Summarium:
In hac lectione tractatur relatio inter limitem et continuitatem functionis, incipiendo ab expositione intuitiva et formali termini. Exploratur continuitas in puncto et in coniunctione, explanantur condiciones necessariae ut functio continua sit. Praeterea exhibentur proprietates algebraicae functionum continuarum, inter quas additiones, producta, quotiēntes et compositio functionum. Denique solvuntur exempla practica ad continuitatem diversarum functionum investigandam et limites computandos, eos cum notione continuitatis coniungendo.

Proposita Discendi:
Ad finem huius lectionis discipulus poterit:

1. Analyzare continuitatem functionis in puncto per verificationem conditionum definitarum.
2. Aestimare utrum functio sit continua in certo coniuncto utens definitione formali continuitatis.
3. Demonstrāre continuitatem functionis ex proprietatibus algebraicis eius.
4. Classificāre puncta discontinuitatis in diversos modos secundum condiciones quae non complentur.

INDEX CONTENTORUM:
Introductio
Continuitas in Puncto
Continuitas in Coniuncto
Proprietates Functionum Continuarum
Exercitia

Introductio

Intuitive loquendo intellegitur continuitas functionis ut proprietas quae sinit eius graphice “sine levare stilum” depingi. Haec notio, quae satis simplex est per se intellectu, non sufficit tamen, si rigor rationis mathematicae desideratur. Necessarium est minimum modorum. Formaliter loquendo, continuitas functionum arcte coniungitur cum notione limitis, et hoc est quod in detail investigabimus.

Continuitas in Puncto

Functio f(x) continua est in puncto x=x_0 si et tantum si condiciones sequentes complentur:

• f(x) definita est in x_0
• Limes \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) existit
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Hoc totum mathematicē compendiari potest per expressionem

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Hoc est ipsa definitio mathematica limitis in qua valor “L” substitutus est per “f(x_0)”

Continuitas in Coniuncto

Definitio continuitatis punctalis potest extendi ad continuitatem pro omnibus punctis intra certum coniunctum. Dicimus f(x) continuam esse intra coniunctum I\subseteq Dom(f) si continua est pro omnibus punctis x_0\in I. Hoc mathematicē compendiari potest per sequentem expressionem.

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Proprietates Functionum Continuarum

Algebra Functionum Continuarum

Si f et g sunt functiones continuae in I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g) tunc habebitur:

• f\pm g continua est in I
• f\cdot g continua est in I
• Si \alpha\in\mathbb{R}, tum \alpha f continua est in I
• f/g continua est in I dummodo g\neq 0
• Si \alpha,\beta\in\mathbb{R} et \beta\neq 0, tum f^{\alpha/\beta} continua est in I, dummodo f^{\alpha/\beta} bene definita sit in I.

Hae omnes proprietates quae videntur difficiles demonstratu ex definitione formali continuitatis revera facillimae sunt, quia fere analogicae sunt algebrae limitum quae iam demonstratae sunt, unde liberati sumus ab eis faciendis.

Compositio Functionum Continuarum

Si f continua est in I\subseteq Dom(f) et g continua est in f(I), tunc compositio (g\circ f)(x) = g(f(x)) continua est in I. Hoc, ut iam intellegitur, est consequens directum legum compositionis pro limitibus functionum.

Exercitia

1. Analyzate continuitatem sequentium functionum
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	SOLUTIO
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	SOLUTIO
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	SOLUTIO
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	SOLUTIO
   e.	y=csc(2x)	SOLUTIO
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	SOLUTIO
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	SOLUTIO
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	SOLUTIO
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	SOLUTIO

2. Computate sequentes limites. Suntne functiones continuae in punctis ad quae appropinquant?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	SOLUTIO
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	SOLUTIO
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	SOLUTIO
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	SOLUTIO
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	SOLUTIO
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	SOLUTIO