Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Приложения производной: итоги и задачи повышенной трудности

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о приложениях производной, а вместе с ним и курс. Он собирает в одну дедуктивную цепь то, что доказали девять уроков раздела: теорема Вейерштрасса, полученная из аксиомы полноты так же, как теорема Больцано, и теорема Ферма, полученная из знака производной в точке, дают теорему Ролля; из неё вытекают теоремы Лагранжа и Коши о среднем значении, а из них правило Лопиталя, монотонность по знаку производной, признаки экстремума, выпуклость, оптимизация и оценка погрешности метода Ньютона-Рафсона. Он объясняет, как раздел опирается на два предыдущих раздела и на курс «Алгебра и геометрия», и что он оставляет следующему курсу: интеграл, последовательности и ряды, а также многочлен Тейлора. Урок заканчивается итоговой проверкой, параллельной входной, и десятью задачами повышенной трудности, более трудными, чем задачи уроков, каждая из которых сочетает результаты нескольких из них и предыдущих разделов.

Цели обучения

  1. Излагать в логическом порядке основные теоремы раздела, указывая, от каких более ранних результатов зависит каждая из них и в каких доказательствах снова используются теорема Вейерштрасса, теорема о среднем и монотонность по знаку производной.
  2. Отличать то, что раздел принимает, от того, что он доказывает, распознавать условия каждого результата и указывать, где используется аксиома полноты.
  3. Связывать результаты раздела с разделами о пределах и производных, с курсом «Алгебра и геометрия» и с тем, что изучает курс «Математический анализ II».
  4. Решать нестандартные задачи, сочетающие существование наибольшего и наименьшего значений, теорему о среднем, правило Лопиталя, монотонность, выпуклость, кривизну, оптимизацию и метод Ньютона-Рафсона.

Чего достиг раздел

Два предыдущих раздела работали в точке: предел в точке, непрерывность в точке, производная в точке. Этот раздел перешёл от точечного к глобальному, и мостом стала аксиома полноты. Теорема Вейерштрасса, доказанная с помощью точной верхней грани так же, как теорема Больцано, гарантирует, что функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений; теорема Ферма, которая вытекает из знака производной в точке, говорит, где могут находиться внутренние экстремумы; и вместе они дают теорему Ролля, из которой следуют обе теоремы о среднем значении. Теорема Лагранжа записывается так:

f(b)−f(a)=f′(c)(b−a),c∈(a,b)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Это равенство превращает сведения о производной во всех точках промежутка в сведения о значениях функции, и почти всё остальное в разделе есть прочтение этого равенства: монотонность, признаки экстремума, выпуклость, правило Лопиталя, через вариант Коши, и оценка погрешности метода Ньютона-Рафсона. Доказательства ссылаются на эти теоремы, а не воспроизводят рассуждение заново.

Существование и теорема о среднем

Урок о теореме Вейерштрасса доказал сначала теорему об ограниченности, взяв точную верхнюю грань точек, до которых функция ограничена, и продвинувшись за неё с помощью локальной ограниченности, которую даёт непрерывность; затем, что точная верхняя грань значений достигается, поскольку, если бы она не достигалась, величина, обратная расстоянию от значений до неё, была бы непрерывной и неограниченной. Он показал на контрпримерах, что ни одно условие не лишнее (интервал, неограниченный промежуток, разрывная функция и рациональные числа, где нет полноты), вывел с помощью теоремы о промежуточном значении, что образ отрезка есть снова отрезок, и что функция с равными значениями на концах отрезка достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке. Урок о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши определил локальные экстремумы как высказывания с кванторами, доказал с помощью знака производной в точке, что производная обращается в нуль во внутренней точке локального экстремума, и последовательно вывел одну из другой теорему Ролля, теорему Лагранжа о среднем значении и теорему Коши о среднем значении, показав необходимость их условий. Его следствия стали первыми глобальными выводами: функция с нулевой производной на промежутке постоянна, две функции с одинаковой производной отличаются на постоянную, оценка производной оценивает приращения, между двумя корнями функции лежит корень её производной, а предел производной, если он существует, есть производная. Урок о правиле Лопиталя доказал его с помощью теоремы Коши для неопределённости вида 00\frac{0}{0} и, с большей осторожностью, для неопределённости вида ∞∞\frac{\infty}{\infty}, с одной стороны от точки, в точке и на бесконечности; свёл к ним неопределённости 0⋅∞0 \cdot \infty, ∞−∞\infty - \infty, 1∞1^\infty, 000^0 и ∞0\infty^0, показал, что правило ничего не даёт, когда отношение производных не имеет предела, предупредил, что оно не годится для пределов, с помощью которых были вычислены производные, и получил из него следствие о нулевых производных в точке, которое сравнивает приращение функции со степенью разности x−ax - a.

