Definições básicas

A parte que condensa a essência de um espaço de probabilidades é justamente a ideia de medida de probabilidade. Esta é a função que quantifica, finalmente, a possibilidade de que certo evento ocorra.

Uma medida de probabilidade P é uma função tal que, dada uma sigma-álgebra \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}), atribui uma probabilidade a cada evento E\in\mathcal{A}. Esta medida de probabilidade satisfaz as seguintes propriedades:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1, E_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (continuidade)

Probabilidade como Limite de Frequências Relativas

Esta noção de probabilidade pode ser compreendida através da ideia intuitiva de probabilidade como “limite de frequências relativas”. Por exemplo, no experimento em que se lança N vezes um dado de 6 faces. O espaço amostral de cada lançamento é \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. Se A é um evento qualquer de \Omega_{1d6}, então podemos medir a frequência f_N(A) com que ocorre o evento A ao realizar N lançamentos. Ao fazer isso, verificaremos que:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

e se considerarmos um segundo evento qualquer B de \Omega_{1d6}, então ocorrerá que:

(A \cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A \cup B) = f_N(A) + f_N(B) )

A partir disto podemos definir uma nova “função” g_N, que chamamos frequência relativa, através da expressão

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

Notaremos que a função g_N cumpre com as primeiras três propriedades, apenas a quarta (de continuidade) não pode ser obtida desta maneira, mas é introduzida por razões mais “técnicas”, já que alguns resultados não podem ser obtidos sem esta propriedade.

Mesmo com isso, g_N ainda não é uma medida de probabilidade, porque ainda não é uma função. Isso é devido ao fato de que, independentemente do valor de N, g_N não está necessariamente entregando um único valor, como faria uma função. Para resolver isso, adicionamos um passo ao limite para finalmente ter uma medida de probabilidade, obtendo:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

Isto é o que se conhece como Probabilidade como Limite das frequências relativas.

Exemplo: o lançamento de um dado

Continuando a análise do lançamento de um dado de 6 faces, teremos que:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

e se o experimento se repete um grande número de vezes, poderá verificar que

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

Por isso, se definimos P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}), então ocorrerá que:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

A partir deste exemplo também é simples intuir que, dado um evento E de um espaço amostral \Omega

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

Isto é o que se conhece como a “probabilidade como casos favoráveis sobre casos totais” e é fundamental para compreender uma grande quantidade de raciocínios sobre o espaço de probabilidades e a medida de probabilidade.