Définitions de base

La partie qui condense l’essence d’un espace de probabilités est justement l’idée de mesure de probabilité. C’est la fonction qui quantifie, finalement, la possibilité qu’un certain événement se produise.

Une mesure de probabilité P est une fonction telle que, donnée une sigma-algèbre \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}), elle assigne une probabilité à chaque événement E\in\mathcal{A}. Cette mesure de probabilité satisfait les propriétés suivantes :

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1, E_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (continuité)

Probabilité en tant que Limite des Fréquences Relatives

Cette notion de probabilité peut être comprise à travers l’idée intuitive de la probabilité en tant que « limite des fréquences relatives ». Prenons, par exemple, l’expérience où l’on lance N fois un dé à 6 faces. L’espace des échantillons de chaque lancer est \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. Si A est un événement quelconque de \Omega_{1d6}, nous pouvons alors mesurer la fréquence f_N(A) à laquelle l’événement A se produit lors de N lancers. En faisant cela, nous vérifierons que :

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

et si nous considérons un second événement quelconque B de \Omega_{1d6}, il en résultera que :

(A \cap B = \emptyset) \rightarrow (f_N(A \cup B) = f_N(A) + f_N(B))

À partir de cela, nous pouvons définir une nouvelle « fonction » g_N, que nous appelons fréquence relative, à travers l’expression

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

Nous remarquerons que la fonction g_N remplit les trois premières propriétés, seule la quatrième (de continuité) ne peut pas être obtenue de cette manière, mais est introduite pour des raisons plutôt « techniques » car certains résultats ne peuvent pas être obtenus sans cette propriété.

Malgré cela, g_N n’est pas encore une mesure de probabilité, car elle n’est pas encore une fonction. Cela est dû au fait que, quelle que soit la valeur de N, g_N ne donne pas nécessairement une valeur unique, comme le ferait une fonction. Pour résoudre cela, nous ajoutons une étape à la limite pour finalement obtenir une mesure de probabilité, obtenant :

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

C’est ce que l’on appelle la Probabilité en tant que Limite des fréquences relatives.

Exemple : le lancer d’un dé

Poursuivant l’analyse du lancer d’un dé à 6 faces, il s’avérera que :

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

et si l’expérience est répétée un grand nombre de fois, on pourra vérifier que

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

Par conséquent, si nous définissons P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}), il en résultera que :

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

À partir de cet exemple, il est également simple d’intuire que, pour un événement E d’un espace d’échantillonnage \Omega

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

C’est ce que l’on appelle la « probabilité comme cas favorables sur cas totaux » et est fondamental pour comprendre de nombreux raisonnements concernant l’espace de probabilités et la mesure de probabilité.