Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

A linguagem da lógica proposicional

Resumo

Esta aula constrói, desde o início, a linguagem em que serão escritas todas as fórmulas do curso. Introduz primeiro o indispensável sobre conjuntos (pertinência, conjuntos dados por extensão e por compreensão, inclusão e união) e o aplica às cadeias de símbolos: seu comprimento, sua concatenação e seus prefixos, e a contagem das cadeias que podem ser escritas com dois símbolos. Sobre o alfabeto de dois símbolos, o círculo e o disco, define a língua base: infinitas variáveis, uma única regra de formação e uma cláusula de fecho, da qual se deduz um princípio para demonstrar propriedades de todas as fórmulas. Mostra depois como decidir se uma cadeia é uma fórmula, enuncia a leitura única e, por fim, constrói sobre a língua base a metalinguagem com que se trabalhará daqui em diante: metavariáveis, a negação conjunta escrita com parênteses e as abreviaturas oficiais dos demais conectivos, com sua leitura em português.

Objetivos de aprendizagem

  1. Descrever conjuntos de cadeias por extensão e por compreensão, e decidir relações de pertinência, de inclusão e de união entre eles.
  2. Contar as cadeias de um comprimento dado e as de comprimento limitado sobre um alfabeto de dois símbolos.
  3. Decidir se uma cadeia de círculos e discos é uma fórmula e, quando for, reconstruir o modo como foi formada.
  4. Demonstrar que todas as fórmulas têm uma propriedade por meio do princípio do fecho, e usar essas propriedades para descartar cadeias.
  5. Distinguir a linguagem-objeto da metalinguagem, desdobrar uma abreviatura até a cadeia da língua base e ler as fórmulas em português.

O que é preciso saber sobre conjuntos

Uma linguagem formal é, antes de tudo, uma coleção de cadeias de símbolos; sendo assim, para falar dela com precisão é preciso um vocabulário para as coleções. Esse vocabulário é o dos conjuntos, do qual esta aula toma apenas o que o curso usará. Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados seus elementos, que fica determinada por eles: dois conjuntos com os mesmos elementos são o mesmo conjunto. Que um objeto aa seja elemento do conjunto AA escreve-se a∈Aa \in A e lê-se “aa pertence a AA”; que não o seja escreve-se a∉Aa \notin A.

Um conjunto pode ser dado de duas maneiras. Por extensão, nomeando um a um seus elementos entre chaves, sem que importem a ordem nem as repetições; e por compreensão, enunciando a condição que seus elementos, e somente eles, cumprem, com dois-pontos que se leem “tais que”. Assim, os naturais menores que 55 formam o conjunto

{1,2,3,4}={n∈N:n<5}\{1, 2, 3, 4\} = \{ n \in \mathbb{N} : n < 5 \}

Uma variante da compreensão, muito frequente no que segue, descreve os elementos pela forma que têm: {2n:n∈N}\{ 2n : n \in \mathbb{N} \} é o conjunto dos números da forma 2n2n com nn natural, isto é, o dos pares. Um conjunto dado por extensão é necessariamente finito; por compreensão podem ser dados também conjuntos infinitos, como o dos pares.

Diz-se que AA está contido em BB, e escreve-se A⊆BA \subseteq B, quando todo elemento de AA é elemento de BB. Segue-se que dois conjuntos são iguais se e somente se cada um está contido no outro, porque então têm os mesmos elementos; e este é, de fato, o modo habitual de demonstrar uma igualdade de conjuntos: provar as duas inclusões. Por fim, a união A∪BA \cup B é o conjunto dos objetos que pertencem a AA, a BB ou a ambos; donde cada um dos dois conjuntos está contido em sua união.

ExemploPertinência, inclusão e união

Sejam A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={2,4,6,8}B = \{2, 4, 6, 8\} e P={2n:n∈N}P = \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}. Tem-se 2∈A2 \in A e 4∉A4 \notin A; além disso, B⊆PB \subseteq P, porque cada elemento de BB é o dobro de um natural, ao passo que AA não está contido em PP, porque 1∈A1 \in A e 1∉P1 \notin P. A união de AA e BB é {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}: o 22, que está em ambos, aparece uma só vez.