Монотонность, экстремумы и форма графика

Урок о монотонности доказал с помощью теоремы о среднем, что неотрицательная производная на промежутке даёт возрастающую функцию, а положительная строго возрастающую, и охарактеризовал строгую монотонность при неотрицательной производной: производная не должна обращаться в нуль на целом интервале. Так были выполнены обещания раздела о производных, например то, что положительной производной на промежутке достаточно, чтобы обратная функция существовала и была дифференцируема. Он определил критические точки, доказал признак экстремума по первой производной и теорему Дарбу, согласно которой производная принимает все промежуточные значения, даже если она не непрерывна, так что у неё нет разрывов типа скачка, и вывел, что производная без нулей на промежутке не меняет знака. Урок о максимумах и минимумах определил абсолютные и строгие экстремумы; доказал признак экстремума по второй производной и, с помощью правила Лопиталя и без многочлена Тейлора, признак по производным высших порядков, который решает дело по чётности первого порядка с ненулевой производной; и искал абсолютные экстремумы на отрезке среди концов отрезка и критических точек, а на интервале или неограниченном промежутке с помощью пределов на концах и монотонности, которая даёт также, что локальный экстремум в единственной критической точке является абсолютным. Урок о выпуклости вверх и вниз определил выпуклость вниз через положение графика относительно его хорд, с соглашением раздела (выпуклая вниз функция лежит под своими хордами), и доказал, что для дифференцируемой функции быть выпуклой вниз равносильно тому, что производная возрастает, и тому, что график лежит над своими касательными, а для дважды дифференцируемой тому, что вторая производная неотрицательна; определил точки перегиба, распознавал их по смене знака второй производной или по третьей производной, показал на примере x4x^4, что нулевой второй производной недостаточно, и получил неравенство Йенсена и неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим. Урок о кривизне определил соприкасающуюся окружность как окружность, имеющую в точке то же значение, ту же производную и ту же вторую производную, что и функция; доказал с помощью дифференцирования неявной функции, что она существует и единственна, когда вторая производная не обращается в нуль, с радиусом ρ=(1+f′(a)2)32∣f′′(a)∣\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}} и центром на нормали, с той стороны, куда изгибается график, и показал, что этот центр есть предел точек пересечения близких нормалей.

Оптимизация и приближение

Урок о задачах оптимизации установил метод из пяти этапов (переменная, функция, область определения, абсолютные экстремумы с обоснованием и вывод), решающий момент которого состоит в том, чтобы обосновать, что найденный экстремум абсолютный: с помощью теоремы Вейерштрасса, если область определения есть отрезок, а иначе с помощью знака производной, выпуклости или пределов на концах. Он доказал, что функция и её композиция со строго возрастающей функцией достигают экстремумов в одних и тех же точках, что точка графика, ближайшая к данной точке, существует и лежит на нормали, и вывел из принципа наименьшего времени законы преломления и отражения. Урок о методе Ньютона-Рафсона заменил график его касательной, чтобы приблизить корень; рассматривал итерации как функцию, определённую на натуральных числах, с определением предела на бесконечности и без теории последовательностей; доказал с помощью выпуклости и точной нижней грани итераций, что с подходящей стороны они приближаются к корню, не переходя его, и сходятся к нему, а с неудачной стороны первая итерация перескакивает на подходящую сторону; оценил погрешность с помощью теоремы о среднем, показал неудачи метода (нулевая производная, зацикливание, убегающие итерации) и сравнил его с методом деления пополам, который выигрывает один двоичный знак за каждое деление, тогда как метод Ньютона-Рафсона вблизи простого корня в примерах удваивает число верных знаков.

