Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Monotonia et criterivm derivatae primae

Svmmarivm

Haec lectio signvm derivatae in notitiam de toto intervallo convertit. Theoremate valoris medii Lagrangii demonstrat fvnctionem cvivs derivata in intervallo positiva est in eo stricte crescentem esse, et cvivs derivata non negativa est, crescentem; vicissim, derivata fvnctionis crescentis negativa non est, qvamvis derivata fvnctionis stricte crescentis evanescere possit, et lectio describit qvando id accidat. Inde orivntvr invertibilitas fvnctionis derivata positiva praeditae, nomen candidatorvm ad extrema localia, pvncta critica, et criterivm derivatae primae, qvod ex mvtatione signi derivatae decernit vtrvm extremvm adsit. Theorema Darbovxii, theorematibvs Weierstrassii et Fermatii demonstratvm, ostendit derivatam, etiam si continva non sit, valores non transilire: nec discontinvitates evitabiles nec saltvs habet, et, si in intervallo non evanescit, ibi signvm non mvtat. Lectio inaeqvalitatibvs conclvditvr qvae demonstrantvr fvnctiones per derivatam earvm comparando, et praestat qvod pars de derivatis saepivs nvntiavit nec demonstrare potvit.

Proposita discendi

  1. Theoremate valoris medii demonstrare signvm derivatae in intervallo de monotonia decernere, et agnoscere qvando fvnctio stricte crescens in aliqvibvs pvnctis derivatam nvllam habeat.
  2. Pvncta critica fvnctionis invenire et criterio derivatae primae decernere qvae sint extrema localia, pvnctis sine derivata inclvsis.
  3. Theorema Darbovxii demonstrare eoqve ostendere fvnctionem cvm saltv derivatam nvllivs fvnctionis in intervallo esse.
  4. Inaeqvalitates inter fvnctiones demonstrare signvm derivatae differentiae earvm investigando, et animadvertere qvando id argvmentvm circvlare esset.

Signvm derivatae et monotonia

Propositio de signo derivatae in pvncto, ex lectione de rationibvs mvtationis, qvemqve valorem prope aa cvm f(a)f(a) comparat, nec plvs: fvnctio x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}, valore 00 in 00 completa, derivatam 11 in 00 habet nec in vllo intervallo qvod 00 contineat crescens est. Vt notitia de toto intervallo obtineatvr, signvm derivatae in omnibvs eivs pvnctis cognoscendvm est, et theorema valoris medii, ex lectione de theorematis Fermatii, Rollii, Lagrangii et Cavchii, eam cognitionem in comparationem valorvm vertit. Meminerimvs, secvndvm lectionem de operationibvs fvnctionvm, ex Algebra et Geometria I, fvnctionem ff in copia II crescentem dici si x<yx < y implicat f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) pro omnibvs eivs pvnctis, et stricte crescentem si implicat f(x)<f(y)f(x) < f(y):

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

et decrescentem vel stricte decrescentem si implicat f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) vel f(x)>f(y)f(x) > f(y).

TheoremaMonotonia ex signo derivatae

Sit ff continva in intervallo II et derivabilis in qvoqve pvncto interiore ipsivs II.

  • Si f′(x)≥0f'(x) \geq 0 in qvoqve pvncto interiore xx ipsivs II, tvm ff in II crescens est; si f′(x)>0f'(x) > 0 in vnoqvoqve, in II stricte crescens est.
  • Si f′(x)≤0f'(x) \leq 0 in qvoqve pvncto interiore xx ipsivs II, tvm ff in II decrescens est; si f′(x)<0f'(x) < 0 in vnoqvoqve, in II stricte decrescens est.

Inter dvo qvaelibet pvncta, theorema valoris medii differentiae valorvm signvm derivatae in pvncto intermedio tribvit.

Demonstratio

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    Sint x<yx < y dvo pvncta ipsivs II. Cvm II intervallvm sit, continet [x,y]\icc{x}{y}, vbi ff continva est, et pvncta ipsivs (x,y)\ioo{x}{y} svnt pvncta interiora ipsivs II, vbi ff derivabilis est. Per theorema valoris medii Lagrangii, exstat cc inter xx et yy ita vt:

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    Factor y−xy - x positivvs est, ita vt differentia signvm ipsivs f′(c)f'(c) habeat: si f′(c)≥0f'(c) \geq 0, negativa non est, et si f′(c)>0f'(c) > 0, positiva est. Cvm xx et yy essent dvo qvaelibet pvncta ipsivs II cvm x<yx < y, fvnctio crescens est, vel stricte crescens.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    Si derivata positiva non est, ea qvae svpra dicta svnt ad −f-f adhibentvr, qvae in II continva est et derivatam −f′(x)-f'(x) in qvoqve pvncto interiore habet, per theorema de derivata combinationis linearis, ex lectione de regvlis derivandi. Qvod −f-f crescens est significat ff decrescentem esse.

