条件付き確率と事象間の独立性
概要
本セッションでは、条件付き確率の概念と事象間の相互作用を探究します。条件付き確率を計算し、事象の依存性または独立性を判定する能力を身につけます。飴を常習的に摂取する人々における虫歯の有病率の研究といった実例を適用し、これらの概念を説明します。最後に、条件付き確率を適用し、依存事象および独立事象を分析する方法について明確な理解を得ることができます。
学習目標:
この授業を終えると、以下ができるようになります:
- 理解する 条件付き確率の定義と、それが事象の共通部分および個々の確率とどのように関連しているか。
- 識別する 条件付き確率の比較から、事象間の正の関連および負の関連。
- 証明する 異なる事象間の独立性。
内容目次
条件付き確率
条件付き確率の形式的定義
事象間の関係
事象の独立性と補事象
条件付き確率
事象Aが発生する確率 は、すでにBが発生したときにどのくらいか？ この種の確率の計算が条件付き確率という概念を含みます。以下では、条件付き確率、その定義、そしてそれに基づいて事象間の依存性および独立性がどのように推論されるかを学びます。
例えば、飴を習慣的に摂取する人々における虫歯の有病率を測定したいとします。もし N 人から成る標本空間 \Omega_N, を調べるなら、それは4つの部分集合に分けられることがわかります:
- A:=\left\{ {虫歯を持つ人々}\right\}
- A^c:=\left\{{虫歯を持たない人々}\right\}
- B:=\left\{ {定期的に甘い物を食べる人々}\right\}
- B^c:=\left\{{定期的に甘い物を食べない人々}\right\}
ここから明らかなように A\cup A^c = \Omega_N および B\cup B^c = \Omega_N, ですが A\cap B は必ずしも空集合ではありません。一般的な状況は次の図で表されます:
それでは、確率の定義を思い出すと 相対度数の極限として表されるので、甘い物を摂取していることが確認されたときに、その人が虫歯を持つ確率 P(A|B) は次のようになります:
P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}
一方で、次の関係が成り立ちます:
P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}
↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)
P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}
↳ \#B = \#\Omega_N P(B)
したがって、これら2つの式を P(A|B) に代入すると、次のようになります:
P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
これにより、次の定義が成立します
条件付き確率の形式的定義
定義: B が起こったときの A の確率、すなわち P(A|B) は、次の関係によって定義されます。
P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■
日常的な思考においては P(A|B) と P(B|A) の間にある種の混同が生じやすい傾向があります。この違いを明らかにするために、極端な例に基づいた事例を見てみましょう。すべてのサッカー選手は二本の脚を持っていますが、二本の脚を持つ人々のうちサッカー選手であるのはごく一部に過ぎません。
事象間の関係
飴の消費と虫歯の有病率の例に戻ると、もし甘い物の摂取が人々を虫歯にかかりやすくするならば、次の関係が成り立つはずです。
P(A|B) \gt P(A).この場合、B は A を強めるため、これらの事象の間には正の関連があると言います。
逆に、甘い物の摂取が虫歯を防ぐのであれば、次の関係が成り立つはずです:
P(A|B) \lt P(A).この場合、B は A を抑制するため、これらの事象の間には負の関連があると言います。
そして、もしこれら二つの事象の間に正でも負でもない関係が存在しなければ、次の関係が成り立つはずです。
P(A|B) = P(A).ここから、確率に関する多くの教科書で定義として提示される推論が導かれます:
| P(A|B) = P(A) | |
| \equiv | \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A) |
| \equiv | P(A\cap B)= P(A) P(B) |
この推論は、条件付き確率と事象の独立性との関係を示しています。
定義: 二つの事象 A と B が次の関係を満たすとき、これらは独立であると言います。
\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■
事象とその補事象の独立性
二つの事象 A と B の独立性は、A と B^c、A^c と B、および A^c と B^c の独立性と同値であることが証明されます。
証明
| (1) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B) = P(A)P(B) | ; 仮定 |
| (2) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; なぜなら A\cap B^c := A\setminus B |
| (3) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\setminus B)= P(A) - P(A\cap B) | ; 演習2の展開を参照 |
| (4) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A\cap B) | ; (2) と (3) より |
| (5) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A)P(B) | ; (1) と (4) より |
| \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)(1 -P(B)) | ; P(A) で因数分解 | |
| \color{red}{\{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)P(B^c)} | ; 演習1の展開を参照 |
この最後の式は次のように読まれます: 「A と B が独立であるという事実から、A と B^c も独立であることが推論される。」
逆方向の証明も同様の方法で行われます。
| (1) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c) | ; 仮定 |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)(1 - P(B)) | ; 演習1の展開を参照 | |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A) - P(A)P(B) | ; 右辺の括弧を展開することで | |
| (2) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; なぜなら A\setminus B := A\cap B^c. |
| (3) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) | ; 演習2の展開を参照 |
| (4) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A) - P(A)P(B) = P(A) - P(A\cap B) | ; (1), (2) および (3) より |
| \color{red}{\{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A)P(B) = P(A\cap B)} | ; 同類項を消去して |
そしてこの式は次のように読まれます: 「A と B^c が独立であるという事実から、A と B も独立であることが推論される。」
最終的に、これら二つの推論から、A と B の独立性と A と B^c の独立性との間に同値関係が成立することが証明されます。
他の同値関係についても同様の方法で得ることができます。これらは挑戦課題として残されます。