Что принимается, что доказывается и что остаётся

Итог раздела можно подвести так:

  • Принимаются аксиома полноты, которую раздел использует непосредственно в теореме об ограниченности, в теореме Вейерштрасса и в сходимости итераций Ньютона-Рафсона; теоремы разделов о пределах и о производных, в частности теорема Больцано, сохранение знака, локальный характер производной и знак производной в точке; и результаты курса «Алгебра и геометрия», такие как тригонометрические формулы, неравенство sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x и свойства степеней и логарифмов.
  • Доказываются факты, которые раздел о производных объявил, не имея возможности их доказать: что положительная производная на промежутке даёт возрастающую функцию, что функция с нулевой производной на промежутке постоянна и что погрешность приближения с помощью дифференциала можно оценить; а касательная становится инструментом, чтобы приближать корни, сравнивать график с самим собой и измерять, насколько он искривлён.
  • Снова используются три инструмента вместо повторения рассуждений: теорема Вейерштрасса, которая даёт экстремумы; теорема о среднем, которая переводит знак производной в сведения о значениях; и монотонность по знаку производной, на которой держатся признаки экстремума и выпуклость.
  • Курсу «Математический анализ II» остаётся то, что требует большего, чем производная: интеграл, длина дуги, с которой кривизна читается как скорость поворота касательной, равномерная непрерывность, последовательности и ряды, а также многочлен Тейлора; а курсу «Математический анализ III» экстремумы функций нескольких переменных и кривизна параметрически заданных кривых.

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с более ранними звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и инструменты, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, которые взяты из предыдущих разделов или из курса «Алгебра и геометрия»: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AАксиома полноты. Принимается, начиная с курса «Алгебра и геометрия I», что действительные числа образуют полное упорядоченное поле: всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань, а всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань. В этом разделе принимается без доказательства.
  • BНаследие раздела 1. Результаты, доказанные в разделе о пределах и непрерывности: арифметические свойства пределов; односторонние пределы, пределы на бесконечности и бесконечные пределы; сохранение неравенств; непрерывность арифметических операций и композиции; локальная ограниченность и сохранение знака, для пределов и для непрерывных функций; и замечательные пределы. В этом разделе принимается без доказательства.
  • CНаследие раздела 2. Результаты, доказанные в разделе о производных: определение производной и односторонние производные, то, что дифференцируемая функция непрерывна, локальный характер производной, правила дифференцирования и правило дифференцирования сложной функции, производные элементарных функций, производная обратной функции и дифференцирование неявной функции, а также производные высших порядков. В этом разделе принимается без доказательства.
  • DПромежуточное значение. Доказано с помощью точной верхней грани в разделе о производных: если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, а f(a)f(a) и f(b)f(b) имеют противоположные знаки, то ff обращается в нуль в некоторой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b}, что и есть теорема Больцано; и образ промежутка при непрерывной функции есть промежуток. В этом разделе принимается без доказательства.
  • EЗнак производной в точке. Доказано в разделе о производных: если функция ff определена на интервале и f′(a)>0f'(a) > 0, то существует δ>0\delta > 0, такое что f(x)<f(a)f(x) < f(a) при a−δ<x<aa - \delta < x < a и f(x)>f(a)f(x) > f(a) при a<x<a+δa < x < a + \delta; отсюда не следует, что ff возрастает вблизи aa. В этом разделе принимается без доказательства.
  • FДостижение наибольшего и наименьшего значений. Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений: инструмент, который обеспечивает существование экстремумов и промежуточных точек в следующих теоремах. Устанавливается в: 2. Теорема Вейерштрасса.
  • GТеорема о среднем. Если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b} и дифференцируема в каждой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b}, то существует cc в (a,b)\ioo{a}{b}, для которого f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a): сведения о производной во всех точках превращаются в сведения о значениях. Устанавливается в: 7. Теорема Лагранжа о среднем значении.
  • HМонотонность по производной. На промежутке неотрицательная производная даёт возрастающую функцию, а положительная строго возрастающую: инструмент, с помощью которого исследуются экстремумы и выпуклость. Устанавливается в: 12. Монотонность по знаку производной.