Derivata in solis pvnctis interioribvs reqviritvr; in terminis qvi ad intervallvm pertinent continvitas svfficit. Sic x\sqrt{x} in [0,∞)\ico{0}{\infty} stricte crescens est, qvamvis in 00 derivabilis non sit. Theorema tria promissa partis de derivatis praestat. Lectio de derivatis fvnctionvm elementarivm animadvertit derivatam tangentis, 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x, positivam esse, qvamvis tangens in dominio svo, qvod intervallvm non est, crescens non sit; in qvoqve intervallo (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}, cvm kk integro, theorema eam stricte crescentem reddit. Lectio de variabili in exponente derivatam x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} compvtavit, qvae in (0,e)\ioo{0}{e} positiva est et in (e,∞)\ioo{e}{\infty} negativa; cvm fvnctio in (0,∞)\ioo{0}{\infty} continva sit, in (0,e]\ioc{0}{e} stricte crescens est et in [e,∞)\ico{e}{\infty} stricte decrescens. Hoc propositionem de maximo ipsivs xx elati ad 1x\frac{1}{x}, ex illa lectione, recvperat, et praeterea dvos nvmeros ex eodem latere ipsivs ee comparat: cvm e<3<4e < 3 < 4, habetvr 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, id est 34>433^4 > 4^3. Eadem lectio demonstravit derivatam ipsivs (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x positivam esse in omni x>0x > 0: fvnctio in (0,∞)\ioo{0}{\infty} stricte crescens est.

PropositioSignvm derivatae fvnctionis monotonae

Sit ff crescens in intervallo II et derivabilis in pvncto interiore aa ipsivs II. Tvm f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Si ff decrescens est, f′(a)≤0f'(a) \leq 0. Si derivata negativa esset, propositio de signo derivatae in pvncto a dextra ipsivs aa valores minores qvam f(a)f(a) poneret.

Demonstratio

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    Sit r>0r > 0 talis vt J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} in II contineatvr, et sit FF restrictio ipsivs ff ad JJ; per lemma de indole locali derivatae, ex lectione de regvlis derivandi, FF in aa derivabilis est et F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). Svpponamvs f′(a)<0f'(a) < 0. Per propositionem de signo derivatae in pvncto, ad FF in intervallo aperto JJ adhibitam, exstat δ>0\delta > 0 ita vt:

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    Sit ρ\rho minimvs nvmerorvm δ\delta et rr. Pvnctvm a+ρ2a + \frac{\rho}{2} in JJ iacet et maivs est qvam aa; cvm ff crescens sit, valor eivs minor non est qvam f(a)f(a), contra primvm articvlvm. Ergo f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Si ff decrescens est, −f-f crescens est, et −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

Fvnctioni igitvr in omnibvs pvnctis intervalli aperti derivabili crescentem esse idem est ac derivatam non negativam habere. Propositio conversa ad monotoniam strictam non extenditvr: x3x^3 in R\mathbb{R} stricte crescens est, et derivata eivs in 00 evanescit. Propositio etiam exemplvm initii explicat: lectio de rationibvs mvtationis, qvamlibet prope 00, pvncta invenit in qvibvs derivata ipsivs x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} negativa est, et in nvllo intervallo qvod ea contineat fvnctio crescens esse potest. Vitivm in eo est qvod illa derivata in 00 continva non est; si est, signvm in pvncto ad intervallvm extenditvr.

CorollarivmDerivata positiva et in pvncto continva

Sit ff derivabilis in qvoqve pvncto intervalli aperti II, et sit aa pvnctvm ipsivs II in qvo f′f' continva est, cvm f′(a)>0f'(a) > 0. Tvm exstat δ>0\delta > 0 ita vt ff in (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} stricte crescens sit. Derivata signvm svvm prope aa servat, et theorema in intervallo adhibetvr in qvo id servat.

Demonstratio

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    Cvm f′f' in aa continva sit, limes eivs in aa est f′(a)>0f'(a) > 0. Per propositionem de circvmscriptione locali et conservatione signi, ex lectione de limite fvnctionis, exstat δ>0\delta > 0, qvod ita svmi potest vt (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} in II contineatvr, cvm f′(x)>0f'(x) > 0 in eo intervallo. Ibi ff derivabilis est, ideoqve continva; per theorema, stricte crescens est.

Qvando fvnctio derivatae non negativae stricte crescens est? Exemplvm ipsivs x3x^3 ostendit derivatam in aliqvo pvncto evanescere posse; qvod non potest, est in toto intervallo evanescere.

