Loi de Coulomb et la Force Électrostatique

La « Loi de Coulomb et la Force Électrostatique » n’a pas seulement élargi notre compréhension des forces électriques, mais elle a aussi généré des anecdotes inattendues. Benjamin Franklin, lors d’une expérience visant à étourdir et à cuire une dinde avec de l’électricité, est devenu lui-même le sujet de l’expérience : une décharge l’a laissé étourdi avec les cheveux hérissés, illustrant comme dans la réalité les lignes du champ électrique. C’est maintenant à notre tour d’étudier les forces électriques.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de cette leçon, l’étudiant sera capable de :

1. Modéliser des phénomènes électriques en utilisant le principe de superposition pour calculer la force résultante sur une charge de test.
2. Simplifier l’étude des forces électriques en la limitant au cas électrostatique.
3. Appliquer la Loi de Coulomb pour déterminer la force entre deux charges dans diverses situations.
4. Analyser des systèmes centrés sur la source de charge en utilisant une formulation simplifiée de la Loi de Coulomb.
5. Résoudre des problèmes pratiques liés aux distributions de charges.

TABLE DES MATIÈRES :
Le principe de superposition
La simplification électrostatique
La Loi de Coulomb
Loi de Coulomb pour les systèmes centrés sur la source de charges
Exercices

Il est maintenant temps de commencer à modéliser mathématiquement ces phénomènes, et pour cela, nous introduirons la Loi de Coulomb. Mais avant, il est nécessaire d’expliquer quelques points : le principe de superposition et la simplification électrostatique.

Le principe de superposition

Le problème fondamental de l’électrodynamique consiste à déterminer la force qu’un « nuage » de charges électriques q_1, q_2, \cdots exerce sur une charge de test q_0, lorsque la position de chacune d’entre elles est une fonction connue du temps. En général, les sources de charges ainsi que la charge de test sont en mouvement relatif.

La solution de ce problème est facilitée par le principe de superposition, qui nous dit que l’interaction de la charge de test avec une source est complètement indépendante de l’interaction avec les autres sources de charges. Cela signifie qu’il est toujours possible de déterminer la force \vec{F}_1 produite par la charge q_1, la force \vec{F}_2 produite par q_2, et ainsi de suite, pour finalement additionner et obtenir la force totale :

\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i

La simplification électrostatique

S’il suffit d’additionner les forces, on pourrait dire qu’il suffit d’indiquer l’équation qui décrit la force que chaque source de charge exerce sur la charge de test et le problème serait résolu ; cependant, le problème n’est pas aussi simple. Le problème réside dans le fait que la force dépend non seulement de la distance et de la magnitude des charges, mais aussi de la vitesse et de l’accélération relatives de chaque particule. De plus, « l’information électrique » sur les changements de position, de vitesse et d’accélération de chaque particule voyage à la vitesse de la lumière, ce qui signifie qu’elle met un certain temps pour atteindre la charge de test et produire son effet.

Ainsi, dans le but de simplifier notre étude pour l’instant, nous nous limiterons au cas électrostatique, c’est-à-dire que toutes les sources de charges resteront stationnaires, seule la charge de test pourra se déplacer ; et c’est dans ce contexte que la Loi de Coulomb émerge.

La Loi de Coulomb

Supposons que nous avons une charge de test q_0, située à la position \vec{r}, et une source de charge q, située à la position \vec{r}^\prime. Quelle sera la force \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) exercée par la source de charge sur la charge de test ? La réponse à cette question est donnée par la Loi de Coulomb, qui s’exprime par la formule suivante :

\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) =\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}

La loi de Coulomb ne résume pas seulement la loi des signes pour la force électrostatique, mais établit également que la force entre des charges électriques est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

La constante \epsilon_0 est appelée constante de permittivité électrique du vide. Sa valeur dans le système international est :

\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]

Loi de Coulomb pour les systèmes centrés sur la source de charges

La loi de Coulomb peut être exprimée de manière plus simple si nous plaçons l’observateur au niveau de la source de charges, c’est-à-dire en posant \vec{r}^\prime = \vec{0}. Ainsi, la formule devient :

\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}

Où \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| est le vecteur unitaire dirigé de la source vers la charge de test.

Exercices

1. Douze charges ponctuelles de même magnitude q sont placées aux coins d’un polygone régulier à douze côtés (comme les chiffres d’une horloge). Quelle sera la force nette sur une charge ponctuelle q placée au centre ?
2. Une des douze charges de l’exercice précédent est retirée, supposons que c’est celle qui serait à 12 heures (si on l’imagine comme une horloge). Quelle force ressentira maintenant la charge ponctuelle q au centre ?
3. Étendez le raisonnement des deux exercices précédents pour une distribution de n sources de charge réparties sur un polygone régulier à n côtés, avec une charge de test placée au centre.
4. On dispose de trois charges ponctuelles : q_1=+3[nC] placée à la position (0;0)[mm], q_2=-5[nC] placée à la position (0,56;0)[mm], et q_3=+7[nC] placée à la position (1;1)[mm]. Calculez la force totale exercée sur la charge q_3.
5. Sur un axe se trouve une charge q_1 = 3[C], et à une distance de 40[mm], une autre charge q_2 = 7[C]. Si une troisième charge est placée entre ces deux charges de manière à ce que la somme des forces sur elle soit nulle, quelle sera la distance entre cette troisième charge et les deux autres ?
6. Deux petites sphères de cuivre, chacune ayant une masse de 0,040[kg], sont placées à une distance de 2,0[m]. En considérant que la masse molaire du cuivre est 63,5[g/mol] et que son numéro atomique est 20, répondez aux questions suivantes :
   1. Combien d’électrons contient chaque sphère ?
   2. Combien d’électrons faut-il déplacer d’une sphère à l’autre pour produire une force d’attraction entre les sphères d’environ 10^4[N] ?
   3. Quelle fraction des électrons des sphères cela représente-t-il ?