  1. Участок 1 Существование и теорема о среднем

    • Доказывать с помощью точной верхней грани, что функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает своего наибольшего и наименьшего значений, и показывать, что ни одно условие не лишнее.
    • Находить внутренние локальные экстремумы с помощью теоремы Ферма и выводить из неё и из теоремы Вейерштрасса теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
    • Получать из теоремы о среднем, что нулевая производная даёт постоянную функцию, оценивать приращения и подсчитывать корни.
    • Доказывать с помощью теоремы Коши правило Лопиталя, сводить к нему остальные неопределённости и не применять его к пределам, с помощью которых были вычислены производные.

    1. Теорема об ограниченности. Если функция ff непрерывна на отрезке [a,b]\icc{a}{b}, то существует число KK, такое что ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K для всякого xx из [a,b]\icc{a}{b}.

      Опирается на: A (Аксиома полноты), B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях.

    2. Теорема Вейерштрасса. Если функция ff непрерывна на отрезке [a,b]\icc{a}{b}, то существуют x1x_1 и x2x_2 в [a,b]\icc{a}{b}, такие что f(x1)≤f(x)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) для всякого xx из [a,b]\icc{a}{b}; ни одно из условий нельзя отбросить.

      Использует: 1. Теорема об ограниченности. Опирается на: A (Аксиома полноты), B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях.

    3. Образ отрезка. Если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, а mm и MM суть её наименьшее и наибольшее значения на нём, то образ отрезка [a,b]\icc{a}{b} есть отрезок [m,M]\icc{m}{M}.

      Использует: 2. Теорема Вейерштрасса. Опирается на: F (Достижение наибольшего и наименьшего значений), D (Промежуточное значение). Доказывается в уроке: Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях.

    4. Наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке. Если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, причём a<ba < b и f(a)=f(b)f(a) = f(b), то она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b}.

      Использует: 2. Теорема Вейерштрасса. Опирается на: F (Достижение наибольшего и наименьшего значений). Доказывается в уроке: Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях.

    5. Теорема Ферма. Если функция ff, определённая на AA, имеет локальный экстремум во внутренней точке aa множества AA, то есть если существует δ>0\delta > 0, такое что f(x)≤f(a)f(x) \leq f(a) для всех xx из AA, для которых ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta, или f(a)≤f(x)f(a) \leq f(x) для всех таких точек, и ff дифференцируема в точке aa, то f′(a)=0f'(a) = 0.

      Опирается на: E (Знак производной в точке), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

    6. Теорема Ролля. Если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, где a<ba < b, дифференцируема в каждой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b} и f(a)=f(b)f(a) = f(b), то существует cc в (a,b)\ioo{a}{b}, для которого f′(c)=0f'(c) = 0.

      Использует: 4. Наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке, 5. Теорема Ферма. Опирается на: F (Достижение наибольшего и наименьшего значений), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

    7. Теорема Лагранжа о среднем значении. Если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, где a<ba < b, и дифференцируема в каждой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b}, то существует cc в (a,b)\ioo{a}{b}, для которого f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a): некоторая касательная параллельна хорде.