PropositioMonotonia stricta cvm derivata non negativa

Sit ff continva in intervallo II et derivabilis in qvoqve pvncto interiore ipsivs II, cvm f′(x)≥0f'(x) \geq 0 in vnoqvoqve. Tvm ff in II stricte crescens est si et solvm si nvllvm exstat intervallvm (p,q)\ioo{p}{q}, cvm p<qp < q, in II contentvm, in cvivs omnibvs pvnctis f′f' evanescat. Praesertim, si f′f' in nvmero finito pvnctorvm tantvm evanescit, ff in II stricte crescens est. Fvnctio crescens qvae stricte crescens non est valorem repetit, et inter dvo pvncta in qvibvs evm repetit constans est.

Demonstratio

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    Svpponamvs f′f' in omnibvs pvnctis intervalli (p,q)\ioo{p}{q} in II contenti evanescere, et sint p<s<t<qp < s < t < q. In [s,t]\icc{s}{t} fvnctio continva est et derivatam nvllam in pvnctis ipsivs (s,t)\ioo{s}{t} habet; per corollarivm de derivata nvlla in intervallo, ex lectione de theorematis Fermatii, Rollii, Lagrangii et Cavchii, in [s,t]\icc{s}{t} constans est, nec stricte crescens est.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    Vicissim, svpponamvs ff non esse stricte crescentem. Per theorema crescens est, ita vt exstent s<ts < t in II cvm f(s)=f(t)f(s) = f(t); qvisqve valor intermedivs inter dvos valores aeqvales inclvditvr, et ff in [s,t]\icc{s}{t} constans est.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    Sit xx pvnctvm ipsivs (s,t)\ioo{s}{t}. Restrictio ipsivs ff ad (s,t)\ioo{s}{t} constans est, cvm derivata nvlla in xx; per lemma de indole locali derivatae, f′(x)=0f'(x) = 0. Derivata in toto intervallo (s,t)\ioo{s}{t}, in II contento, evanescit. Si f′f' in nvmero finito pvnctorvm tantvm evanescit, tale intervallvm non est, qvia omne intervallvm (p,q)\ioo{p}{q} cvm p<qp < q infinita pvncta habet.

Fvnctio x+sin⁡xx + \sin x, ex problemate solvto 1 lectionis de derivata fvnctionis inversae, derivatam 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0 habet, qvae in infinitis pvnctis π+2kπ\pi + 2k\pi evanescit; inter dvo eorvm consecvtiva derivata positiva est, et nvllvm intervallvm ex nihilis constat. Propositio eam in R\mathbb{R} stricte crescentem reddit, qvod illa lectio formvla differentiae dvorvm sinvvm obtinverat et ibi mirvm videbatvr. Eadem ratiocinatio nvmervm finitvm pvnctorvm sine derivata admittit: si ff in II continva est et derivatam positivam in omnibvs pvnctis interioribvs habet praeter x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k, theorema eam stricte crescentem reddit in qvoqve intervallo inter dvo ex his pvnctis consecvtiva (et in intervallis extremis), et inaeqvalitates conivngvntvr. Sic x3\sqrt[3]{x} in R\mathbb{R} stricte crescens est, qvamvis in 00 derivabilis non sit. Continvitas omitti non potest (problema propositvm 1).

CorollarivmDerivata positiva et fvnctio inversa

Sit ff continva in intervallo II plvs vno pvncto continente et derivabilis in qvoqve pvncto interiore ipsivs II, cvm f′(x)>0f'(x) > 0 in vnoqvoqve, vel cvm f′(x)<0f'(x) < 0 in vnoqvoqve. Tvm ff in II stricte monotona est, imago eivs J=f(I)J = f(I) intervallvm est et inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I continva est; in qvoqve pvncto b=f(a)b = f(a), cvm aa interiore ipsivs II, inversa derivabilis est, et (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. Theorema monotoniam strictam praebet, qvae est hypothesis theorematis de derivata fvnctionis inversae.

Demonstratio

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    Per theorema, ff in II stricte crescens est, vel stricte decrescens. Per corollaria de imagine intervalli et de continvitate inversae, ex lectione de theoremate valoris intermedii, JJ intervallvm est et f−1f^{-1} in JJ continva est.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Si aa interivs est, ff in aa derivabilis est cvm f′(a)≠0f'(a) \neq 0, et theorema de derivata fvnctionis inversae, ex lectione de derivata fvnctionis inversae, derivatam ipsivs f−1f^{-1} in b=f(a)b = f(a) praebet.

Probationes partis de derivatis pro certo habebant x5+xx^5 + x et x3+2x+1x^3 + 2x + 1 in R\mathbb{R} stricte crescentes esse; nvnc satis est animadvertere derivatas earvm, 5x4+15x^4 + 1 et 3x2+23x^2 + 2, positivas esse. Et provocatio de inversa ipsivs xexx e^x, in synthesi illivs partis, qvae postvlabat vt sine signo derivatae demonstraretvr eam fvnctionem in [−1,∞)\ico{-1}{\infty} stricte crescentem esse, nvnc vna linea solvitvr: ibi continva est et derivata eivs, (1+x)ex(1 + x) e^x, in (−1,∞)\ioo{-1}{\infty} positiva est.