Ideias prévias para a obtenção da equação das parábolas

Noção geométrica das parábolas

Uma parábola é a curva que se obtém como a coleção de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado foco, e uma linha fixa chamada diretriz. Para entender essa definição e poder transformá-la em uma expressão algébrica que possamos manipular, a equação das parábolas, precisamos primeiro revisar alguns conceitos prévios.

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Consideremos dois pontos p_1 = (x_1, y_1) e p_2 = (x_2, y_2). A distância entre esses pontos é o comprimento do segmento de reta que os une.

Essa distância podemos medir através do teorema de pitágoras fazendo a seguinte figura.

Assim, a distância d entre os dois pontos será:

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Translação de Gráficos

Consideremos uma função y(x) = x^2. Se desenharmos isso, teremos algo como o que é mostrado na figura.

Se nesta função substituirmos x por x-1 e y por y-1, então observaremos a seguinte transformação no gráfico.

Em geral, cada substituição desse tipo produz uma transformação de translação, a saber:

• x\longmapsto x-a: se a for positivo, move-se a unidades para a direita, se for negativo, move-se para a esquerda.
• y\longmapsto y-b: se b for positivo, move-se b unidades para cima, se for negativo, move-se para baixo.

Essas são as transformações de translação e seu efeito em geral é resumido na figura a seguir.

Definição de Parábola

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que são equidistantes a um ponto fixo e uma linha.

O ponto fixo chama-se foco, e a linha é a diretriz. Se prestarmos atenção, veremos que a noção de distância é fundamental para definir as parábolas, de modo que, para aprofundar sua análise, será necessário revisar como se medem as distâncias no plano cartesiano e como se obtêm algébrica e geometricamente.

Dedução da Equação Fundamental das Parábolas

Por simplicidade, consideremos o ponto focal p_f= (0,f) e a diretriz como a linha L de equação y=-p.

Se tomarmos um ponto qualquer da parábola com coordenadas (x,y), então ele será equidistante tanto ao foco quanto à diretriz. Podemos descrever isso algebricamente da seguinte forma:

Distância Foco-Ponto(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = Distância Ponto(x,y)-Diretriz.

E a partir disso, desenvolve-se o seguinte raciocínio:

Isso é o que chamamos de Equação Fundamental das Parábolas.

Se prestarmos atenção a esta parábola, veremos que existe um ponto dela com a propriedade de ser o mais próximo do foco (ou equivalentemente da diretriz). Este ponto é o que chamamos de vértice e, para este caso específico, tem coordenadas (0,0); a distância entre o foco e o vértice é o que chamamos de distância focal, e seu valor f pode ser qualquer número real, exceto zero.

Quando f\gt 0, a parábola se abre para cima, e se, pelo contrário, f\lt 0, então ela se abre para baixo. À medida que fazemos f\to 0, a parábola se achatará, mantendo o vértice em sua posição, e a diretriz se aproximará do vértice, parecendo que a parábola e a diretriz se fundem em uma única linha; quando f se anula, o gráfico desaparece, pois não existem divisões por zero.

A Equação Geral das Parábolas

A partir da equação fundamental das parábolas e da translação de gráficos, temos, como resultado da substituição de x\longmapsto (x-h) e y\longmapsto (y-k),, a Equação Geral das Parábolas com vértice em (h,k).

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

Equação Canônica das Parábolas e os Polinômios de Segundo Grau

Se desenvolvermos a equação geral das parábolas, obteremos o seguinte raciocínio:

Se nesta equação fizermos a substituição a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} e c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f}, então a equação geral das parábolas transforma-se na equação canônica, que resulta ser justamente o polinômio de segundo grau.

\boxed{y=ax^2 + bx + c}