Vorüberlegungen zur Herleitung der Gleichung der Parabeln

Geometrischer Begriff der Parabeln

Eine Parabel ist die Kurve, die als die Menge aller Punkte definiert ist, die gleich weit entfernt von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitlinie, liegen. Um diese Definition zu verstehen und sie in einen algebraischen Ausdruck zu verwandeln, den wir manipulieren können – die Gleichung der Parabeln –, müssen wir zunächst einige grundlegende Begriffe wiederholen.

Abstand zwischen zwei Punkten im kartesischen Koordinatensystem

Betrachten wir zwei Punkte p_1 = (x_1, y_1) und p_2 = (x_2, y_2). Der Abstand zwischen diesen Punkten ist die Länge der Geraden, die sie verbindet.

Diesen Abstand können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen, indem wir die folgende Figur betrachten:

Somit ergibt sich der Abstand d zwischen den beiden Punkten als

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Verschiebung von Grafiken

Betrachten wir eine Funktion y(x) = x^2. Wenn wir diese Funktion zeichnen, erhalten wir eine Grafik ähnlich der folgenden Abbildung:

Wenn wir in dieser Funktion x durch x-1 und y durch y-1 ersetzen, dann ergibt sich folgende Transformation im Diagramm:

Im Allgemeinen bewirkt jede solche Ersetzung eine Verschiebungstransformation, nämlich:

• x\longmapsto x-a: Ist a positiv, verschiebt sich die Grafik um a Einheiten nach rechts, ist a negativ, verschiebt sie sich nach links.
• y\longmapsto y-b: Ist b positiv, verschiebt sich die Grafik um b Einheiten nach oben, ist b negativ, verschiebt sie sich nach unten.

Diese Transformationen nennt man Verschiebungen, und ihre allgemeine Wirkung ist in der folgenden Abbildung zusammengefasst:

Definition der Parabel

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die gleich weit entfernt von einem festen Punkt und einer Geraden sind.

Der feste Punkt wird Brennpunkt genannt, und die Gerade ist die Leitlinie. Wenn wir genau hinsehen, erkennen wir, dass der Begriff der Distanz grundlegend für die Definition von Parabeln ist. Um ihre Analyse zu vertiefen, ist es daher notwendig, sich daran zu erinnern, wie Entfernungen in der kartesischen Ebene gemessen und algebraisch dargestellt werden.

Herleitung der Grundgleichung der Parabeln

Der Einfachheit halber betrachten wir den Brennpunkt p_f= (0,f) und die Leitlinie als die Gerade L mit der Gleichung y=-p

Wenn wir einen beliebigen Punkt der Parabel mit den Koordinaten (x,y) nehmen, dann ist dieser gleich weit vom Brennpunkt und der Leitlinie entfernt. Dies lässt sich algebraisch wie folgt beschreiben:

Abstand Brennpunkt–Punkt(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = Abstand Punkt(x,y)–Leitlinie

Daraus ergibt sich folgende Argumentation:

Dies ist das, was wir die Grundlegende Gleichung der Parabeln nennen.

Wenn wir diese Parabel genauer betrachten, sehen wir, dass es einen Punkt gibt, der dem Brennpunkt (bzw. der Leitlinie) am nächsten liegt. Dieser Punkt wird als Scheitelpunkt bezeichnet und hat in diesem speziellen Fall die Koordinaten (0,0); der Abstand zwischen Brennpunkt und Scheitelpunkt wird als Brennweite bezeichnet, und sein Wert f kann jede reelle Zahl außer null sein.

Wenn f\gt 0, öffnet sich die Parabel nach oben, und wenn f\lt 0, öffnet sie sich nach unten. Wenn f\to 0, wird die Parabel flacher, wobei der Scheitelpunkt an seiner Position bleibt und sich die Leitlinie dem Scheitelpunkt annähert. Es scheint, als würden Parabel und Leitlinie zu einer einzigen Geraden verschmelzen; wenn f null wird, verschwindet die Grafik, da Divisionen durch null nicht definiert sind.

Die Allgemeine Gleichung der Parabeln

Ausgehend von der grundlegenden Gleichung der Parabeln und der Verschiebung von Grafiken ergibt sich durch Ersetzung von x\longmapsto (x-h) und y\longmapsto (y-k) die Allgemeine Gleichung der Parabeln mit Scheitelpunkt bei (h,k).

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

Kanonische Gleichung der Parabeln und quadratische Polynome

Wenn wir die allgemeine Gleichung der Parabeln entwickeln, erhalten wir folgendes Argumentationsschema:

Wenn wir in dieser Gleichung die Ersetzungen a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} und c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f} vornehmen, dann wird die allgemeine Gleichung der Parabeln in die kanonische Gleichung umgewandelt, die genau dem Polynom zweiten Grades entspricht.

\boxed{y=ax^2 + bx + c}