परवलय समीकरण प्राप्त करने के लिए पूर्ववर्ती विचार

परवलय की ज्यामितीय धारणा

परवलय एक वक्र है जो एक निश्चित बिंदु (जिसे फोकस कहा जाता है) और एक निश्चित रेखा (जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह है। इस परिभाषा को समझने और इसे एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति में बदलने के लिए, जिसे हम संचालित कर सकते हैं, परवलय का समीकरण, पहले हमें कुछ पूर्ववर्ती अवधारणाओं की समीक्षा करने की आवश्यकता है।

कार्टेशियन समतल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी

मान लें दो बिंदु हैं p_1 = (x_1, y_1) और p_2 = (x_2, y_2)। इन बिंदुओं के बीच की दूरी वह रेखा खंड की लंबाई है जो उन्हें जोड़ती है।

हम इस दूरी को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके माप सकते हैं।

इस प्रकार, दो बिंदुओं के बीच की दूरी d होगी:

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

ग्राफ का स्थानांतरण

मान लें कि कोई फ़ंक्शन हैy(x) = x^2। यदि हम इसे ग्राफ़ करेंगे, तो हमें नीचे दिए गए चित्र जैसा कुछ प्राप्त होगा:

यदि हम इस फ़ंक्शन में x को x-1 और y को y-1 से बदलते हैं, तो हम ग्राफ़ में निम्नलिखित परिवर्तन देखेंगे:

सामान्य रूप से, इस प्रकार के प्रत्येक प्रतिस्थापन से एक स्थानांतरण परिवर्तन होता है, अर्थात्:

• x\longmapsto x-a: यदि a सकारात्मक है, तो यह a इकाइयों से दाईं ओर स्थानांतरित होगा, और यदि नकारात्मक है, तो बाईं ओर।
• y\longmapsto y-b: यदि b सकारात्मक है, तो यह b इकाइयों से ऊपर की ओर स्थानांतरित होगा, और यदि नकारात्मक है, तो नीचे।

ये स्थानांतरण परिवर्तन हैं, और इनका सामान्य प्रभाव नीचे दी गई आकृति में संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है:

परवलय की परिभाषा

परवलय वह बिंदु सेट है जो एक निश्चित बिंदु और एक निश्चित रेखा से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

निश्चित बिंदु को फोकस कहा जाता है, और रेखा को डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। ध्यान दें कि दूरी की धारणा परवलय को परिभाषित करने के लिए मौलिक है, इसलिए गहन विश्लेषण करने के लिए हमें पुनः यह देखना होगा कि कार्टेशियन समतल पर दूरी कैसे मापी जाती है और इसे बीजगणितीय रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है।

परवलय के मौलिक समीकरण की व्युत्पत्ति

सरलता के लिए, मान लें फोकल बिंदु p_f= (0,f) और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण y=-p है।

यदि हम परवलय पर किसी बिंदु को (x,y) पर लेते हैं, तो यह बिंदु फोकस और डायरेक्ट्रिक्स से समान दूरी पर होगा। इसे हम निम्न बीजगणितीय रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

फोकस-बिंदु दूरी = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = बिंदु-डायरेक्ट्रिक्स दूरी

और इस आधार पर निम्न तर्क विकसित होता है:

यह अंतिम परिणाम परवलय का मौलिक समीकरण कहलाता है।

यदि हम इस परवलय को ध्यान से देखें, तो हम पाएंगे कि इसमें एक बिंदु ऐसा है जो फोकस (या समान रूप से डायरेक्ट्रिक्स) के सबसे निकट है। इस बिंदु को शीर्ष कहा जाता है, और इस विशेष मामले में इसकी निर्देशांक (0,0) होती है; फोकस और शीर्ष के बीच की दूरी को फोकल दूरी कहा जाता है, और इसका मान f कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है सिवाय शून्य के।

जब f\gt 0 हो, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और जब f\lt 0 हो, तो नीचे की ओर खुलता है। जब f\to 0, परवलय समतल होता जाता है, जबकि शीर्ष अपनी स्थिति बनाए रखता है, और डायरेक्ट्रिक्स शीर्ष के करीब आती जाती है। ऐसा प्रतीत होता है जैसे परवलय और डायरेक्ट्रिक्स एक ही रेखा में मिल जाते हैं; जब f शून्य होता है, तो ग्राफ गायब हो जाता है क्योंकि शून्य से विभाजन संभव नहीं होता।

परवलय का सामान्य समीकरण

परवलय के मौलिक समीकरण और ग्राफ स्थानांतरण से हमें x\longmapsto (x-h) और y\longmapsto (y-k) प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप (h,k) शीर्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है।

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

परवलय का मानक समीकरण और द्विघात बहुपद

यदि हम परवलय के सामान्य समीकरण का विकास करते हैं, तो हमें निम्नलिखित तर्क प्राप्त होता है:

यदि हम इस समीकरण में a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} और c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f} प्रतिस्थापित करते हैं, तो परवलय का सामान्य समीकरण मानक समीकरण में बदल जाता है, जो वास्तव में द्विघात बहुपद है।

\boxed{y=ax^2 + bx + c}