Матрицы и алгебраические структуры: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о матрицах и алгебраических структурах. Он собирает в дедуктивную цепь то, чего достигли семь его уроков: произведение матриц, рождённое композицией линейных замен; полное решение линейных систем методом Гаусса-Жордана и теорему Кронекера-Капелли (теорему Руше-Фробениуса); определитель как ориентированную площадь и как критерий единственности; обратную матрицу и условия, равносильные обратимости; прочтение матриц как преобразований плоскости; копию комплексных чисел внутри матриц; и понятия группы, кольца в алгебраическом смысле, поля и изоморфизма, которые дают имя общему во всех этих вычислениях. Урок объясняет, как раздел опирается на результаты предыдущих разделов и курса «Алгебра и геометрия I», что было принято без доказательства и как он готовит последующий раздел, об аналитической геометрии в пространстве, и курс «Математический анализ I». В конце даны десять задач повышенной трудности, более сложных, чем задачи уроков, которые сочетают несколько уроков.

Цели обучения

Восстановить цепь определений и теорем раздела, от произведения матриц до изоморфизмов, объясняя, какой результат на какой опирается.
Связать результаты раздела с результатами предыдущих разделов и курса I, в особенности с линейными системами, векторами, поворотом осей, тригонометрической формой и арифметикой остатков, отличить доказанное от принятого и предвидеть их применение в геометрии пространства.
Решать задачи, сочетающие определители, обратные матрицы, преобразования, матрицы комплексных чисел и алгебраические структуры, выбирая в каждом случае подходящий инструмент.
Переносить задачу из одной структуры в другую с помощью соответствия, сохраняющего операции, и использовать инварианты изоморфизма, чтобы решить, являются ли две группы одной и той же.

Чего достиг раздел

Алгебра матриц и линейные системы

Отправной точкой было наблюдение о линейных заменах переменных. В уроке о матрицах и операциях над матрицами таблица составной замены получалась умножением строки на столбец таблиц двух замен, и это правило было принято за определение произведения. Из него вытекли ассоциативность, через перестановку порядка двух суммирований, дистрибутивность и нейтральность единичной матрицы; а в обратную сторону выяснилось, что произведение не коммутативно, что оно допускает делители нуля и что существуют ненулевые матрицы, некоторая степень которых нулевая. Транспонирование меняет порядок множителей на обратный, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , а след не различает порядка, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , откуда уравнение $AB - BA = I$ не имеет решения ни в каком порядке.

С помощью произведения всякая линейная система записалась одним уравнением $AX = B$ . Урок о линейных системах и методе Гаусса-Жордана доказал, что элементарные преобразования строк сохраняют решения и что всякая матрица приводится к приведённому ступенчатому виду; доказал, индукцией по числу столбцов, что этот вид единствен, откуда ранг не зависит от хода исключения, и доказал теорему Кронекера-Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , и в этом случае её решения зависят от $n - r$ свободных параметров. Отсюда следовало, что линейная система никогда не имеет ровно двух решений и что однородная система, в которой уравнений меньше, чем неизвестных, имеет нетривиальные решения.

Определитель и обратная матрица

Однако для квадратных систем важно решать вопрос о единственности, не проходя всего исключения. Урок об определителях, их свойствах и правиле Крамера истолковал определитель второго порядка как ориентированную площадь, определил его рекуррентно для любого порядка, доказал индукцией по порядку его шесть свойств и применил их для вычисления определителя приведением. Если это так, то каждое элементарное преобразование умножает определитель на ненулевое число, и отсюда следовало, что $\det A \neq 0$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{rg}(A) = n$ . Теорема о произведении, $\det(AB) = \det A \det B$ , была доказана там для второго порядка прямым вычислением, а правило Крамера, доказанное для любого порядка с помощью алгебраических дополнений одного столбца, выразило каждое неизвестное как частное определителей.

