Условная вероятность

Какова вероятность того, что событие A произойдет при условии, что уже произошло событие B? Вычисление таких вероятностей и есть концепция условной вероятности. Далее мы изучим условную вероятность, её определение и как на основе этого выводятся зависимости и независимость между событиями.

Предположим, что мы хотим измерить распространенность кариеса среди обычных потребителей сладостей. Если мы рассмотрим выборку из N человек \Omega_N, мы увидим, что ее можно разделить на 4 подмножества:

• A:=\left\{ {Люди\;у\;которых\;есть\;кариес}\right\}
• A^c:=\left\{{Люди\;у\;которых\;НЕТ\;кариеса}\right\}
• B:=\left\{ {Люди\;которые\;регулярно\;едят\;сладости}\right\}
• B^c:=\left\{{Люди\;которые\;НЕ\;едят\;сладости\;регулярно}\right\}

Из этого ясно, что A\cup A^c = \Omega_N и B\cup B^c = \Omega_N, но A\cap B не обязательно пустое множество. Общая ситуация представлена на следующем рисунке:

Итак, если мы вспомним определение вероятности как предела относительных частот, мы можем сказать, что вероятность того, что у человека есть кариес при условии, что подтверждено, что он потребляет сладости, P(A|B) будет:

P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}

С другой стороны, у нас есть:

P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}

↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)

P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}

↳ \#B = \#\Omega_N P(B)

Таким образом, если мы заменим эти последние два выражения в P(A|B), мы получим:

P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

С этим мы получаем следующее определение

Формальное определение условной вероятности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вероятность A, при условии, что произошло B, P(A|B), определяется через соотношение

P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■

В повседневном мышлении часто возникает путаница между P(A|B) и P(B|A). Чтобы прояснить эту разницу, рассмотрим пример на основе крайнего случая: Заметим, что в то время как у всех футболистов есть две ноги, только незначительная часть людей с двумя ногами являются футболистами.

Связь между событиями

Продолжая пример распространенности кариеса среди людей, которые регулярно потребляют сладости. Если потребление сладостей делает людей более склонными к кариесу, то должно быть:

P(A|B) \gt P(A).Здесь мы видим, что B усиливает A, и поэтому мы говорим, что существует положительная ассоциация между событиями.

Если, наоборот, потребление сладостей предотвращает кариес, то должно быть:

P(A|B) \lt P(A).В этом случае B подавляет A, и поэтому мы говорим, что существует отрицательная ассоциация между событиями.

И если между этими двумя событиями нет никакой связи, ни положительной, ни отрицательной, то должно быть:

P(A|B) = P(A).Отсюда следует, что во многих учебниках по вероятности это представляется как определение:

Этот вывод показывает связь между условной вероятностью и независимостью событий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два события A и B называются независимыми, если они удовлетворяют соотношению

\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■

Независимость событий и их дополнений

Независимость двух событий A и B эквивалентна независимости A и B^c, A^c и B, и A^c и B^c.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Это последнее выражение читается так: «Из того, что A и B независимы, следует, что A и B^c также независимы.

Доказательство в обратном направлении делается аналогично.

И это выражение читается так: «Из того, что A и B^c независимы, следует, что A и B также независимы.

Наконец, из этих двух рассуждений следует доказанная эквивалентность независимости A с B и A с B^c.

Остальные доказанные эквивалентности можно получить аналогичным образом. Они останутся в качестве вызова для читателя >:D