Aequatio Rectae et Systemata Cartesianorum
Summarium:
In hac lectione fundamenta geometriae analyticae tractabimus, ostendentes quomodo puncta in plano per coordinatas repraesentari possint et quomodo aequatio rectae ex declivitate et puncto dato formari queat. Explicantur notiones clavis, ut declivitas, usus aequationis y = mx + b et repraesentatio graphica linearum, praeterea exercitationes practicae atque applicationes adhibentur ad problemata in contextibus realibus solvenda, sicut positio computanda et intersectio inter rectas.
Proposita Discendi
- Intellegere principia fundamentalia geometriae analyticae earumque applicationem in repraesentatione punctorum in plano cartesiano.
- Agnotare formulam declivitatis rectae eiusque significationem geometricam.
- Adhibere aequationem generalem rectae y = mx + b ad relationes lineares describendas.
- Computare aequationem rectae ex puncto uno et declivitate data.
- Graphice repraesentare rectas in plano cartesiano per earum aequationem linearim.
- Solvere problemata quae intersectionem duarum rectarum per systemata aequationum involvunt.
- Examinare relationem inter duas magnitudines lineares et quomodo hae per aequationem rectae repraesentari possint.
INDEX RERUM
Principia Geometriae Analyticae
Aequatio Rectae
Quomodo Graphice Repraesentetur Aequatio Rectae
Intersectiones Inter Rectas
Nunc studium nostrum de aequatione rectae, systematibus cartesianis et principiis geometriae analyticae incipiemus.
Principia Geometriae Analyticae
Cum numeri reales introducuntur, plerumque dicitur hos esse puncta super rectam.
Ex hoc, Cartesius ingeniose usus est duabus rectis ad puncta in plano repraesentanda per par coordinatarum (x,y).
Aequatio Rectae
His notionibus adhibitis, iam fieri potest considerare collectionem punctorum in plano ad curvas formandas, ubi coordinatae x respondet alia coordinata y, et haec lex correspondentiae a functione determinatur. Hoc punctum est ubi algebra in geometriam ingreditur et nascitur “Geometria Analytica”.
Geometrice rectam intellegimus ut curvam quae duos punctos iungit per viam brevissimam.
Geometrice rectam intellegimus ut curvam quae duos punctos iungit per viam brevissimam. Hoc analysantes, secundum theorema Thaletis, videbimus quod omni incremento coordinatae y respondet incrementum coordinatae x tale ut ratio m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x semper sit constans pro quolibet par punctorum in recta. Hoc est quod “declivitas rectae” appellatur.
Cum declivitas sit eadem pro quolibet par punctorum in recta, si puncta rectae cum coordinatis (x,y), (x_0,y_0), (x_1,y_1) et (x_2,y_2) consideremus, scribere possumus:
\displaystyle \frac{y-y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Quod idem est ac dicere
\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}
Hinc oritur nota aequatio rectae
\color{red}{{y = m(x-x_0) + y_0}}
Hic, par (x_0,y_0) est punctum fixum, dum par (x,y) est punctum quodlibet.
Exercitia Exemplaria
- Calcula aequationem rectae quae transit per punctum (x_0,y_0)=(2,3) cum declivitate m=3/2 [SOLUTIO]
- Calcula aequationem rectae quae transit per punctum (x_0,y_0)=(1,8) cum declivitate m=7/5 [SOLUTIO]
- Calcula aequationem rectae quae transit per puncta (x_1,y_1)=(3,5) et (x_2,y_2)=(1,-2) [SOLUTIO]
Quomodo Graphice Repraesentetur Aequatio Rectae
Iam vidimus quomodo obtineatur aequatio rectae ex informatione graphica; nunc viam contrariam sequemur, repraesentationem graphicam ex aequatione rectae obtinere.
In fine diei, aequatio rectae semper exhibetur hoc modo:
y=mx + b
Ubi m=\Delta Y / \Delta x est declivitas et b est coefficient positio. Ex hoc oritur figura sequens:
Exercitium Exemplare
- Repraesenta rectam cuius aequatio est y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 [SOLUTIO]
- Repraesenta rectam cuius aequatio est y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 [SOLUTIO]
Problemata Applicationis Aequationis Rectae
Recta adhiberi potest ad solvenda problemata quae relationem directam inter duas magnitudines implicant, ut in sequentibus exemplis:
- Vehiculum cum positione initiali x_0 = 12[m] movetur celeritate v=0,3[m/s]; quae erit eius positio post 30[s]? [SOLUTIO]
- Homo ad mercatum it et emit 1[kg] malorum, solvendo in summa 50 Z\$. Eodem die, idem homo iterum ad mercatum redit ut emat 3[kg] malorum, solvendo in summa 60 Z\$.. Quaenam est pretia malorum et pretia vehiculorum? [SOLUTIO]
Intersectiones Inter Rectas
Supponamus duas rectas habere et volumus invenire punctum commune inter eas; hoc est, invenire intersectionem inter rectas. Ad huiusmodi problemata solvenda, necesse est systema aequationum resolvere. Ut hoc melius intellegamus, videamus exemplum sequentem.
Consideremus rectas sequentes:
L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1
L_2 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9
Ubi hae duae rectae intersecentur?
Ad hoc resolvendum, ratiocinium sequens sequimur:
| (1) | y=\displaystyle \frac{3}{2}x + 1 | ; Recta L_1 |
| (2) | y= \displaystyle -\frac{1}{3}x + 9 | ; Recta L_2 |
| (3) | \displaystyle \frac{3}{2}x + 1 = -\frac{1}{3}x + 9 | ; Ex (1) et (2) |
| \displaystyle \frac{3}{2}x = -\frac{1}{3}x + 8 | ; Subtracto 1 ex utraque parte | |
| 9x = -2x + 48 | ; Multiplicando utrumque latus per 6 | |
| 11x =48 | ; Addendo 2x ad utrumque latus | |
| \displaystyle x = \frac{48}{11} | ; Dividendo utrumque latus per 11 | |
| (4) | \displaystyle y= \frac{3}{2}\cdot \frac{48}{11} + 1 | ; Ex (1) et (3) |
| \displaystyle y= \frac{3}{1}\cdot \frac{24}{11} + \frac{11}{11} | ||
| y= \displaystyle \frac{83}{11} | ||
| (5) | \displaystyle (x,y)= \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right) | ; Ex (3) et (4) |
Ergo, punctum intersectionis inter rectas est (x,y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).
Exemplum Problematum Applicationis ad Intersectionem Inter Rectas
Ad celebrationem, vendita sunt in summa 600 tesserae cum pecunia collecta totali \$1.300.000.. Tesserae pro iuvenibus venditae sunt ad pretium \$1.000,, et tesserae pro adultis ad \$3.000. Quot iuvenes et quot adulti ad celebrationem venerunt? [SOLUTIO]