La Ecuación de las Parábolas: Definiciones y Propiedades
Resumen:
Esta clase explora la definición y deducción de la ecuación de una parábola, destacando su origen como el conjunto de puntos equidistantes a un foco y una directriz. A partir de este concepto, se revisan nociones previas como la distancia entre puntos en el plano cartesiano y la traslación de gráficos, lo que permite introducir la ecuación fundamental de las parábolas y su relación con los polinomios de segundo grado. Finalmente, se deduce la ecuación general de las parábolas con vértice en cualquier punto y se transforma en la forma canónica de un polinomio cuadrático.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de
- Comprender la definición geométrica de una parábola como el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz.
- Deducir la ecuación fundamental de la parábola utilizando la relación entre la distancia foco-directriz.
- Comprender la relación entre la parábola y los polinomios de segundo grado.
- Derivar la ecuación general de las parábolas con vértice en cualquier punto (h,k).
INDICE DE CONTENIDOS
Ideas previas para la obtención de la ecuación de las parábolas
Noción geométrica de las parábolas
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Traslación de Gráficos
Definición de Parábola
Deducción de la Ecuación Fundamental de las Parábolas
La Ecuación General de las Parábolas
Ecuación Canónica de las Parábolas y los Polinomios de Segundo Grado
Ideas previas para la obtención de la ecuación de las parábolas
Noción geométrica de las parábolas
Una parábola es la curva que se obtiene como la colección de todos los puntos equidistantes de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija llamada directriz. Para comprender esta definición y poder transformar esto en una expresión algebraica que podamos manipular, la ecuación de las parábolas, necesitamos primero revisar algunos conceptos previos
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Consideremos dos puntos p_1 = (x_1, y_1) y p_2 = (x_2, y_2). La distancia entre estos puntos es la longitud del segmento de recta que los une
Esta distancia la podemos medir a través del teorema de pitagoras haciendo la siguiente figura
De modo que la distancia d entre los dos puntos será
d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Traslación de Gráficos
Consideremos una función y(x) = x^2. Si graficamos esto tendremos algo como lo que se muestra en la figura
Si en esta función remplazamos x por x-1 e y por y-1,, entonces observaremos la siguiente transformación en el gráfico
En general, cada remplazo de este tipo produce una transformación de traslación, a saber
- x\longmapsto x-a: si a es positivo, se mueve a unidades a la derecha, si es negativo se mueve a la izquierda.
- y\longmapsto y-b: si b es positivo, se mueve b unidades a para arriba, si es negativo se mueve para abajo
Estas son las transformaciones de traslación y su efecto en general se ve resumido en la siguiente figura
Definición de Parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes a un punto fijo y una recta.
El punto fijo se llama foco, y la recta es la directriz. Si prestamos atención veremos que la noción de distancia es fundamental para definir las parábolas, de modo que para profundizar en su análisis será necesario repasar cómo se miden las distancias en el plano cartesiano y cómo se obtiene algebraicamente
Deducción de la Ecuación Fundamental de las Parábolas
Por simplicidad, consideremos el punto focal p_f= (0,f) y la directriz como la recta L de ecuación y=-p
Si tomamos un punto cualquiera de la parábola con coordenadas (x,y), entonces éste será equidistante tanto al foco como a la directriz. Esto lo podemos describir algebraicamente de la siguiente forma:
Distancia Foco-Punto(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = Distancia Punto(x,y)-Directriz
Y a partir de esto se desarrolla el siguiente razonamiento:
| (1) | \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f | ; Distancia punto-foco = distancia punto-directriz, Def. de parábola |
| (2) | x^2 + (f-y)^2= (y+f)^2 | ; De (1), elevando al cuadrado |
| x^2 + \cancel{f^2} - 2fy + \cancel{y^2}= \cancel{y^2} + 2fy + \cancel{f^2} | ||
| x^2 - 2fy = 2fy | ||
| \boxed{y=\dfrac{x^2}{4f}} |
Esto último es lo que llamamos Ecuación Fundamental de las Parábolas.
Si prestamos atención a esta parábola, veremos que existe un punto de ésta con la propiedad de ser el más cercano al foco (o equivalentemente a la directriz). Este punto es lo que llamamos vértice y para este caso en particular tiene coordenadas (0,0); la distancia entre el foco y el vértice es lo que llamamos distancia focal, y su valor f puede ser cualquier número real excepto el cero.
Cuando f\gt 0 la parábola se abre hacia arriba, y si por el contrario f\lt 0 entonces se abre hacia abajo. Conforme se hace tender f\to 0, la parábola se aplastará manteniendo el vértice en su posición y la directriz se acercará al vértice, se verá como si la parábola y la directriz se fusionan en una sola recta; cuando f se anula, el gráfico desaparece porque no existen las divisiones por cero.
La Ecuación General de las Parábolas
A partir de ecuación fundamental de las parábolas y la traslación de gráficos se tiene, como resultado de sustituir x\longmapsto (x-h) e y\longmapsto (y-k), la Ecuación General de las Parábolas con vértice en (h,k).
(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}
Ecuación Canónica de las Parábolas y los Polinomios de Segundo Grado
Si desarrollamos la ecuación general de las parábolas obtendremos el siguiente razonamiento:
| (1) | (y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f} | ; Ecuación general de las parábolas |
| 4f(y-k) = (x-h)^2 | ||
| 4fy-4fk = x^2 - 2hx + h^2 | ||
| 4fy = x^2 - 2hx + h^2 + 4fk | ||
| y = \dfrac{1}{4f}x^2 - \dfrac{h}{2f}x + \dfrac{h^2 + 4fk}{4f} |
Si en esta ecuación hacemos la sustitución a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} y c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f}, entonces la ecuación general de las parábolas se transforma en la ecuación canónica, que resulta ser justamente el polinomio de segundo grado.
\boxed{y=ax^2 + bx + c}