Урок об обратной матрице завершил этот круг вопросов. Он доказал, что обратная матрица единственна, что она существует тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю, и что она есть присоединённая матрица, делённая на определитель; что обращение произведения меняет порядок множителей на обратный; и что каждое элементарное преобразование есть умножение на элементарную матрицу, откуда метод Гаусса-Жордана превращает $\left( A, I \right)$ в $\left( I, A^{-1} \right)$ без вычисления определителей. Всё это было собрано в одной теореме о равносильных условиях, которая связывает четыре предыдущих урока; из неё было выведено, что достаточно проверить одно из двух произведений определения, а с помощью элементарных матриц для любого порядка была доказана теорема об определителе произведения:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rg}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

Геометрия матриц

Урок о матрицах как преобразованиях плоскости придал этому исчислению геометрический смысл. По теореме о столбцах матрицы второго порядка суть в точности линейные преобразования плоскости, и каждое из них определяется образами двух базисных векторов; по этому принципу были получены матрицы поворотов, проекций, отражений, гомотетий и сдвигов. Композиция преобразований оказалась умножением их матриц, откуда $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ и $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ; определитель оказался коэффициентом, на который умножаются площади, со знаком минус, если ориентация меняется; а поворот осей в уравнении второй степени записался как переход от $M$ к $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , со следом и определителем в качестве инвариантов.

Урок о комплексных числах как матрицах применил это прочтение к умножению на комплексное число. Соответствие $M(a + bi) = aI + bJ$ инъективно и сохраняет сумму и произведение; в нём квадрат модуля есть определитель, сопряжённое число есть транспонированная матрица, обратное число есть обратная матрица, а тригонометрическая форма есть поворот, за которым следует гомотетия, $M(z) = r R_\theta$ . Отсюда следовало, что формулы Эйлера и Муавра суть правило композиции поворотов, что матрицы комплексных чисел суть в точности те, которые коммутируют с $J$ , и что кватернионы Гамильтона тоже допускают представление матрицами, произведение которых уже не коммутативно.

Структуры

Наконец, урок об алгебраических структурах: группах, кольцах и полях выделил общее. Группа есть множество с ассоциативной операцией, с нейтральным элементом и с обратными; во всякой группе нейтральный элемент и обратные единственны, выполняется сокращение и $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , без использования коммутативности. Циклические подгруппы и смежные классы привели к теореме Лагранжа: порядок подгруппы делит порядок группы. Кольца в алгебраическом смысле и поля добавили вторую операцию, и на основе теоремы об обратимых остатках из урока курса I о сравнениях было доказано, что $\mathbb{Z}_n$ есть поле тогда и только тогда, когда $n$ простое. Наконец, изоморфизмы уточнили мысль о том, что две системы с одинаковой таблицей операций суть одна и та же система.

Итак, раздел образует цепь: композиция мотивирует произведение; произведение позволяет записать системы как уравнения $AX = B$ ; исключение решает их, а ранг их классифицирует; определитель решает вопрос о единственности, а обратная матрица выражает решение; композиция преобразований возвращает произведению его геометрический смысл; комплексные числа появляются как семейство преобразований, замкнутое относительно сложения и композиции; а понятие группы показывает, что единственность обратной матрицы, единственность обратного числа и единственность поворота, отменяющего другой, суть одна теорема. Рисунок ниже собирает четыре участка в единую цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, что принимаются без доказательства или происходят из предыдущих разделов или из курса I: они изображены пустыми кружками. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

