条件概率与事件独立性
摘要
在本节课中，我们将探讨条件概率的概念以及事件之间的相互作用。我们将学习如何计算条件概率并确定事件之间的依赖性或独立性。我们将通过实际例子，如研究糖果消费者中龋齿的患病率，来说明这些概念。最后，你将清楚地理解如何应用条件概率并分析依赖和独立事件。
学习目标：
在本节课结束时，你将能够：
- 理解条件概率的定义及其与事件交集和个体概率的关系。
- 识别通过比较条件概率确定事件之间的正负关联。
- 检验不同事件之间的独立性。
内容索引
条件概率
条件概率的正式定义
事件之间的关系
事件独立性与事件补集的独立性
条件概率
事件A在事件B已经发生的情况下发生的概率是多少？这种概率的计算涉及条件概率的概念。接下来我们将研究条件概率、其定义以及如何从中推断事件之间的依赖性和独立性关系。
假设我们想要测量常规糖果消费者中龋齿的患病率。如果我们检查一个由N个人组成的样本空间\Omega_N,我们会看到它可以分成4个子集：
- A:=\left\{ {有龋齿的人}\right\}
- A^c:=\left\{{没有龋齿的人}\right\}
- B:=\left\{ {经常吃糖果的人}\right\}
- B^c:=\left\{{不经常吃糖果的人}\right\}
由此可知，A\cup A^c = \Omega_N 和 B\cup B^c = \Omega_N, 但 A\cap B 不一定为空。一般情况下如图所示：
那么，如果我们记住概率的定义为相对频率的极限，我们可以说一个人在已经确认其吃糖果的情况下有龋齿的概率 P(A|B) 将是：
P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}
另一方面，有：
P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}
↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)
P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}
↳ \#B = \#\Omega_N P(B)
因此，如果将这两个表达式代入 P(A|B)，我们将得到：
P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
由此得出以下定义：
条件概率的正式定义
定义： 在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 的概率 P(A|B), 定义为：
P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■
在日常思维中，往往会将 P(A|B) 与 P(B|A) 混淆。为了澄清这一区别，我们来看一个极端情况下的例子：注意，虽然所有的足球运动员都有两条腿，但只有极少数有两条腿的人是足球运动员。
事件之间的关系
继续以常规糖果消费者中龋齿患病率的例子。如果吃糖果会让人更容易得龋齿，那么应该是：
P(A|B) \gt P(A).在这里，B 增强了 A，因此我们说这两个事件之间有正关联。
反之，如果吃糖果可以预防龋齿，那么应该是：
P(A|B) \lt P(A).在这种情况下，B 抑制了 A，因此我们说这两个事件之间有负关联。
如果这两个事件之间没有任何关系，无论是正关联还是负关联，那么应该是：
P(A|B) = P(A).从这里可以推断，大多数概率书籍中将其作为定义：
| P(A|B) = P(A) | |
| \equiv | \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A) |
| \equiv | P(A\cap B)= P(A) P(B) |
这个推理显示了条件概率与事件独立性之间的关系。
定义： 给定两个事件 A 和 B，如果它们满足以下关系，则称它们是独立的：
\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■
事件独立性与事件补集的独立性
两个事件 A 和 B 的独立性被证明等价于 A 与 B^c 的独立性， A^c 与 B 的独立性，以及 A^c 与 B^c 的独立性。
证明
| (1) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B) = P(A)P(B) | ; 假设 |
| (2) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; 因为 A\cap B^c := A\setminus B |
| (3) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\setminus B)= P(A) - P(A\cap B) | ; 参见练习2的发展 |
| (4) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A\cap B) | ; 从 (2) 和 (3) |
| (5) | \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A) - P(A)P(B) | ; 从 (1) 和 (4) |
| \{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)(1 -P(B)) | ; 因 P(A) 因式分解 | |
| \color{red}{\{P(A\cap B) = P(A)P(B)\}\vdash P(A\cap B^c)= P(A)P(B^c)} | ; 参见练习1的发展 |
这最后一个表达式读作：“从 A 和 B 独立的事实可以推断出 A 和 B^c 也是独立的。”
逆向证明也是以类似的方式进行的。
| (1) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c) | ; 假设 |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A)(1 - P(B)) | ; 参见练习1的发展 | |
| \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A) - P(A)P(B) | ; 在右边执行括号中的乘积。 | |
| (2) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\cap B^c) = P(A\setminus B) | ; 因为 A\setminus B := A\cap B^c |
| (3) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) | ; 参见练习2的发展 |
| (4) | \{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A) - P(A)P(B) = P(A) - P(A\cap B) | ; 从 (1)，(2) 和 (3) |
| \color{red}{\{P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\}\vdash P(A)P(B) = P(A\cap B)} | ; 消除相似项 |
这表达为：“从 A 和 B^c 独立的事实可以推断出 A 和 B 也是独立的。”
最后，从这两个推理中得出 A 与 B 独立性和 A 与 B^c 独立性之间的等价关系已被证明。
其他被证明的等价关系可以用类似方式获得。这些将作为读者的挑战 >:D