Probabilitas Conditionalis et Independentia inter Eventus
Summarium
In hac sessione, conceptum probabilitatis conditionalis et interactionem inter eventus explorabimus. Discemus facultates ad probabilitates conditionales computandas et dependentiam vel independentiam inter eventus determinandam. Exempla practica adhibebimus, sicut studium praelvalentiae cariei apud consumptores dulcium, ut hos conceptos illustremus. In conclusione, claram comprehensionem habebis quomodo probabilitatem conditionalem applicare atque eventus dependentes et independentes analyzare possis.
OBJECTIVA DISCENDI:
Ad finem huius classis, poteris:
- Intellegere definitionem probabilitatis conditionalis eiusque relationem cum intersectione eventuum et probabilitatibus singularibus.
- Identificare associationes positivas et negativas inter eventus ex comparatione probabilitatum conditionalium.
- Probare independentiam inter diversos eventus.
INDEX CONTENTORUM
PROBABILITAS CONDITIONALIS
DEFINITIO FORMALIS PROBABILITATIS CONDITIONALIS
RELATIO INTER EVENTUS
INDEPENDENTIA INTER EVENTUS ET COMPLEMENTA EVENTUUM
Probabilitas Conditionalis
Quae est probabilitas ut eventus A eveniat dato quod iam evenit B? Calculus huiusmodi probabilitatum est quod involvit conceptum probabilitatis conditionalis. In sequentibus studebimus probabilitatem conditionalem, eius definitionem atque modum quo ex hoc relationes dependentiae et independentiae inter eventus inferuntur.
Supponamus nos velle metiri praelvalentiam cariei inter consumptores assiduos dulcium. Si inspiciamus spatium muestrale formatum ex N personis \Omega_N, videbimus id dividi posse in 4 subconjuncta:
- A:=\left\{ {Personae\;quae\;caries\;habent}\right\}
- A^c:=\left\{{Personae\;quae\;NON\;caries\;habent}\right\}
- B:=\left\{ {Personae\;quae\;dulcia\;regulariter\;edunt}\right\}
- B^c:=\left\{{Personae\;quae\;NON\;dulcia\;regulariter\;edunt}\right\}
Ex hoc manifestum est A\cup A^c = \Omega_N et B\cup B^c = \Omega_N, sed A\cap B non est necessario vacuum. Scenarium generale repraesentatur hac figura:
Igitur, si definitionem probabilitatis recordamur ut limitem frequentiarum relativarum, dicere poterimus probabilitatem ut persona caries habeat dato quod dulcia consumere comprobatum est, P(A|B) fore:
P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}
Altera ex parte, habetur:
P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}
↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)
P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}
↳ \#B = \#\Omega_N P(B)
Itaque si has duas expressiones super P(A|B) substituimus, habebitur:
P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
His constituitur sequens definitio
Definitio formalis probabilitatis conditionalis
DEFINITIO: Definita est probabilitas A, dato quod evenit B, P(A|B), per relationem
P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■
In cogitatione cotidiana solet aliqua confusio oriri inter P(A|B) et P(B|A). Ut hanc differentiam clarius patefaciamus, exemplum in casu extremo positum revisemus: Animadvertamus quod, dum universi pedilusores duas cruras habent, sola exigua pars hominum duabus cruribus praeditorum pedilusores sunt.
Relatio inter eventus
Pergentes cum exemplo praelvalentiae cariei inter homines qui dulcia assidue consumunt. Si consumptio dulcium efficit ut homines procliviores sint ad cariem contrahendam, tunc evenire debet quod
P(A|B) \gt P(A).Hic habemus quod B auget A ideoque dicimus esse associationem positivam inter eventus.
Si autem, consumptio dulcium cariem praevenit, tunc haberi debet:
P(A|B) \lt P(A).Hoc in casu B inhibet A ideoque dicimus esse associationem negativam inter eventus.
Et si nulla esset relatio inter hos duos eventus, neque positiva neque negativa, tunc haberi deberet quod
P(A|B) = P(A).Hinc fit illatio quae in plurimis libris de probabilitatibus tamquam definitio exhibetur:
| P(A|B) = P(A) | |
| \equiv | \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A) |
| \equiv | P(A\cap B)= P(A) P(B) |
Hoc ratiocinium nobis ostendit relationem inter probabilitatem conditionalem et independentiam eventuum.
DEFINITIO:Dati duo eventus A et B dicuntur independentes si relationem satisfaciunt
\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■
Independentia inter eventus et complementa eventuum
Independentia inter duos eventus A et B probatur aequivalens cum independentia A cum B^c, independentia A^c cum B, atque independentia A^c cum B^c.
DEMONSTRATIO
| (1) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B) = P(A)P(B) | ; Praesumptio |
| (2) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; quia A\cap B^c := A\setminus B |
| (3) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\setminus B)= P(A) - P(A\cap B) | ; Vide evolutionem exercitii 2 |
| (4) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A\cap B) | ; Ex (2) et (3) |
| (5) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A)P(B) | ; Ex (1) et (4) |
| \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)(1 -P(B)) | ; Factorizando per P(A) | |
| \color{red}{\{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)P(B^c)} | ; vide evolutionem exercitii 1 |
Haec ultima expressio ita legitur: “Ex eo quod A et B sunt independentes, infertur quod A et B^c quoque sint.”
Demonstratio in sensu inverso simili modo fit.
| (1) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c) | ; Praesumptio |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)(1 - P(B)) | ; vide evolutionem exercitii 1 | |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A) - P(A)P(B) | ; Per multiplicationem parenthesis in latere dextro. | |
| (2) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; Quia A\setminus B := A\cap B^c. |
| (3) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) | ; Vide evolutionem exercitii 2 |
| (4) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A) - P(A)P(B) = P(A) - P(A\cap B) | ; Ex (1), (2) et (3) |
| \color{red}{\{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A)P(B) = P(A\cap B)} | ; Terminis similibus eliminatis |
Et haec expressio legitur sic: “Ex eo quod A et B^c sunt independentes, infertur quod A et B quoque sint.”
Denique, ex his duobus ratiociniis habetur aequivalentia probata inter independentiam A cum B et independentiam A cum B^c.
Ceterae aequivalentiae probatae similiter obtineri possunt. Hae manebunt ut provocationem p