AИндукция. Если свойство выполняется для первого случая и переходит от каждого случая к очередному, то оно выполняется во всех случаях; доказанная в разделе 1 курса I, индукция служит здесь для двойных сумм, исключения, степеней и поворотов. В этом разделе принимается без доказательства.
BАссоциативность произведения. Равенство $(AB)C = A(BC)$ выполняется всякий раз, когда произведения определены, так что произведение нескольких матриц можно группировать как угодно, не меняя порядка множителей. Устанавливается в: 2. Свойства произведения.
CТеорема о столбцах. Всякое линейное преобразование плоскости есть преобразование единственной матрицы, столбцы которой суть образы $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ . Устанавливается в: 16. Столбцы матрицы.
DФормулы сложения. Синус и косинус суммы, разности и двойного угла, доказанные в разделе 2, посвящённом аналитической тригонометрии. В этом разделе принимается без доказательства.
EВекторы на плоскости. Расстояние от точки до прямой, ортогональная проекция и признак параллельности, доказанные в разделе 4 курса I, посвящённом аналитической геометрии на плоскости. В этом разделе принимается без доказательства.
FПлощадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту; это принимается, как в элементарной геометрии, в доказательстве теоремы об ориентированной площади. В этом разделе принимается без доказательства.
GОстатки и сравнения. Деление с остатком, сравнение по модулю $n$ , его согласованность со сложением и умножением, классы вычетов и теорема об обратимых остатках, согласно которой $a$ имеет обратный по модулю $n$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{\text{НОД}}(a, n) = 1$ , доказанные в разделе 1 курса I, в уроках о делимости и о сравнениях. В этом разделе принимается без доказательства.