      Использует: 6. Теорема Ролля. Опирается на: B (Наследие раздела 1), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

    8. Теорема Коши о среднем значении. Если функции ff и gg непрерывны на [a,b]\icc{a}{b}, где a<ba < b, и дифференцируемы в каждой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b}, то существует cc в (a,b)\ioo{a}{b}, для которого (f(b)−f(a))g′(c)=(g(b)−g(a))f′(c)\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c); если, кроме того, g′g' не обращается в нуль на (a,b)\ioo{a}{b}, то g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a) и f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

      Использует: 6. Теорема Ролля. Опирается на: B (Наследие раздела 1), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

    9. Следствия теоремы о среднем. Пусть функция ff непрерывна на промежутке II и дифференцируема в каждой внутренней точке. Если f′f' обращается в них в нуль, то ff постоянна; две функции с одинаковой производной отличаются на постоянную; если ∣f′(x)∣≤K\abs{f'(x)} \leq K в этих точках, то ∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y} для всех xx, yy из II; и если ff дифференцируема на II и имеет на нём n≥2n \geq 2 различных корней, то у f′f' их не меньше n−1n - 1.

      Использует: 6. Теорема Ролля, 7. Теорема Лагранжа о среднем значении. Опирается на: G (Теорема о среднем), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

    10. Правило Лопиталя. Если функции ff и gg дифференцируемы на (a,b)\ioo{a}{b}, причём g′(x)≠0g'(x) \neq 0 на нём, если f(x)f(x) и g(x)g(x) стремятся к 00 или g(x)g(x) стремится к ∞\infty или к −∞-\infty при x→a+x \to a^+, и если f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} стремится к LL, действительному числу, ∞\infty или −∞-\infty, то f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} стремится к LL; то же верно слева, с обеих сторон от точки и на бесконечности.

      Использует: 8. Теорема Коши о среднем значении. Опирается на: B (Наследие раздела 1), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Правило Лопиталя.

    11. Нулевые производные в точке. Пусть n≥2n \geq 2 натуральное число, II интервал, aa точка из II, а ff функция, n−1n - 1 раз дифференцируемая на II и nn раз дифференцируемая в точке aa, причём f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0. Тогда f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n} стремится к f(n)(a)n!\frac{f^{(n)}(a)}{n!} при x→ax \to a.

      Использует: 10. Правило Лопиталя. Опирается на: C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Правило Лопиталя.

  2. Участок 2 Монотонность, экстремумы и форма графика

    • Исследовать монотонность по знаку производной, характеризовать строгую монотонность и доказывать теорему Дарбу.
    • Классифицировать критические точки с помощью признаков экстремума по первой и по второй производной и по производным высших порядков и находить абсолютные экстремумы на отрезках, интервалах и неограниченных промежутках.
    • Характеризовать выпуклость вниз через хорды, возрастание производной, касательные и вторую производную и распознавать точки перегиба.
    • Измерять кривизну графика с помощью соприкасающейся окружности.

    1. Монотонность по знаку производной. Пусть функция ff непрерывна на промежутке II и дифференцируема в каждой внутренней точке. Если f′(x)≥0f'(x) \geq 0 в этих точках, то ff возрастает на II, а если f′(x)>0f'(x) > 0, то строго возрастает; при f′(x)≤0f'(x) \leq 0 или f′(x)<0f'(x) < 0 она убывает или строго убывает. Обратно, если ff возрастает на II и дифференцируема во внутренней точке aa, то f′(a)≥0f'(a) \geq 0.

      Использует: 7. Теорема Лагранжа о среднем значении. Опирается на: E (Знак производной в точке), G (Теорема о среднем), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Монотонность и признак экстремума по первой производной.

    2. Строгая монотонность при неотрицательной производной. Если функция ff непрерывна на промежутке II и f′(x)≥0f'(x) \geq 0 в каждой внутренней точке, то ff строго возрастает на II тогда и только тогда, когда f′f' не обращается в нуль во всех точках никакого интервала (p,q)\ioo{p}{q}, содержащегося в II; в частности, если она обращается в нуль лишь в конечном числе точек.

