Definiciones básicas

La parte que condensa la esencia de un espacio de probabilidades es justo la idea de medida de probabilidad. Esto es la fución que cuantifica, finalmente, la posibilidad de que cierto evento ocurra.

Una medida de probabilidad P es una función tal que. dada una sigma-álgebra \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}), asigna una probabilidad a cada evento E\in\mathcal{A}. Esta medida de probabilidad satisface las siguientes porpiedades:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (continuidad)

Probabilidad como Límite de Frecuencias Relativas

Esta noción de probabilidad se puede comprender a través de la idea intuitiva de probabilidad como «límite de las frecuencias relativas». Tomemos, por ejemplo,el experimento en que se lanza N veces un dado de 6 caras. El espacio muestral de cada lanzamiento es \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. Si A es un evento cualquiera de \Omega_{1d6}, entonces podemos medir la frecuencia f_N(A) con que ocurre el evento A al realizarse N lanzamientos. Haciendo esto verificaremos que:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

y si consideramos un segundo evento cualquiera B de \Omega_{1d6}, entonces ocurrirá que:

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

A partir de ésto podemos definir una nueva «función» g_N, que llamamos frecuecia relativa, a través de la expresión

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

Notaremos que la función g_N cumple con las primeras tres propiedades, sólo la cuarta (de continuidad) no se puede obtener de éste modo, pero es introducida por razones mas bien «técnicas» ya que algunos resultados no pueden ser obtenidos sin esta propiedad.

Aún con esto, g_N todavía no es una medida de probabilidad, porque aún no es una función. Esto es debido a que, sin importar el valor de N, g_N no está entregando por necesidad un único valor, como haría una funcion. Para solucionar esto agregamos un paso al límite para tener finalmente una medida de probabilidad, obteniendo:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

Esto es lo que se conoce como Probabilidad como Límite de las frecuencias relativas.

Ejemplo: el lanzamiento de un dado

Continuando el análisis del lanzamiento de un dado de 6 caras, se tendrá que:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

y si el experimento se repite una cantidad grande de veces, se podrá verificar que

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

Por lo que si definimos P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}), entonces ocurrirá que:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

A partir de este ejemplo también es sencillo intuir que, dado un evento E de un espacio muestral \Omega

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

Esto es lo que se conoce como la «probabilidad como casos faborables sobre casos totales» y es fundamental para comprender gran cantidad de razonamientos sobre el espacio de probabilidades y la medida de probabilidad.