Ley de Coulomb y la Fuerza Electrostática

La «Ley de Coulomb y la Fuerza Electrostática» no solo ha ampliado nuestra comprensión de las fuerzas eléctricas, sino que también ha generado anécdotas inesperadas. Benjamin Franklin, en un experimento para desmayar y cocinar un pavo con electricidad, terminó siendo el sujeto de prueba: una descarga lo dejó aturdido y con el cabello erizado, como ilustrando en vida las lineas del campo eléctrico. Y ahora es nuestro turno para estudiar las fuerzas eléctricas.

Objetivos de aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de

1. Modelar fenómenos eléctricos utilizando el principio de superposición para calcular la fuerza resultante en una carga de prueba.
2. Simplificar el estudio de fuerzas eléctricas restringiéndolo al caso electrostático.
3. Aplicar la Ley de Coulomb para determinar la fuerza entre dos cargas en diversas situaciones.
4. Analizar sistemas centrados en la fuente de carga mediante una formulación simplificada de la Ley de Coulomb.
5. Resolver problemas prácticos relacionados con distribuciones de carga.

ÍNDICE DE CONTENIDOS:
El principio de superposición
La simplificación electrostática
La Ley de Coulomb
Ley de Coulomb para sistemas centrados en la fuente de cargas
Ejercicios

Ahora toca comenzar a modelar matemáticamente estos fenómenos y para esto introduciremos la Ley de Coulomb. Pero antes es necesario explicar algunos puntos, estos son: El principio de superposición y la simplificación electrostática.

El principio de superposición

EL problema fundamental de la electrodinámica consiste en determinar la fuerza que una «nube» de cargas eléctricas q_1, q_2, \cdots ejercen sobre una carga de prueba q_0, cuando la posición de cada una de estas es una función conocida del tiempo. En general, tanto las fuentes de carga como la carga de prueba están en movimiento relativo.

La solución de este problema se facilita a través del principio de superposición, que nos dice que la interacción de la carga de prueba con alguna fuente es completamente independiente de la interacción con las demás fuentes de carga. Esto quiere decir que siempre es posible determinar la fuerza \vec{F}_1 que aporta la carga q_1, la fuerza \vec{F}_2 que aporta q_2 y así sucesivamente para finalmente sumar y obtener la fuerza total

\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i

La simplificación electrostática

Si sólo hay que sumar fuerzas, entonces uno podría decir que basta con indicar la ecuación que describe la fuerza que cada fuente de carga ejerce sobre la carga de prueba y el asunto estaría resuelto; sin embargo, el problema no es tan sencillo. El problema está en que la fuerza depende no sólo de la distancia y la magnitud de las cargas, sino que además depende de la velocidad y la aceleración relativa de cada partícula. Y además de esto, tenemos que «la información eléctrica» sobre los cambios de posición, velocidad y aceleración de cada partícula viaja a la velocidad de la luz, por lo que esta tarda un cierto tiempo en llegar a la carga de prueba y transforme su efecto.

Así, con el objetivo de simplificar por ahora nuestro estudio, nos restringiremos al caso electrostático, es decir: todas las fuentes de carga permanecerán estacionarias, sólo la carga de prueba se podrá mover; y es en este contexto en que emerge la Ley de Coulomb.

La Ley de Coulomb

Supongamos que tenemos una carga de prueba q_0. con posición \vec{r} y una fuente de carga q con posición \vec{r}^\prime. ¿Cuál será la fuerza \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) la fuente de carga sobre la carga de prueba?. La respuesta a esta pregunta viene de la mano de la ley de Coulomb, que se expresa a través de la fórmula:

\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) =\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}

La ley de Coulomb no solo resume la ley de los signos para la fuera electrostática, sino que además establece que la fuerza entre cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

La constante \epsilon_0 se llama constante de permitividad eléctrica del vacío. Su valor en el sistema internacional es

,

\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]

Ley de Coulomb para sistemas centrados en la fuente de cargas

La ley de Coulomb puede ser expresada de una manera más simple si colocamos el observador sobre la fuente de cargas, es decir: haciendo \vec{r}^\prime = \vec{0}. De esta manera se tendrá que

\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}

Donde \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| es el vector unitario que va dirigido de la fuente a la carga de prueba.

Ejercicios

1. Doce cargas puntuales de igual magnitud q son puestas en las esquinas de un polígono regular de doce lados (como en los números de un reloj). ¿Cuál será la fuerza neta sobre una carga puntual q puesta en el centro?
2. Una de las doce cargas del ejercicio anterior es removida, supongamos que es la que estaría a las 12 en punto (si lo imaginamos como un reloj). ¿Qué fuerza sentirá ahora la carga puntual q?
3. Extienda el razonamiento de los dos ejercicios anteriores, pero ahora para una distribución de n fuentes de carga distribuidas sobre un polígono regular de n con una carga de prueba en el centro.
4. Se tienen tres cargas puntuales: q_1=+3[nC] con posición (0;0)[mm], q_2=-5[nC] con posición (0,56;0)[mm] y q_3=+7[nC] con posición (1;1)[mm]. Calcule la fuerza total sobre la carga q_3.
5. Sobre un eje se encuentra una carga q_1 = 3[C], y a una distancia de 40[mm] otra carga q_2 = 7[C]. Si entre estas dos cargas se coloca una tercera de modo tal que la suma de las fuerzas sobre ella es cero ¿Cuál será la distancia entre esta tercera carga y las otras dos?
6. Dos pequeñas esferas de cobre, cada una con una masa de 0,040[kg] son puestas separadas por una distancia de 2,0[m] Considerando que la masa molar del cobre es 63,5[g/mol] y su número atómico es 20, conteste las siguientes preguntas:
   1. ¿Cuántos electrones tiene cada esfera?
   2. ¿Cuántos electrones es necesario mover de una esfera a otra para producir una fuerza de atracción entre las esferas de unos 10^4[N].
   3. ¿Qué fracción de electrones de las esferas representa eso?