      Использует: 9. Следствия теоремы о среднем, 12. Монотонность по знаку производной. Опирается на: H (Монотонность по производной), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Монотонность и признак экстремума по первой производной.

    3. Признак экстремума по первой производной. Если функция ff непрерывна на (a−r,a+r)\ioo{a - r}{a + r} и дифференцируема в каждой точке, отличной от aa, причём f′(x)≥0f'(x) \geq 0 слева от aa и f′(x)≤0f'(x) \leq 0 справа, то она имеет в точке aa локальный максимум, строгий, если неравенства строгие; при обратных неравенствах она имеет локальный минимум; а если f′(x)f'(x) положительна с обеих сторон или отрицательна с обеих сторон, то экстремума в точке aa нет.

      Использует: 12. Монотонность по знаку производной. Опирается на: H (Монотонность по производной). Доказывается в уроке: Монотонность и признак экстремума по первой производной.

    4. Теорема Дарбу. Если функция ff дифференцируема на интервале II, а a<ba < b суть точки из II, то f′f' принимает на (a,b)\ioo{a}{b} всякое значение, лежащее строго между f′(a)f'(a) и f′(b)f'(b); следовательно, у f′f' нет на II ни устранимых разрывов, ни разрывов типа скачка.

      Использует: 2. Теорема Вейерштрасса, 5. Теорема Ферма. Опирается на: E (Знак производной в точке), F (Достижение наибольшего и наименьшего значений), B (Наследие раздела 1), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Монотонность и признак экстремума по первой производной.

    5. Производная без нулей. Если функция ff непрерывна на промежутке II, содержащем более одной точки, и дифференцируема в каждой внутренней точке, причём f′(x)≠0f'(x) \neq 0 в каждой из них, то f′f' имеет один и тот же знак во всех этих точках, а ff строго монотонна на II.

      Использует: 12. Монотонность по знаку производной, 15. Теорема Дарбу. Опирается на: H (Монотонность по производной). Доказывается в уроке: Монотонность и признак экстремума по первой производной.

    6. Признак экстремума по второй производной. Если функция ff дифференцируема на интервале II и дважды дифференцируема в точке aa из II, причём f′(a)=0f'(a) = 0, то она имеет в точке aa строгий локальный минимум, если f′′(a)>0f''(a) > 0, и строгий локальный максимум, если f′′(a)<0f''(a) < 0.

      Использует: 14. Признак экстремума по первой производной. Опирается на: E (Знак производной в точке), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Максимумы и минимумы функции.

    7. Признак экстремума по производным высших порядков. Если функция ff n−1n - 1 раз дифференцируема на интервале II и nn раз дифференцируема в точке aa из II, где n≥2n \geq 2, причём f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0 и f(n)(a)≠0f^{(n)}(a) \neq 0, то при чётном nn функция ff имеет в точке aa строгий локальный минимум, если f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0, и строгий локальный максимум, если f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0; а при нечётном nn она не имеет в точке aa никакого локального экстремума.

      Использует: 11. Нулевые производные в точке. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Максимумы и минимумы функции.

    8. Абсолютные экстремумы на промежутке. Если функция ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, то она достигает своего абсолютного максимума и абсолютного минимума, и каждая точка, в которой она их достигает, есть aa, bb или критическая точка интервала (a,b)\ioo{a}{b}; если она непрерывна на интервале, ограниченном или нет, и некоторое её значение превосходит её пределы на обоих концах, то она достигает абсолютного максимума, причём в критических точках.

      Использует: 2. Теорема Вейерштрасса, 5. Теорема Ферма. Опирается на: F (Достижение наибольшего и наименьшего значений), B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Максимумы и минимумы функции.

    9. Абсолютные экстремумы по монотонности. Если функция ff непрерывна на промежутке II, точка cc внутренняя, f′(x)≥0f'(x) \geq 0 во внутренних точках, меньших cc, и f′(x)≤0f'(x) \leq 0 в больших, то ff достигает в точке cc своего абсолютного максимума на II; а если cc есть единственная критическая точка функции ff на II и ff имеет в ней локальный экстремум, то этот экстремум абсолютный и строгий на II.

