Probabilidad Condicional e Independencia entre Eventos
Resumen
En esta sesión, exploraremos el concepto de probabilidad condicional y la interacción entre eventos. Vamos a adquirir las habilidades para calcular probabilidades condicionales y determinar la dependencia o independencia entre eventos. Aplicaremos ejemplos prácticos, como el estudio de la prevalencia de caries en consumidores de dulces, para ilustrar estos conceptos. Al concluir, tendrás una clara comprensión de cómo aplicar la probabilidad condicional y analizar eventos dependientes e independientes.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
Al finalizar esta clase, serás capaz de:
- Comprender la definición de probabilidad condicional y su relación con la intersección de eventos y las probabilidades individuales.
- Identificar asociaciones positivas y negativas entre eventos a partir de la comparación de probabilidades condicionales.
- Probar la independencia entre diferentes eventos.
INDICE DE CONTENIDOS
LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
DEFINICIÓN FORMAL DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
RELACIÓN ENTRE EVENTOS
INDEPENDENCIA ENTRE EVENTOS Y COMPLEMENTOS DE EVENTOS
La Probabilidad Condicional
¿Cual es la probabilidad de que un evento A ocurra dado que ya ha ocurrido B? El cálculo de este tipo de probabilidades es lo que involucra el concepto de probabilidad condicional. En lo que viene a continuación estudiaremos la probabilidad condicional, su definición y el cómo a partir de esto se infieren las relaciones de dependencia e independencia entre eventos.
Supongamos que queremos medir la prevalencia de caries entre los consumidores habituales de dulces. Si examinamos un espacio muestral formado de N personas \Omega_N, veremos que se puede dividir en 4 subconjuntos:
- A:=\left\{ {Personas\;que\;tienen\;caries}\right\}
- A^c:=\left\{{Personas\;que\;NO\;tienen\;caries}\right\}
- B:=\left\{ {Personas\;que\;comen\;dulces\;regularmente}\right\}
- B^c:=\left\{{Personas\;que\;NO\;comen dulces\;regularmente}\right\}
A partir de esto es claro que A\cup A^c = \Omega_N y B\cup B^c = \Omega_N, pero A\cap B no es necesariamente vacío. El escenario general se ve representado por la siguiente figura:
Entonces, si recordamos la definición de probabilidad como el límite de las frecuencias relativas, podremos decir que la probabilidad de que una persona tenga caries dado que se ha corroborado que consume dulces, P(A|B) será:
P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}
Por otro lado, se tiene que:
P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}
↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)
P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}
↳ \#B = \#\Omega_N P(B)
De modo que si remplazamos estas últimas dos expresiones sobre P(A|B), se tendrá:
P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Con esto se constituye la siguiente definición
Definición formal de probabilidad condicional
DEFINICIÓN: Se define la probabilidad de A, dado que ha ocurrido B, P(A|B), a través de la relación
P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■
En el pensamiento cotidiano se tiende a dar cierta confusión entre P(A|B) y P(B|A). Para arrojas luz sobre esta diferencia, revisemos un ejemplo basado en un caso extremo: Notemos que mientras la totalidad de los futbolistas tienen dos piernas, sólo una ínfima parte de las personas con dos piernas son futbolistas.
Relación entre eventos
Continuando con el ejemplo de la prevalencia de caries entre la gente que consume dulces habitualmente. Si el consumo de dulces hace que las personas sean más propensas a contraer caries, entonces debería ocurrir que
P(A|B) \gt P(A).Aquí tenemos que B potencia a A y por lo tanto decimos que hay una asociación positiva entre los eventos.
Si por el contrario, el consumo de dulces previene las caries, entonces se debería tener:
P(A|B) \lt P(A).En este caso B inhibe a A y por lo tanto decimos que hay una asociación negativa entre los eventos.
Y si no hubiera ninguna relación entre estos dos eventos, ni positiva ni negativa, entonces se debería tener que
P(A|B) = P(A).Desde aquí se hace la inferencia que en la mayoría de los textos de probabilidades se presenta como definición:
| P(A|B) = P(A) | |
| \equiv | \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A) |
| \equiv | P(A\cap B)= P(A) P(B) |
Este razonamiento nos muestra la relación entre la probabilidad condicional y la independencia de los eventos.
DEFINICIÓN:Dados dos eventos A y B se dicen independientes si satisfacen la relación
\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■
Independencia entre eventos y complementos de eventos
La independencia entre dos eventos A y B es probada equivalente con la independencia de A con B^c, la de A^c con B, y la de A^c con B^c.
DEMOSTRACIÓN
| (1) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B) = P(A)P(B) | ; Presunción |
| (2) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; porque A\cap B^c := A\setminus B |
| (3) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\setminus B)= P(A) - P(A\cap B) | ; Ver desarrollo del ejercicio 2 |
| (4) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A\cap B) | ; De (2) y (3) |
| (5) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A)P(B) | ; De (1) y (4) |
| \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)(1 -P(B)) | ; Factorizando por P(A) | |
| \color{red}{\{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)P(B^c)} | ; ver desarrollo del ejercicio 1 |
Esta última expresión es lo que se lee como: «Del hecho de que A y B son independientes, se infiere que A y B^c también lo son.
La demostración en el sentido inverso se hace de un modo similar.
| (1) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c) | ; Presunción |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)(1 - P(B)) | ; ver desarrollo del ejercicio 1 | |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A) - P(A)P(B) | ; Realizando el producto del paréntesis en el lado derecho. | |
| (2) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; Porque A\setminus B := A\cap B^c. |
| (3) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) | ; Ver desarrollo del ejercicio 2 |
| (4) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A) - P(A)P(B) = P(A) - P(A\cap B) | ; De (1), (2) y (3) |
| \color{red}{\{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A)P(B) = P(A\cap B)} | ; Eliminando términos semejantes |
Y esta expresión se lee como: «Del hecho de que A y B^c son independientes, se infiere que A y B también lo son.
Finalmente, de estos dos razonamientos se tiene la equivalencia probada entre las independencias de A con B y la de A con B^c.
Las demás equivalencias probadas se pueden obtener de forma semejante. Estas quedarán como un desafío para el lector >:D