Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Определители: свойства и правило Крамера

Краткое содержание

Этот урок распространяет на квадратные матрицы любого порядка число, которое в уроке курса Алгебра и геометрия I о линейных системах решало, имеет ли система двух уравнений с двумя неизвестными единственное решение. Урок истолковывает определитель второго порядка как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на столбцах матрицы; определяет определитель третьего порядка разложением по первой строке и показывает, что он совпадает с правилом Саррюса; и определяет определитель порядка nn рекуррентно. Исходя из этого определения, урок доказывает индукцией по порядку свойства определителя (линейность по каждой строке, перестановку строк, нулевые или равные строки, прибавление кратного другой строки, транспонированную матрицу и треугольные матрицы) и применяет их к вычислению приведением и к связи между определителем и рангом. Он доказывает теорему об определителе произведения для второго порядка, общее доказательство которой дано в уроке об обратной матрице, и правило Крамера для любого порядка; задачи применяют определители к площади треугольника, к определителю Вандермонда, к тождеству Кассини для чисел Фибоначчи и к окружности, проходящей через три точки.

Цели обучения

  1. Вычислять определители второго и третьего порядка разложением по строке и по правилу Саррюса и истолковывать определитель второго порядка как ориентированную площадь.
  2. Доказывать индукцией по порядку свойства определителя и применять их для вычисления определителей любого порядка приведением к треугольной матрице.
  3. Связывать определитель с рангом и с произведением матриц и решать с его помощью, является ли матрица вырожденной.
  4. Решать системы из nn уравнений с nn неизвестными по правилу Крамера и применять определители к задачам аналитической геометрии и последовательностей.

Определитель второго порядка и ориентированная площадь

В уроке курса I об уравнениях, неравенствах и линейных системах определителем системы двух уравнений было названо число D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1 и было доказано правило Крамера: если DD не равно нулю, система имеет ровно одно решение. В уроке о векторах на плоскости то же число, составленное из координат двух векторов, решало, коллинеарны ли они. Однако в уроке о матрицах и операциях над матрицами были введены квадратные матрицы, а в уроке о методе Гаусса-Жордана всякая линейная система была записана в виде AX=BAX = B. Если это так, то это число естественно рассматривать как функцию матрицы коэффициентов и распространить его на квадратные матрицы любого порядка.

Определителем квадратной матрицы AA второго порядка называется произведение элементов её главной диагонали минус произведение элементов другой диагонали. Он обозначается det⁡A\det A или элементами матрицы между двумя вертикальными чертами.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Определитель системы двух уравнений есть определитель её матрицы коэффициентов, в первом столбце которой стоят коэффициенты при xx, а во втором коэффициенты при yy: её определитель равен a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. Черты здесь не означают модуль, потому что определитель может быть отрицательным; например:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

Два столбца матрицы второго порядка являются векторами плоскости, и теорема об ориентированной площади, сформулированная ниже, придаёт определителю геометрический смысл, который попутно объясняет признак коллинеарности из урока курса I о векторах.

ТеоремаОриентированная площадь

Пусть u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) и v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) есть векторы плоскости, и пусть AA есть матрица, столбцы которой суть u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}. Площадь параллелограмма, построенного на стрелках u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, отложенных от одного начала, равна модулю det⁡A\det A. Кроме того, если векторы ненулевые и не коллинеарны, то det⁡A\det A положителен, когда поворот меньше чем на пол-оборота, переводящий направление u⃗\vec{u} в направление v⃗\vec{v}, совершается против часовой стрелки, и отрицателен, когда он совершается по часовой стрелке.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Если u⃗\vec{u} нулевой, параллелограмм вырождается в отрезок и определитель равен нулю; поэтому будем считать, что u⃗\vec{u} ненулевой. Доказательство использует расстояние от точки до прямой, полученное в уроке курса I о векторах, полярные координаты из урока о полярных координатах и формулу синуса разности из урока о формулах сложения. Рисунок прослеживает его для u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) и v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Доказательство

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Примем, как в элементарной геометрии, что площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту. За основание возьмём сторону, изображающую u⃗\vec{u}, на прямой, проходящей через начало координат с этим направлением; её уравнение есть −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, и ему удовлетворяют начало координат и конец u⃗\vec{u}. По теореме о векторе нормали вектор n⃗\vec{n} перпендикулярен этой прямой, и его длина равна длине u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    Высота есть расстояние от конца v⃗\vec{v} до этой прямой. В формуле расстояния возьмём начало координат в качестве точки прямой, так что вектор, идущий от прямой к точке, есть сам v⃗\vec{v}.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    Площадь равна основанию, умноженному на высоту, и длина u⃗\vec{u} сокращается с длиной n⃗\vec{n}. На рисунке основание равно 10\sqrt{10}, высота 510\frac{5}{\sqrt{10}}, а площадь 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Для знака запишем векторы в полярных координатах: rr и ss суть их длины, а α\alpha и β\beta суть углы, которые они образуют с положительной полуосью абсцисс, так что u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) и v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). По формуле синуса разности определитель равен rsrs, умноженному на синус угла от u⃗\vec{u} к v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Поскольку rs>0rs > 0, определитель имеет знак sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), который положителен, если β−α\beta - \alpha лежит между 0∘0^\circ и 180∘180^\circ с точностью до кратного 360∘360^\circ, то есть если v⃗\vec{v} получается из u⃗\vec{u} поворотом против часовой стрелки меньше чем на пол-оборота, и отрицателен в противном случае. Он равен нулю тогда и только тогда, когда β−α\beta - \alpha кратно 180∘180^\circ, то есть когда векторы коллинеарны. На рисунке β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ; при перестановке столбцов поворот, переводящий v⃗\vec{v} в u⃗\vec{u}, идёт по часовой стрелке, и знак меняется.

Теорема оправдывает название ориентированная площадь для определителя второго порядка: его модуль измеряет площадь, а знак указывает направление поворота, переводящего первый столбец во второй. Признак коллинеарности из урока курса I о векторах есть случай нулевой площади: два вектора коллинеарны ровно тогда, когда построенный на них параллелограмм сплющивается в прямую. Связь между определителем и площадями произвольных фигур, когда матрица действует как преобразование плоскости, будет изучена в уроке о матрицах как преобразованиях плоскости.