      Использует: 12. Монотонность по знаку производной, 16. Производная без нулей. Опирается на: H (Монотонность по производной). Доказывается в уроке: Максимумы и минимумы функции.

    10. Выпуклость вниз и возрастание производной. Функция ff выпукла вниз на промежутке II, если f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) для всех xx, yy из II и всякого tt из [0,1]\icc{0}{1}. Если ff непрерывна на II и дифференцируема в каждой внутренней точке, то она выпукла вниз тогда и только тогда, когда f′f' возрастает во внутренних точках, и строго выпукла вниз тогда и только тогда, когда f′f' строго возрастает в них.

      Использует: 7. Теорема Лагранжа о среднем значении. Опирается на: G (Теорема о среднем), B (Наследие раздела 1), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба.

    11. График над своими касательными. Если функция ff непрерывна на промежутке II, содержащем более одной точки, и дифференцируема в каждой внутренней точке, то она выпукла вниз тогда и только тогда, когда f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a) для всякой внутренней точки aa и всякого xx из II; в частности, если она выпукла вниз и f′(a)=0f'(a) = 0, то она достигает в точке aa своего абсолютного минимума на II.

      Использует: 21. Выпуклость вниз и возрастание производной. Доказывается в уроке: Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба.

    12. Выпуклость вниз и вторая производная. Если функция ff непрерывна на промежутке II, содержащем более одной точки, и дважды дифференцируема в каждой внутренней точке, то она выпукла вниз тогда и только тогда, когда f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 в этих точках, и строго выпукла вниз, если, кроме того, f′′f'' не обращается в нуль во всех точках никакого интервала, содержащегося в II.

      Использует: 12. Монотонность по знаку производной, 13. Строгая монотонность при неотрицательной производной, 21. Выпуклость вниз и возрастание производной. Опирается на: H (Монотонность по производной), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба.

    13. Точки перегиба. Если функция ff непрерывна вблизи aa, дифференцируема в точке aa и f′′f'' меняет знак в точке aa, то точка aa есть точка перегиба; в точке перегиба, где ff дважды дифференцируема, f′′(a)=0f''(a) = 0, но этого недостаточно, как показывает x4x^4 в точке 00; а если f′′(a)=0f''(a) = 0 и f′′′(a)≠0f'''(a) \neq 0, то aa есть точка перегиба и график пересекает свою касательную.

      Использует: 5. Теорема Ферма, 18. Признак экстремума по производным высших порядков, 21. Выпуклость вниз и возрастание производной, 23. Выпуклость вниз и вторая производная. Опирается на: E (Знак производной в точке), B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба.

    14. Неравенство Йенсена. Если функция ff непрерывна и выпукла вниз на промежутке II и дифференцируема в каждой внутренней точке, то f(t1x1+⋯+tnxn)≤t1f(x1)+⋯+tnf(xn)f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n) для точек xix_i из II и весов ti≥0t_i \geq 0 с суммой 11; с логарифмом, выпуклым вверх, среднее геометрическое положительных чисел не превосходит среднего арифметического.

      Использует: 22. График над своими касательными, 23. Выпуклость вниз и вторая производная. Опирается на: C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба.

    15. Соприкасающаяся окружность. Если функция ff дифференцируема на интервале и дважды дифференцируема в точке aa, причём m=f′(a)m = f'(a) и q=f′′(a)≠0q = f''(a) \neq 0, то существует ровно одна окружность, имеющая в точке aa то же значение, ту же производную и ту же вторую производную, что и ff; её радиус равен ρ=(1+m2)32∣q∣\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}, величине, обратной кривизне κ\kappa, а её центр лежит на нормали, над точкой, если q>0q > 0, и под ней, если q<0q < 0.

      Опирается на: C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Кривизна и радиус кривизны.

