Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Обратная матрица

Краткое содержание

Этот урок изучает обратную матрицу, которая делает с квадратными матрицами то же, что обратное число делает с ненулевыми числами. В нём доказывается, что обратная матрица, если она существует, единственна; что матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю, и что в этом случае обратная матрица есть присоединённая матрица, составленная из алгебраических дополнений, делённая на определитель; отсюда получается формула обратной матрицы второго порядка. Доказываются свойства обратной матрицы для произведения, для транспонированной матрицы и для степеней, каждое элементарное преобразование строк переводится в умножение на элементарную матрицу, и из этого выводится метод Гаусса-Жордана, который находит обратную матрицу, преобразуя матрицу (A,I)\left( A, I \right) в (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right). Наконец, решаются матричные уравнения и в одну теорему собираются условия, равносильные обратимости, которые связывают обратную матрицу с определителем, с рангом и с системами линейных уравнений; из них выводится, что достаточно убедиться в одном из двух произведений определения, а с помощью элементарных матриц доказывается, что определитель произведения равен произведению определителей.

Цели обучения

  1. Определять обратную матрицу, доказывать её единственность и решать, обратима ли матрица, с помощью её определителя.
  2. Вычислять обратную матрицу через присоединённую матрицу, в частности по формуле второго порядка, и методом Гаусса-Жордана, обосновывая оба способа.
  3. Применять свойства обратной матрицы для произведения, для транспонированной матрицы и для степеней и решать матричные уравнения, соблюдая порядок множителей.
  4. Связывать обратимость матрицы с рангом, с элементарными матрицами и с существованием и единственностью решений линейных систем и доказывать с помощью элементарных матриц, что определитель произведения равен произведению определителей.

Обратная матрица

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о числовых множествах было показано, что всякое ненулевое число aa имеет обратное a−1a^{-1}, которое позволяет решить уравнение ax=bax = b, умножив обе его части на a−1a^{-1}. В уроке о матрицах и операциях над матрицами система линейных уравнений была записана в виде одного уравнения AX=BAX = B, а единичная матрица II оказалась нейтральным элементом умножения. Если это так, естественно спросить, существует ли матрица, играющая по отношению к AA роль обратного числа, так чтобы система решалась одним умножением. Однако умножение матриц не коммутативно, поэтому определение должно требовать обоих равенств; а чтобы ABAB и BABA имели тот же размер, что и II, матрица AA должна быть квадратной.

Квадратная матрица AA порядка nn называется обратимой, если существует матрица BB порядка nn, такая что AB=BA=IAB = BA = I, где II есть единичная матрица порядка nn. Матрица BB с этим свойством называется обратной к AA.

Например, две приведённые ниже матрицы обратны друг другу, в чём можно убедиться, перемножив их в обоих порядках:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Не всякая ненулевая матрица обратима, и в этом матрицы отличаются от чисел. Матрица с нулевой строкой необратима, потому что произведение этой строки на любой столбец равно 00, так что ABAB имеет нулевую строку при любой BB и не может быть единичной матрицей. Необратима и матрица AA, для которой существует ненулевая CC с AC=0AC = 0, один из делителей нуля из урока о матрицах: если бы AA имела обратную BB, было бы C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0; необратима и CC, потому что если бы она имела обратную BB, было бы A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Например, матрица со строками 1,11, 1 и 1,11, 1, умноженная на матрицу со строками 1,−11, -1 и −1,1-1, 1, даёт нулевую матрицу, и ни одна из двух не обратима.

ЛеммаЕдинственность обратной матрицы

Квадратная матрица имеет не более одной обратной: если AB=BA=IAB = BA = I и AD=DA=IAD = DA = I, то B=DB = D.

Доказательство повторяет доказательство единственности противоположного и обратного элементов из урока курса I о числовых множествах, с той оговоркой, что коммутативностью пользоваться нельзя; вместо неё используется по одному равенству с каждой стороны вместе с ассоциативностью умножения матриц и нейтральностью единичной матрицы, доказанными в уроке о матрицах. Рисунок записывает каждое произведение как ряд множителей и отмечает два из них, которые группируются.

Доказательство

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Исходим из двух допущений: BB и DD удовлетворяют, каждая, обоим равенствам определения.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Поскольку II есть нейтральный элемент умножения, B=BIB = BI; подставляем вместо II выражение ADAD, то есть равенство для DD справа.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    По ассоциативности группируем иначе и используем равенство для BB слева, BA=IBA = I. Два группируемых множителя меняются, но порядок трёх матриц остаётся прежним.

Единственная обратная к AA, если она существует, обозначается A−1A^{-1}. Её нельзя записывать в виде дроби 1A\frac{1}{A}, а произведение BA−1BA^{-1} в виде частного BA\frac{B}{A}: поскольку BA−1BA^{-1} и A−1BA^{-1}B, вообще говоря, различны, такая запись не указывала бы, с какой стороны выполняется умножение. Артур Кэли, который в 1858 году основал исчисление матриц, уже определял обратную матрицу через присоединённую матрицу из пункта «Определитель и обратимость».