Lei de Coulomb e a Força Eletrostática
A “Lei de Coulomb e a Força Eletrostática” não apenas ampliou nossa compreensão sobre as forças elétricas, mas também gerou anedotas inesperadas. Benjamin Franklin, em um experimento para atordoar e cozinhar um peru com eletricidade, acabou sendo o próprio sujeito de teste: uma descarga o deixou atordoado e com os cabelos arrepiados, quase como ilustrando na vida real as linhas do campo elétrico. Agora é a nossa vez de estudar as forças elétricas.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o estudante será capaz de:
- Modelar fenômenos elétricos utilizando o princípio da superposição para calcular a força resultante em uma carga de teste.
- Simplificar o estudo das forças elétricas restringindo-o ao caso eletrostático.
- Aplicar a Lei de Coulomb para determinar a força entre duas cargas em diversas situações.
- Analisar sistemas centrados na fonte de carga através de uma formulação simplificada da Lei de Coulomb.
- Resolver problemas práticos relacionados a distribuições de carga.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
O princípio da superposição
A simplificação eletrostática
A Lei de Coulomb
Lei de Coulomb para sistemas centrados na fonte de carga
Exercícios
Agora é hora de começar a modelar matematicamente esses fenômenos e, para isso, introduziremos a Lei de Coulomb. Mas antes, é necessário explicar alguns pontos: o princípio da superposição e a simplificação eletrostática.
O princípio da superposição
O problema fundamental da eletrodinâmica consiste em determinar a força que uma “nuvem” de cargas elétricas q_1, q_2, \cdots exerce sobre uma carga de teste q_0, quando a posição de cada uma delas é uma função conhecida do tempo. Em geral, tanto as fontes de carga quanto a carga de teste estão em movimento relativo.
A solução desse problema é facilitada pelo princípio da superposição, que nos diz que a interação da carga de teste com uma fonte é completamente independente da interação com as outras fontes de carga. Isso significa que sempre é possível determinar a força \vec{F}_1 exercida pela carga q_1, a força \vec{F}_2 exercida por q_2 e assim por diante, para finalmente somar e obter a força total:
\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i
A simplificação eletrostática
Se basta somar forças, pode-se dizer que seria suficiente indicar a equação que descreve a força que cada fonte de carga exerce sobre a carga de teste, e o problema estaria resolvido; no entanto, o problema não é tão simples. A questão está no fato de que a força depende não apenas da distância e magnitude das cargas, mas também da velocidade e aceleração relativa de cada partícula. Além disso, a “informação elétrica” sobre as mudanças de posição, velocidade e aceleração de cada partícula viaja à velocidade da luz, levando um certo tempo para chegar à carga de teste e modificar seu efeito.
Assim, com o objetivo de simplificar nosso estudo por enquanto, restringiremos ao caso eletrostático, ou seja: todas as fontes de carga permanecerão estacionárias, apenas a carga de teste poderá se mover. É nesse contexto que surge a Lei de Coulomb.
A Lei de Coulomb
Suponha que temos uma carga de teste q_0 localizada na posição \vec{r}, e uma fonte de carga q localizada na posição \vec{r}^\prime. Qual será a força \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) que a fonte de carga exerce sobre a carga de teste? A resposta a esta pergunta vem da Lei de Coulomb, expressa pela fórmula:
\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}
A Lei de Coulomb não apenas resume a regra dos sinais para a força eletrostática, mas também estabelece que a força entre cargas elétricas é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.
A constante \epsilon_0 é chamada de constante de permissividade elétrica do vácuo. Seu valor no sistema internacional é:
\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]
Lei de Coulomb para sistemas centrados na fonte de carga
A Lei de Coulomb pode ser expressa de uma maneira mais simples se colocarmos o observador na fonte das cargas, ou seja: fazendo \vec{r}^\prime = \vec{0}. Desta forma, teremos:
\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}
Onde \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| é o vetor unitário que aponta da fonte para a carga de teste.
Exercícios
- Doze cargas pontuais de mesma magnitude q são colocadas nos vértices de um polígono regular de doze lados (como os números de um relógio). Qual será a força resultante sobre uma carga pontual q colocada no centro?
- Uma das doze cargas do exercício anterior é removida. Suponha que seja a carga localizada na posição das 12 horas (se imaginarmos como um relógio). Qual será a força sentida pela carga pontual q no centro agora?
- Estenda o raciocínio dos dois exercícios anteriores, mas agora para uma distribuição de n fontes de carga dispostas em um polígono regular de n lados, com uma carga de teste no centro.
- Considere três cargas pontuais: q_1=+3[nC] localizada na posição (0;0)[mm], q_2=-5[nC] na posição (0,56;0)[mm] e q_3=+7[nC] na posição (1;1)[mm]. Calcule a força total sobre a carga q_3.
- Sobre uma linha reta, uma carga q_1 = 3[C] está localizada, e a uma distância de 40[mm] encontra-se outra carga q_2 = 7[C]. Se uma terceira carga for colocada entre elas de forma que a soma das forças sobre ela seja zero, qual será a distância dessa terceira carga em relação às outras duas?
- Duas pequenas esferas de cobre, cada uma com uma massa de 0,040[kg], são colocadas a uma distância de 2,0[m]. Considerando que a massa molar do cobre é 63,5[g/mol] e seu número atômico é 20, responda às seguintes perguntas:
- Quantos elétrons há em cada esfera?
- Quantos elétrons precisam ser transferidos de uma esfera para outra para produzir uma força de atração de aproximadamente 10^4[N] entre elas?
- Que fração dos elétrons das esferas isso representa?