  3. Участок 3 Оптимизация и приближение

    • Переводить геометрическую или физическую задачу в поиск абсолютного экстремума функции на точно заданной области определения и обосновывать, что найденный экстремум абсолютный.
    • Находить точку графика, ближайшую к данной точке, и выводить из принципа наименьшего времени законы отражения и преломления.
    • Приближать корни методом Ньютона-Рафсона, обеспечивать его сходимость с помощью выпуклости и оценивать погрешность с помощью теоремы о среднем.

    1. Расстояние от точки до графика. Если функция ff непрерывна на промежутке, содержащем более одной точки и содержащем свои концы, если они есть, то некоторая точка её графика находится на наименьшем расстоянии от точки P=(x1,y1)P = (x_1, y_1); если абсцисса cc этой точки внутренняя и ff дифференцируема в ней, то PP лежит на нормали: (x1−c)+f′(c)(y1−f(c))=0(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0.

      Использует: 2. Теорема Вейерштрасса, 5. Теорема Ферма. Опирается на: F (Достижение наибольшего и наименьшего значений), B (Наследие раздела 1), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Задачи оптимизации.

    2. Закон Снеллиуса. Продолжительность T(x)=a2+x2v1+b2+(d−x)2v2T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2} пути, ведущего из (0,a)(0, a) в (x,0)(x, 0) со скоростью v1v_1 и оттуда в (d,−b)(d, -b) со скоростью v2v_2, достигает своего строгого абсолютного минимума в единственной точке, где sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}; отсюда кратчайший путь между двумя точками, касающийся прямой, образует равные углы с перпендикуляром к ней, что и есть закон отражения.

      Использует: 22. График над своими касательными, 23. Выпуклость вниз и вторая производная. Опирается на: D (Промежуточное значение), C (Наследие раздела 2). Доказывается в уроке: Задачи оптимизации.

    3. Сходимость метода Ньютона-Рафсона. Если функция ff дифференцируема и выпукла вниз на интервале II, причём f′(x)≠0f'(x) \neq 0 на всём II, и f(r)=0f(r) = 0, то итерации xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, начатые с x0x_0 из II, для которого f(x0)≥0f(x_0) \geq 0, приближаются к rr монотонно, не переходя его, и сходятся к rr; при начальном x0x_0, для которого f(x0)<0f(x_0) < 0, если x1x_1 лежит в II, первая итерация приводит на подходящую сторону.

      Использует: 16. Производная без нулей, 21. Выпуклость вниз и возрастание производной, 22. График над своими касательными. Опирается на: A (Аксиома полноты), B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Метод Ньютона-Рафсона.

    4. Оценка погрешности. Если функция ff непрерывна на промежутке JJ и дифференцируема в каждой внутренней точке, причём ∣f′(x)∣≥m>0\abs{f'(x)} \geq m > 0 в этих точках, и f(r)=0f(r) = 0 для некоторого rr из JJ, то ∣x−r∣≤∣f(x)∣m\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m} для всякого xx из JJ.

      Использует: 7. Теорема Лагранжа о среднем значении. Опирается на: G (Теорема о среднем). Доказывается в уроке: Метод Ньютона-Рафсона.

К курсу «Математический анализ II». Цепь останавливается там, где заканчивается курс. В курсе «Математический анализ II» следствие, согласно которому две функции с одинаковой производной отличаются на постоянную, служит основой для первообразных, а интеграл соединяется с производной в основной теореме математического анализа; с длиной дуги, которая есть интеграл, кривизна читается как скорость поворота касательной. Последовательности, первым примером которых были итерации Ньютона-Рафсона, и ряды дают функциям, определённым на натуральных числах, собственную теорию. А многочлен Тейлора, остаточный член которого оценивается с помощью теорем Ролля и Коши, продолжает касательную прямую с помощью производных высших порядков, обобщает признак экстремума по производным высших порядков и доказывает, при условиях на вторую производную, квадратичную сходимость метода Ньютона-Рафсона, которую этот раздел лишь наблюдал на примерах.