Участок 1 Алгебра матриц и линейные системы
- Определить произведение матриц исходя из композиции линейных замен и записать всякую линейную систему как уравнение $AX = B$ .
- Доказать ассоциативность, дистрибутивность и нейтральность единичной матрицы и понять, что произведение не коммутативно и допускает делители нуля.
- Доказать, что транспонирование меняет порядок множителей на обратный и что след не различает порядка.
- Доказать, что приведённый ступенчатый вид единствен, и определить с его помощью ранг.
- Решать всякую линейную систему методом Гаусса-Жордана и классифицировать её по теореме Кронекера-Капелли.
1. Произведение матриц. Элемент $(i, j)$ матрицы $AB$ есть сумма произведений элементов строки $i$ матрицы $A$ на элементы столбца $j$ матрицы $B$ ; так получается таблица композиции двух линейных замен, и всякая линейная система записывается как $AX = B$ .
  Доказывается в уроке: Матрицы и операции над матрицами.
2. Свойства произведения. Благодаря перестановке порядка двух суммирований произведение матриц ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, а единичные матрицы являются для него нейтральными; напротив, оно не коммутативно и допускает делители нуля и нильпотентные матрицы. Кроме того, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ и $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , откуда уравнение $AB - BA = I$ не имеет решения.
  Использует: 1. Произведение матриц. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Матрицы и операции над матрицами.
3. Метод Гаусса-Жордана. Элементарные преобразования строк превращают систему в равносильную, и всякая матрица приводится ими за конечное число преобразований к приведённому ступенчатому виду.
  Использует: 1. Произведение матриц. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Линейные системы и метод Гаусса-Жордана.
4. Единственность приведённого вида. Два приведённых ступенчатых вида, к которым приходят от одной и той же матрицы, равны, потому что их однородные системы имеют одни и те же решения; поэтому ранг, число ненулевых строк любого ступенчатого вида, не зависит от выбранных преобразований.
  Использует: 3. Метод Гаусса-Жордана. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Линейные системы и метод Гаусса-Жордана.
5. Кронекер-Капелли. Система $AX = B$ с расширенной матрицей $M$ и $n$ неизвестными совместна тогда и только тогда, когда $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , и тогда она определённая, если ранг равен $n$ , и зависит от $n - r$ свободных параметров, если $r < n$ ; в частности, система $AX = 0$ имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда $\operatorname{rg}(A) < n$ .
  Использует: 3. Метод Гаусса-Жордана, 4. Единственность приведённого вида. Доказывается в уроке: Линейные системы и метод Гаусса-Жордана.
Участок 2 Определитель и обратная матрица
- Истолковать определитель второго порядка как ориентированную площадь и определить его рекуррентно для любого порядка.
- Доказать индукцией по порядку свойства определителя, вычислять его приведением и решать с его помощью вопрос о единственности решений.
- Охарактеризовать обратимые матрицы и вычислять обратную матрицу через присоединённую и методом Гаусса-Жордана.
- Собрать в одной теореме условия, равносильные обратимости, и вывести из неё одностороннюю обратную матрицу и теорему об определителе произведения.
1. Ориентированная площадь. Абсолютная величина определителя матрицы со столбцами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ есть площадь параллелограмма, который они задают, а его знак показывает, происходит ли поворот от $\vec{u}$ к $\vec{v}$ против часовой стрелки или по часовой стрелке.
  Опирается на: E (Векторы на плоскости), D (Формулы сложения), F (Площадь параллелограмма). Доказывается в уроке: Определители: свойства и правило Крамера.
2. Свойства определителя. Индукцией по порядку, исходя из разложения по первой строке, получается, что определитель линеен по каждой строке, меняет знак при перестановке двух строк, обращается в нуль, если одна строка нулевая или две строки равны, не меняется при прибавлении к строке кратного другой и при транспонировании, равен произведению элементов диагонали для треугольной матрицы и раскладывается по любой строке или столбцу.
  Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Определители: свойства и правило Крамера.
3. Определитель и ранг. Квадратная матрица порядка $n$ имеет ненулевой определитель, то есть невырождена, тогда и только тогда, когда её ранг равен $n$ ; поэтому система $AX = 0$ имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда матрица $A$ вырождена, то есть когда $\det A = 0$ .
  Использует: 3. Метод Гаусса-Жордана, 4. Единственность приведённого вида, 5. Кронекер-Капелли, 7. Свойства определителя. Доказывается в уроке: Определители: свойства и правило Крамера.
4. Правило Крамера. Если $D = \det A \neq 0$ , то система $AX = B$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными имеет единственное решение, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , где $D_k$ получается заменой столбца $k$ столбцом свободных членов; это доказывается для любого порядка с помощью алгебраических дополнений столбца $k$ .
