Grundlegende Definitionen

Der Teil, der die Essenz eines Wahrscheinlichkeitsraums verdichtet, ist genau die Idee des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Dies ist die Funktion, die letztlich die Möglichkeit quantifiziert, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Funktion, die, gegeben eine Sigma-Algebra \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}), jedem Ereignis E\in\mathcal{A} eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllt die folgenden Eigenschaften:

1. (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)
2. P(\Omega) = 1
3. \left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]
4. \displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (Stetigkeit)

Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer Häufigkeiten

Dieser Begriff der Wahrscheinlichkeit lässt sich verstehen durch die intuitive Idee der Wahrscheinlichkeit als „Grenzwert der relativen Häufigkeiten“. Nehmen wir zum Beispiel das Experiment, bei dem N-mal ein Würfel mit 6 Seiten geworfen wird. Der Ergebnisraum jedes Wurfs ist \Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}. Wenn A ein beliebiges Ereignis aus \Omega_{1d6} ist, dann können wir die Häufigkeit f_N(A) messen, mit der das Ereignis A bei N Würfen auftritt. Wenn wir dies tun, werden wir feststellen, dass:

0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N,

und wenn wir ein zweites beliebiges Ereignis B aus \Omega_{1d6} betrachten, dann gilt:

(A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )

Daraus können wir eine neue „Funktion“ g_N definieren, die wir relative Häufigkeit nennen, durch den Ausdruck

g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N}

Wir werden feststellen, dass die Funktion g_N die ersten drei Eigenschaften erfüllt, nur die vierte (Stetigkeit) kann auf diese Weise nicht gewonnen werden, wird jedoch aus eher „technischen“ Gründen eingeführt, da einige Ergebnisse ohne diese Eigenschaft nicht erzielt werden können.

Trotzdem ist g_N noch kein Wahrscheinlichkeitsmaß, weil es noch keine Funktion ist. Dies liegt daran, dass, unabhängig vom Wert von N, g_N nicht notwendigerweise einen eindeutigen Wert liefert, wie es eine Funktion tun würde. Um dies zu beheben, fügen wir einen Grenzwertschritt hinzu, um schließlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu erhalten, und zwar:

\displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A)

Dies ist das, was als Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeiten bekannt ist.

Beispiel: der Wurf eines Würfels

Setzt man die Analyse des Wurfs eines Würfels mit 6 Seiten fort, wird man haben, dass:

\displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right)

und wenn das Experiment eine große Anzahl von Malen wiederholt wird, kann man feststellen, dass

\displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right)

\displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1

Wenn wir also P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}) definieren, dann wird gelten:

\displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2}

Aus diesem Beispiel lässt sich auch leicht ableiten, dass für ein Ereignis E eines Ergebnisraums \Omega gilt:

\displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega}

Dies ist das, was als „Wahrscheinlichkeit als günstige Fälle über Gesamtfälle“ bekannt ist und grundlegend für das Verständnis einer Vielzahl von Überlegungen über den Wahrscheinlichkeitsraum und das Wahrscheinlichkeitsmaß ist.