A Probabilidade Condicional

Qual é a probabilidade de que um evento A ocorra dado que já ocorreu B? O cálculo desse tipo de probabilidades envolve o conceito de probabilidade condicional. A seguir, estudaremos a probabilidade condicional, sua definição e como a partir disso se inferem as relações de dependência e independência entre eventos.

Suponhamos que queremos medir a prevalência de cáries entre os consumidores habituais de doces. Se examinarmos um espaço amostral formado por N pessoas \Omega_N, veremos que ele pode ser dividido em 4 subconjuntos:

• A:=\left\{ {Pessoas\;que\;têm\;cáries}\right\}
• A^c:=\left\{{Pessoas\;que\;NÃO\;têm\;cáries}\right\}
• B:=\left\{ {Pessoas\;que\;comem\;doces\;regularmente}\right\}
• B^c:=\left\{{Pessoas\;que\;NÃO\;comem\;doces\;regularmente}\right\}

A partir disso, é claro que A\cup A^c = \Omega_N e B\cup B^c = \Omega_N, mas A\cap B não é necessariamente vazio. O cenário geral é representado pela figura a seguir:

Então, se lembrarmos a definição de probabilidade como o limite das frequências relativas, poderemos dizer que a probabilidade de que uma pessoa tenha cáries dado que se comprovou que consome doces, P(A|B) será:

P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}

Por outro lado, tem-se que:

P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}

↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)

P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}

↳ \#B = \#\Omega_N P(B)

De modo que, se substituirmos essas duas últimas expressões em P(A|B), teremos:

P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Com isso, temos a seguinte definição:

Definição formal de probabilidade condicional

DEFINIÇÃO: Define-se a probabilidade de A, dado que ocorreu B, P(A|B), através da relação:

P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■

No pensamento cotidiano, tende-se a haver certa confusão entre P(A|B) e P(B|A). Para esclarecer essa diferença, vamos revisar um exemplo baseado em um caso extremo: Observe que, enquanto todos os futebolistas têm duas pernas, apenas uma pequena parte das pessoas com duas pernas são futebolistas.

Relação entre eventos

Continuando com o exemplo da prevalência de cáries entre pessoas que consomem doces habitualmente. Se o consumo de doces faz com que as pessoas sejam mais propensas a ter cáries, então deveria ocorrer que:

P(A|B) \gt P(A).Aqui temos que B potencializa A e, portanto, dizemos que há uma associação positiva entre os eventos.

Se, por outro lado, o consumo de doces previne as cáries, então deveríamos ter:

P(A|B) \lt P(A).Neste caso, B inibe A e, portanto, dizemos que há uma associação negativa entre os eventos.

E se não houvesse nenhuma relação entre esses dois eventos, nem positiva nem negativa, então deveríamos ter que:

P(A|B) = P(A).Daqui, faz-se a inferência que, na maioria dos textos de probabilidade, é apresentada como definição:

Esse raciocínio nos mostra a relação entre a probabilidade condicional e a independência dos eventos.

DEFINIÇÃO:Dado dois eventos A e B, eles são ditos independentes se satisfazem a relação:

\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■

Independência entre eventos e complementos de eventos

A independência entre dois eventos A e B é provada equivalente à independência de A com B^c, a de A^c com B, e a de A^c com B^c.

DEMONSTRAÇÃO

Essa última expressão se lê como: “Do fato de que A e B são independentes, infere-se que A e B^c também são independentes.

A demonstração no sentido inverso é feita de forma semelhante.

E essa expressão se lê como: “Do fato de que A e B^c são independentes, infere-se que A e B também são independentes.

Finalmente, desses dois raciocínios, tem-se a equivalência provada entre as independências de A com B e a de A com B^c.

As outras equivalências provadas podem ser obtidas de forma semelhante. Estas serão deixadas como um desafio para o leitor >:D