  Использует: 2. Свойства произведения, 5. Кронекер-Капелли, 7. Свойства определителя, 8. Определитель и ранг. Доказывается в уроке: Определители: свойства и правило Крамера.
5. Единственность обратной матрицы. Квадратная матрица имеет не более одной обратной: если $AB = BA = I$ и $AD = DA = I$ , то $B = D$ .
  Опирается на: B (Ассоциативность произведения). Доказывается в уроке: Обратная матрица.
6. Определитель и обратимость. Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда $\det A \neq 0$ , то есть когда она невырождена, и тогда её обратная есть присоединённая матрица, делённая на определитель; необходимость получается через ранг, без использования определителя произведения, а достаточность через лемму о чужих алгебраических дополнениях.
  Использует: 5. Кронекер-Капелли, 7. Свойства определителя, 8. Определитель и ранг. Опирается на: B (Ассоциативность произведения). Доказывается в уроке: Обратная матрица.
7. Свойства обратной матрицы. Если $A$ и $B$ обратимы, то обратимы также $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ при $c \neq 0$ и $A^m$ , и в частности $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Использует: 2. Свойства произведения, 10. Единственность обратной матрицы. Опирается на: B (Ассоциативность произведения), A (Индукция). Доказывается в уроке: Обратная матрица.
8. Обратная матрица методом Гаусса-Жордана. Каждое элементарное преобразование есть умножение на обратимую элементарную матрицу; если приведённый ступенчатый вид матрицы $A$ есть $I$ , то преобразования превращают $\left( A, I \right)$ в $\left( I, A^{-1} \right)$ и $A$ есть произведение элементарных матриц, а если нет, то $A$ необратима.
  Использует: 3. Метод Гаусса-Жордана, 4. Единственность приведённого вида, 12. Свойства обратной матрицы. Опирается на: B (Ассоциативность произведения). Доказывается в уроке: Обратная матрица.
9. Критерии обратимости и односторонняя обратная. Для квадратной матрицы $A$ порядка $n$ равносильны такие условия: она обратима; $\det A \neq 0$ ; каждая система $AX = D$ имеет единственное решение; система $AX = 0$ имеет только тривиальное решение; $\operatorname{rg}(A) = n$ ; её приведённый ступенчатый вид есть единичная матрица. Отсюда следует, что если $AB = I$ или $BA = I$ , то $B = A^{-1}$ .
  Использует: 5. Кронекер-Капелли, 4. Единственность приведённого вида, 11. Определитель и обратимость, 13. Обратная матрица методом Гаусса-Жордана. Опирается на: B (Ассоциативность произведения). Доказывается в уроке: Обратная матрица.
10. Определитель произведения. Для всех квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка выполняется $\det(AB) = \det A \det B$ : это доказывается с помощью элементарных матриц, если $A$ обратима, и через ранг, если нет.
  Использует: 7. Свойства определителя, 8. Определитель и ранг, 13. Обратная матрица методом Гаусса-Жордана, 14. Критерии обратимости и односторонняя обратная. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Обратная матрица.
Участок 3 Геометрия матриц
- Отождествить матрицы второго порядка с линейными преобразованиями плоскости и получить матрицы поворотов, проекций и отражений.
- Перевести композицию преобразований в произведение матриц, а определитель в коэффициент изменения площадей.
- Записать поворот осей в матричной форме, со следом и определителем в качестве инвариантов.
- Представлять комплексные числа матрицами, с модулем, сопряжённым, обратным и тригонометрической формой.
1. Столбцы матрицы. Всякое преобразование, заданное матрицей, линейно, и всякое линейное преобразование плоскости есть преобразование единственной матрицы, той, столбцами которой служат $T(\vec{e}_1)$ и $T(\vec{e}_2)$ .
  Использует: 2. Свойства произведения. Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
2. Повороты, проекции и отражения. Поворот на угол $\theta$ вокруг начала координат, проекция на прямую, проходящую через начало координат, и отражение относительно неё суть линейные преобразования с матрицами $R_\theta$ , $P_\alpha$ и $S_\alpha$ .
  Опирается на: C (Теорема о столбцах), D (Формулы сложения), E (Векторы на плоскости). Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
3. Композиция и произведение. Если $T$ есть преобразование с матрицей $A$ , а $U$ преобразование с матрицей $B$ , то композиция $T \circ U$ есть преобразование с матрицей $AB$ .
  Опирается на: B (Ассоциативность произведения), C (Теорема о столбцах). Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
4. Композиция поворотов и отражений. Выполняются равенства $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ и $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Использует: 17. Повороты, проекции и отражения, 18. Композиция и произведение. Опирается на: D (Формулы сложения), A (Индукция). Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
5. Определитель как коэффициент изменения площади. Преобразование с матрицей $A$ переводит единичный квадрат в параллелограмм, построенный на её столбцах, и умножает площади на $\abs{\det A}$ , что для общих областей принимается без доказательства; оно сохраняет ориентацию, если $\det A > 0$ , и меняет её, если $\det A < 0$ .
  Использует: 6. Ориентированная площадь. Опирается на: C (Теорема о столбцах). Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
