放物線の方程式を導出するための予備的な考察

放物線の幾何学的概念

放物線とは、ある固定された点（焦点）と固定された直線（準線）から等距離にある点の集合として得られる曲線である。この定義を理解し、代数的に扱える表現、すなわち放物線の方程式へと変換するためには、まずいくつかの基本的な概念を復習する必要がある。

デカルト平面における2点間の距離

2点を考える： p_1 = (x_1, y_1) および p_2 = (x_2, y_2)。これらの点の間の距離は、それらを結ぶ線分の長さである。

この距離は、次の図に示すようにピタゴラスの定理を用いて計算することができる。

したがって、2点間の距離 d は次のようになる：

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

グラフの平行移動

関数を考える： y(x) = x^2。これをグラフに描くと、次のような図になる。

この関数において、x を x-1 に、y を y-1 に置き換えると、グラフに次のような変化が生じる。

一般に、この種の置き換えは平行移動を引き起こす。その法則は次の通りである：

• x\longmapsto x-a： a が正の場合、グラフは右へ a 単位移動し、負の場合は左へ移動する。
• y\longmapsto y-b： b が正の場合、上へ b 単位移動し、負の場合は下へ移動する。

これらが平行移動による変換であり、その効果は次の図に要約されている：

放物線の定義

放物線とは、ある固定された点と直線から等距離にあるすべての点の集合である。

固定された点は焦点と呼ばれ、直線は準線と呼ばれる。ここで注目すべき点は、距離という概念が放物線の定義において本質的な役割を果たしていることであり、したがってその解析を深めるには、デカルト平面上での距離の測定方法とその代数的な表現について復習する必要がある。

放物線の基本方程式の導出

単純化のため、焦点を p_f = (0,f)、準線を y = -p という方程式をもつ直線 L とする。

放物線上の任意の点 (x,y) を考えると、この点は焦点および準線の両方から等距離である。この関係を代数的に表すと次のようになる：

焦点–点(x,y)間の距離 = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = 点(x,y)–準線間の距離

ここから、次のような論理展開が得られる：

この最後の式こそが、私たちが放物線の基本方程式と呼ぶものである。

この放物線に注目すると、焦点（または準線）に最も近い点が存在することがわかる。この点は頂点と呼ばれ、この場合の座標は (0,0) である。焦点と頂点との距離は焦点距離と呼ばれ、その値 f はゼロ以外の任意の実数であり得る。

f\gt 0 のとき、放物線は上に開き、逆に f\lt 0 のときは下に開く。f \to 0 と近づくにつれて、放物線は扁平になり、頂点の位置を保ったまま準線が頂点に近づいていき、放物線と準線が一つの直線に融合するように見える。f がゼロになると、ゼロ除算が存在しないため、グラフは消滅する。

放物線の一般方程式

放物線の基本方程式とグラフの平行移動に基づいて、x \longmapsto (x - h) および y \longmapsto (y - k) を代入することで、頂点が (h,k) にある放物線の一般方程式が得られる。

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

放物線の標準形方程式と2次多項式

放物線の一般方程式を展開すると、次のような論理的展開が得られる：

この方程式において、a=\dfrac{1}{4f}、b=-\dfrac{2h}{4f}、c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f} と置き換えると、放物線の一般方程式は標準形へと変換され、それはまさに 2次多項式 の形そのものである。

\boxed{y=ax^2 + bx + c}