x) = x \, g(x)$ 对一切 $x$ 成立，两种情形都是如此。
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
在 $0$ 处，差商为 $g(x)$ ，它趋于 $g(0) = 0$ ，因为那道题证明了 $g$ 在 $0$ 处连续。
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
设 $a \neq 0$ 。若 $f$ 在 $a$ 处连续，则 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ 也连续：由连续函数运算中的商法则，分母在 $a$ 处不为零；但同一道题证明了 $g$ 在 $a$ 处不连续。因此 $f$ 在 $a$ 处不连续，由可导必连续定理，它在 $a$ 处不可导。

例题 5可导函数的绝对值

设 $f$ 是定义在包含 $a$ 的开区间上的函数，在 $a$ 处可导，且 $f(a) = 0$ 。证明 $F = \abs{f}$ 在 $a$ 处的单侧导数为 $\abs{f'(a)}$ 和 $-\abs{f'(a)}$ ，因此它在 $a$ 处可导当且仅当 $f'(a) = 0$ 。把结论应用于 $\abs{\sin x}$ 和 $\abs{x^3}$ （在 $0$ 处）。

解答

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
由卡拉泰奥多里刻画， $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ ，其中 $\varphi$ 在 $a$ 处连续，且 $\varphi(a) = f'(a)$ 。取绝对值后，因子 $\abs{x - a}$ 在右侧为 $x - a$ ，在左侧为 $a - x$ 。
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
函数 $\abs{\varphi}$ 由连续函数的复合在 $a$ 处连续，并趋于 $\abs{f'(a)}$ 。由导数与单侧导数命题， $F$ 在 $a$ 处可导当且仅当两个单侧导数相等，即 $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ 。
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
正弦满足 $\sin 0 = 0$ ，它在 $0$ 处的差商为 $\frac{\sin x}{x}$ ，由第一重要极限趋于 $1$ ： $\abs{\sin x}$ 在 $0$ 处的单侧导数为 $1$ 和 $-1$ ，不可导。立方函数在 $0$ 处的差商为 $x^2$ ，趋于 $0$ ： $\abs{x^3}$ 在 $0$ 处可导，导数为 $0$ 。

练习题

这些问题按难度递增：第一题在圆与球的几何中解读导数；第二题寻找过给定点的法线；第三题说明在函数跳跃的地方，单侧导数仍可能存在；第四题把由导数得到的切线与圆的切线相比较；最后一题研究一个看似导数而并非导数的商。每个问题都有一个提示，最好在自己尝试之后再打开。

练习题 1圆的面积与球的体积

设 $A(r) = \pi r^2$ 是半径为 $r$ 的圆的面积， $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ 是半径为 $r$ 的球的体积。用定义计算 $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ 和 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ ，并辨认每个结果。

提示

展开 $(r + h)^2$ 和 $(r + h)^3$ ，在取极限之前化简差商。面积的增量是宽为 $h$ 的圆环的面积。

答案

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

它们是圆的周长和球面的面积。

练习题 2过一点的法线

求抛物线 $y = x^2$ 上所有法线过点 $(0, 1)$ 的点，并写出这些法线。

提示

在 $(a, a^2)$ 处的法线斜率为 $-\frac{1}{2a}$ （若 $a \neq 0$ ）；令它过 $(0, 1)$ 。不要忘记 $a = 0$ 的情形，此时导数为零，法线是竖直的。

答案

三个点： $(0, 0)$ ，法线为 $x = 0$ ；以及 $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，法线为 $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ 。

练习题 3整数部分的单侧导数

证明整数部分 $E(x) = \lfloor x \rfloor$ 在每个非整数实数处可导，导数为 $0$ ；在每个整数 $n$ 处有右导数 $0$ ，但没有左导数。这与可导必连续定理矛盾吗？

提示

在整数 $n$ 处，函数在右侧等于 $n$ ，在左侧等于 $n - 1$ ：差商在右侧为 $0$ ，在左侧为 $\frac{-1}{x - n}$ 。对于最后一问，把定理的假设与在 $n$ 处发生的情况比较。

答案

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

没有矛盾：函数在 $n$ 处不可导；右导数只给出右连续性（即把定理应用于 $E$ 在 $\ico{n}{\infty}$ 上的限制），而右连续性确实成立。

练习题 4圆的切线

设 $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ ，它是圆心为 $(0, 0)$ 、半径为 $1$ 的上半圆。计算 $f'(a)$ （其中 $-1 < a < 1$ ），证明切线垂直于连接原点与 $(a, f(a))$ 的半径，如同关于圆的课中那样，并研究在 $a = \pm 1$ 处的情况。

提示

把差商的分子分母同乘 $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ 。若 $a \neq 0$ ，半径的斜率为 $\frac{f(a)}{a}$ ；若 $a = 0$ ，半径是竖直的。在 $a = 1$ 处只有左侧有定义域中的点。

答案

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

在 $a = 0$ 处，切线水平，半径竖直。在 $a = 1$ 处差商趋于 $-\infty$ ，在 $a = -1$ 处趋于 $\infty$ ： $f$ 在 $\pm 1$ 处不可导，其图像在那里有竖直切线。

练习题 5对称差商

设 $f$ 定义在包含 $a$ 的开区间上。证明：若 $f$ 在 $a$ 处可导，则 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ 。用 $f(x) = \abs{x}$ 在 $a = 0$ 处的情形证明，即使 $f$ 不可导，这个极限也可能存在。

提示

对 $h$ 和对 $-h$ 各写出线性近似，再相减：余项给出 $\operatorname{o}(h)$ 。对于绝对值，分子是 $\abs{h} - \abs{-h}$ 。

答案

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

绝对值的对称差商为 $0$ （在 $0$ 处），而它在那里不可导。

详细解答

解答

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
由线性近似，取 $L = f'(a)$ ，余项 $R$ 满足 $\frac{R(h)}{h} \to 0$ 。把 $h$ 换成 $-h$ ，由复合函数的极限定理，也有 $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ 。
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
两式相减并除以 $2h$ ；由线性组合的极限定理，两个余项的商都给出 $0$ 。
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
对于绝对值在 $0$ 处的情形，分子对一切 $h$ 都为零，对称差商趋于 $0$ ；然而单侧导数为 $1$ 和 $-1$ 。对称差商把两个单侧斜率平均，从而掩盖了尖角。