Prænotiones ad Æquationem Parabolæ Obtinendam

Notio Geometrica Parabolæ

Parabola est curva quæ obtinetur ut collectio omnium punctorum æquidistantium a puncto fixo, quod vocatur focus, et recta fixa quæ dicitur directrix. Ad hanc definitionem intellegendam et ad exprimendum eam per formulam algebraicam tractabilem, scilicet æquationem parabolæ, oportet prius quasdam notiones priores recognoscere.

Distantia inter Duo Puncta Plani Cartesiani

Consideremus duo puncta p_1 = (x_1, y_1) et p_2 = (x_2, y_2). Distantia inter hæc puncta est longitudo segmenti recti quod ea coniungit.

Hanc distantiam metiri possumus per theorema Pythagoricum componendo figuram sequentem.

Itaque distantia d inter duo puncta erit

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Translatio Graphorum

Consideremus functionem y(x) = x^2. Si hanc functionem depingimus, apparebit figura similis huic:

Si in hac functione x substituimus per x-1 et y per y-1,, tum observabimus hanc transformationem in graphico:

In genere, quælibet substitutio huius generis efficit transformationem translationis, scilicet:

• x\longmapsto x-a: si a est positivum, graphum movetur a unitatibus ad dextram; si negativum, ad sinistram.
• y\longmapsto y-b: si b est positivum, graphum movetur b unitatibus sursum; si negativum, deorsum.

Hæ sunt transformationes translationis, quarum effectus generalis in figura sequente ostenditur:

Definitio Parabolæ

Parabola est collectio omnium punctorum quæ sunt æquidistantia a puncto fixo et linea recta.

Punctum fixum dicitur focus, et linea recta est directrix. Si attente consideramus, videbimus notionem distantiæ esse fundamentalem ad definitionem parabolæ; ideo, ad analysin eius profundiorem peragendam, necesse est recognoscere quomodo distantiae in plano cartesiano metiantur et algebraice exprimantur.

Deductio Æquationis Fundamentalis Parabolæ

Propter simplicitatem, consideremus punctum focale p_f= (0,f) et directricem ut rectam L cuius æquatio est y=-p

Si sumamus punctum quodlibet in parabola, cuius coordinatæ sunt (x,y), tum hoc punctum erit æquidistans tam a foco quam a directrice. Hoc algebraice exprimere possumus hoc modo:

Distantia Focus-Punctum(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = Distantia Punctum(x,y)-Directrix

Et ex hoc nascitur sequens ratiocinatio:

Hoc ultimum est quod vocamus Æquatio Fundamentalis Parabolæ.

Si attente consideremus hanc parabolam, videbimus exstare punctum in ea quod est proximum foco (vel æquivalenter, directrici). Hoc punctum vocatur vertex et in hoc casu particulari habet coordinatas (0,0); distantia inter focum et verticem vocatur distantia focalis, et eius valor f esse potest quivis numerus realis excepto nullo.

Cum f\gt 0, parabola aperitur sursum, et si contra f\lt 0, aperitur deorsum. Cum f\to 0, parabola deprimetur, vertice in eadem positione manente, et directrix vertici appropinquabit, ita ut videatur parabolam et directricem in unam rectam coalescere; cum f=0, graphice evanescit quia divisionibus per nihilum carere non possumus.

Æquatio Generalis Parabolæ

Ex æquatione fundamentali parabolæ et translatione graphorum, obtinetur, substituendo x\longmapsto (x-h) et y\longmapsto (y-k),, Æquatio Generalis Parabolæ cum vertice in (h,k).

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

Æquatio Canonica Parabolæ et Polynomia Secundi Gradus

Si evolvamus æquationem generalem parabolæ, consequemur ratiocinium sequentem:

Si in hac æquatione substitutionem facimus a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} et c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f},, tum æquatio generalis parabolæ transformatur in æquationem canonicam, quæ revera est polynomia secundi gradus.

\boxed{y=ax^2 + bx + c}