6. Обратимые преобразования. Преобразование с матрицей $A$ биективно тогда и только тогда, когда $\det A \neq 0$ , и тогда обратное к нему есть преобразование с матрицей $A^{-1}$ ; если $\det A = 0$ , его образ содержится в прямой, проходящей через начало координат.
  Использует: 11. Определитель и обратимость, 18. Композиция и произведение. Опирается на: E (Векторы на плоскости). Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
7. Поворот осей в матричной форме. При повороте осей на угол $\theta$ симметрическая матрица $M$ квадратичной формы переходит в $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , у которой тот же след и тот же определитель, что у $M$ .
  Использует: 2. Свойства произведения, 7. Свойства определителя, 15. Определитель произведения, 19. Композиция поворотов и отражений. Доказывается в уроке: Матрицы как преобразования плоскости.
8. Комплексные числа как матрицы. Соответствие $M(a + bi) = aI + bJ$ инъективно и сохраняет сумму и произведение, а $J$ , матрица числа $i$ , есть поворот на четверть оборота, квадрат которого равен $-I$ .
  Использует: 1. Произведение матриц, 17. Повороты, проекции и отражения. Доказывается в уроке: Комплексные числа как матрицы.
9. Модуль, сопряжённое и обратное. Определитель матрицы $M(z)$ равен $\abs{z}^2$ , матрица сопряжённого числа есть транспонированная к $M(z)$ и, если $z \neq 0$ , матрица числа $z^{-1}$ есть обратная к $M(z)$ .
  Использует: 10. Единственность обратной матрицы, 20. Определитель как коэффициент изменения площади, 23. Комплексные числа как матрицы. Доказывается в уроке: Комплексные числа как матрицы.
10. Тригонометрическая форма и Муавр. Если $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , то $M(z) = r R_\theta$ , поворот, за которым следует гомотетия; а из $R_\theta^n = R_{n\theta}$ вытекает формула Муавра для любого целого показателя.
  Использует: 19. Композиция поворотов и отражений, 23. Комплексные числа как матрицы, 24. Модуль, сопряжённое и обратное. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Комплексные числа как матрицы.
Участок 4 Структуры
- Определить группы и доказать их элементарные свойства без использования коммутативности.
- Изучить циклические подгруппы и доказать теорему Лагранжа.
- Определить кольца в алгебраическом смысле и поля и решить, когда остатки $\mathbb{Z}_n$ образуют поле.
- Уточнить с помощью изоморфизмов, когда две группы суть одна и та же структура.
1. Свойства групп. Во всякой группе нейтральный элемент и обратный к каждому элементу единственны, выполняется сокращение с каждой стороны и $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , без использования коммутативности.
  Доказывается в уроке: Алгебраические структуры: группы, кольца и поля.
2. Циклическая подгруппа. В конечной группе всякий элемент $g$ имеет порядок $k$ , равенство $g^m = e$ выполняется тогда и только тогда, когда $k$ делит $m$ , и степени $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ образуют подгруппу из $k$ элементов.
  Использует: 26. Свойства групп. Опирается на: G (Остатки и сравнения). Доказывается в уроке: Алгебраические структуры: группы, кольца и поля.
3. Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы, потому что группа разбивается на непересекающиеся смежные классы, в каждом из которых столько же элементов, сколько в подгруппе.
  Использует: 26. Свойства групп. Доказывается в уроке: Алгебраические структуры: группы, кольца и поля.
4. Остатки образуют поле. При $n \geq 2$ остатки $\mathbb{Z}_n$ образуют поле, если $n$ простое, потому что по теореме об обратимых остатках всякий ненулевой остаток имеет обратный; если $n$ составное, у них есть делители нуля, и поля они не образуют.
  Опирается на: G (Остатки и сравнения). Доказывается в уроке: Алгебраические структуры: группы, кольца и поля.
5. Что сохраняет изоморфизм. Изоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, обратный к каждому элементу в обратный к его образу и каждый элемент в элемент того же порядка, и сохраняет коммутативность.
  Использует: 26. Свойства групп, 27. Циклическая подгруппа. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Алгебраические структуры: группы, кольца и поля.

К геометрии пространства. Цепь здесь не обрывается: в последующем разделе определитель третьего порядка даёт векторное произведение, смешанное произведение и объём параллелепипеда, а ранг и обратная матрица решают вопрос о пересечениях прямых и плоскостей и вычисляют их, так что алгебра этого раздела становится инструментом геометрии пространства.

Далее в этом уроке

Раздел внутри двух курсов
К геометрии пространства и дальше
Итоговая проверка
Задачи повышенной трудности
Матрица минимумов
Обратная матрица, меняющая размер
Матрицы, куб которых есть единичная матрица
Поворот тремя сдвигами
Год как сумма двух квадратов
Циркулянтный определитель
Погасить свет
Фибоначчи по модулю пять
Обратимые матрицы над конечным полем
Группа матриц порядка восемь

Продолжите чтение с бесплатным аккаунтом

Создайте бесплатный аккаунт, чтобы прочитать этот урок полностью и первые уроки каждого курса, а также сохранять свой прогресс.

Создать аккаунт Войти

Получите доступ ко всему курсу

Продолжение этого урока доступно по подписке. Подписка открывает доступ ко всем урокам каждого курса, с задачами и доказательствами.