अब हम रेखा का समीकरण, कार्टेशियन प्रणाली और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांतों का अध्ययन शुरू करेंगे।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांत

जब वास्तविक संख्याएँ पेश की जाती हैं, तो आमतौर पर कहा जाता है कि ये एक रेखा पर स्थित बिंदु होते हैं।

इस आधार पर, डेसकार्टेस ने दो रेखाओं का उपयोग करके समतल पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने का विचार प्रस्तुत किया, जिसे (x, y) समन्वय युग्म के रूप में दिखाया गया।

रेखा का समीकरण

इन अवधारणाओं का उपयोग करते हुए, अब समतल पर बिंदुओं का एक समूह लिया जा सकता है जो समतल पर वक्र बनाते हैं, जहां x समन्वय के लिए एक अन्य समन्वय y निर्धारित होता है, और यह संबंध किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह वह बिंदु है जहाँ बीजगणित ज्यामिति में प्रवेश करता है और “विश्लेषणात्मक ज्यामिति” का जन्म होता है।

ज्यामितीय रूप से, हम एक रेखा को समझते हैं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सबसे छोटी दूरी के रूप में।

ज्यामितीय रूप से, हम एक रेखा को दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सबसे छोटी दूरी के रूप में समझते हैं। इसका विश्लेषण करते हुए, थेल्स प्रमेय के आधार पर, हम देखेंगे कि प्रत्येक y समन्वय वृद्धि के लिए, एक x समन्वय वृद्धि होगी, जिससे यह अनुपात m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x किसी भी रेखा पर बिंदुओं के जोड़े के लिए स्थिर रहेगा। इसे हम “रेखा की ढाल” कहते हैं।

क्योंकि ढाल रेखा पर किसी भी बिंदु जोड़े के लिए समान रहती है, यदि हम रेखा के बिंदुओं के समन्वय (x, y), (x_0, y_0), (x_1, y_1) और (x_2, y_2) को मानते हैं, तो हम लिख सकते हैं:

\displaystyle \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

यह कहने के बराबर है:

\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}

यही वह सूत्र है जिससे रेखा का समीकरण उत्पन्न होता है।

\color{red}{{y = m(x - x_0) + y_0}}

यहाँ (x_0, y_0) एक स्थिर बिंदु है, जबकि (x, y) कोई भी बिंदु हो सकता है।

उदाहरण अभ्यास

1. रेखा का समीकरण गणना करें जो (x_0, y_0) = (2, 3) बिंदु से गुजरती है और जिसकी ढाल m = 3/2 है। [समाधान]
2. रेखा का समीकरण गणना करें जो (x_0, y_0) = (1, 8) बिंदु से गुजरती है और जिसकी ढाल m = 7/5 है। [समाधान]
3. रेखा का समीकरण गणना करें जो बिंदुओं (x_1, y_1) = (3, 5) और (x_2, y_2) = (1, -2) से गुजरती है। [समाधान]

रेखा का समीकरण कैसे चित्रित करें

हमने पहले ही देखा है कि कैसे कुछ ग्राफिकल जानकारी से रेखा का समीकरण प्राप्त किया जा सकता है; अब हम इसके विपरीत करेंगे, रेखा का समीकरण से ग्राफिक प्रतिनिधित्व प्राप्त करेंगे।

अंततः, रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

y = mx + b

यहाँ m = \Delta Y / \Delta x ढाल है और b स्थिति गुणांक है। इसके आधार पर हमें निम्नलिखित चित्र प्राप्त होता है।

उदाहरण अभ्यास

1. समीकरण y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 की रेखा को चित्रित करें। [समाधान]
2. समीकरण y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 की रेखा को चित्रित करें। [समाधान]

रेखा समीकरण के अनुप्रयोग समस्याएँ

रेखा का उपयोग दो परिमाणों के बीच प्रत्यक्ष संबंध को हल करने के लिए किया जा सकता है, जैसे निम्नलिखित उदाहरणों में दिखाया गया है।

1. एक वाहन जिसकी प्रारंभिक स्थिति x_0 = 12[m] है, v=0.3[m/s] की गति से चल रहा है। 30[s] के बाद उसकी स्थिति क्या होगी? [समाधान]
2. एक व्यक्ति बाजार में 1[kg] सेब खरीदता है और कुल 50 Z\$. खर्च करता है। उसी दिन, वह व्यक्ति फिर से बाजार में जाता है और 3[kg] सेब खरीदता है, और कुल 60 Z\$. खर्च करता है। सेब की कीमत और यात्रा की लागत क्या है? [समाधान]

रेखाओं का अंतर्विभाजन

मान लें कि हमारे पास दो रेखाएँ हैं और हम यह जानना चाहते हैं कि उनके बीच कौन सा सामान्य बिंदु है; इसका मतलब है, रेखाओं का अंतर्विभाजन खोजना। इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए हमें समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा। इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण को देखें।

निम्नलिखित रेखाओं पर विचार करें:

L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1

L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9

ये दोनों रेखाएँ कहाँ अंतर्विभाजित होती हैं?

इस समस्या को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित तर्क देते हैं:

अतः, रेखाओं का अंतर्विभाजन बिंदु (x, y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right) है।

रेखाओं के अंतर्विभाजन के अनुप्रयोग उदाहरण

एक पार्टी के लिए, कुल 600 टिकट बेचे गए और कुल आय \$1.300.000. हुई। युवाओं के टिकट की कीमत \$1.000, और वयस्कों के टिकट की कीमत \$3.000 थी। पार्टी में कितने वयस्क और युवा शामिल हुए? [समाधान]