Теперь мы начнем изучение уравнения прямой, декартовых систем координат и принципов аналитической геометрии.

Принципы аналитической геометрии

Когда вводят действительные числа, обычно говорят, что это точки на прямой

На основе этого Декарт предложил использовать две пересекающиеся прямые для представления точек на плоскости как пары координат (x, y)

Уравнение прямой

Используя эти концепции, теперь можно рассмотреть множество точек на плоскости для формирования кривых, где для координаты x соответствует другая координата y, и это правило соответствия задается функцией. В этом месте алгебра проникает в геометрию, порождая «аналитическую геометрию».

Геометрически, прямая линия понимается как кривая, соединяющая две точки по кратчайшему расстоянию.

Геометрически прямая линия — это кривая, соединяющая две точки по кратчайшему расстоянию. Анализируя это, с учетом теоремы Фалеса, мы видим, что каждому изменению координаты y соответствует изменение координаты x, так что отношение m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x остается постоянным для любой пары точек на прямой. Это называется «наклоном прямой».

Поскольку наклон одинаков для любой пары точек на прямой, то если рассмотреть точки на прямой с координатами (x, y), (x_0, y_0), (x_1, y_1) и (x_2, y_2), можно записать:

\displaystyle \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Это то же самое, что и сказать:

\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}

Отсюда вытекает знаменитое уравнение прямой

\color{red}{{y = m(x - x_0) + y_0}}

Здесь (x_0, y_0) — это фиксированная точка, а (x, y) — любая точка.

Пример упражнений

1. Вычислить уравнение прямой, проходящей через точку (x_0, y_0) = (2, 3) с наклоном m = 3/2 [РЕШЕНИЕ]
2. Вычислить уравнение прямой, проходящей через точку (x_0, y_0) = (1, 8) с наклоном m = 7/5 [РЕШЕНИЕ]
3. Вычислить уравнение прямой, проходящей через точки (x_1, y_1) = (3, 5) и (x_2, y_2) = (1, -2) [РЕШЕНИЕ]

Как построить график уравнения прямой

Мы уже видели, как получить уравнение прямой из графической информации; теперь мы сделаем обратное — получим графическое представление из уравнения прямой.

В конце концов, уравнение прямой всегда представляется следующим образом:

y = mx + b

Где m = \Delta Y / \Delta x — это наклон, а b — коэффициент положения. На основе этого мы получаем следующий рисунок:

Пример упражнения

1. Построить график прямой с уравнением y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 [РЕШЕНИЕ]
2. Построить график прямой с уравнением y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 [РЕШЕНИЕ]

Задачи на применение уравнения прямой

Прямая может использоваться для решения задач, связанных с прямой зависимостью между двумя величинами, как это показано в следующих примерах.

1. Транспортное средство с начальной позицией x_0 = 12[м] движется со скоростью v=0,3[м/с]. Где оно будет через 30[с]? [РЕШЕНИЕ]
2. Человек купил 1[кг] яблок на рынке, потратив в общей сложности 50 Z\$. В тот же день он вернулся и купил ещё 3[кг] яблок, заплатив 60 Z\$. Какова цена яблок и сколько стоил проезд? [РЕШЕНИЕ]

Пересечение прямых

Предположим, у нас есть две прямые и мы хотим найти общую точку между ними; то есть, найти пересечение прямых. Чтобы решить такие задачи, необходимо решить систему уравнений. Для лучшего понимания рассмотрим следующий пример:

Рассмотрим следующие прямые:

L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1

L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9

Где пересекаются эти две прямые?

Для решения этой задачи мы рассуждаем следующим образом:

Следовательно, точка пересечения этих двух прямых: (x, y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).

Пример задачи на пересечение прямых

На вечеринку было продано 600 билетов с общим доходом \$1.300.000. Билеты для молодежи продавались по \$1.000, а для взрослых — по \$3.000. Сколько взрослых и молодежи было на вечеринке? [РЕШЕНИЕ]