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Topos Uranos
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공간 해석기하학: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 공간의 해석기하학에 관한 단원, 곧 강좌의 마지막 단원을 마무리한다. 네 개의 내용 수업에서 이룬 것을 하나의 연역적 사슬로 모은다. 피타고라스 정리를 두 번 적용하여 얻는 두 점 사이의 거리, 내적, 코시-슈바르츠 부등식, 그리고 초등기하학의 각과 일치하는 두 벡터가 이루는 각, 삼차 행렬식에서 태어나 넓이로, 부피로, 공면 조건으로 읽히는 외적과 스칼라 삼중곱, 직선과 평면의 방정식과 루셰-프로베니우스 정리에 의한 그 위치 관계의 분류, 그리고 마지막으로 거리, 각, 사영, 구면이다. 단원이 앞 단원들과 강좌 대수학과 기하학 I에서 무엇을 받았는지, 무엇을 증명 없이 받아들였는지, 그리고 어디로 이어지는지를 설명한다. 마무리 평가에서 도입의 입문 평가에 나온 기능들을 다시 다루고, 수업의 문제들보다 어려우며 여러 수업을 결합하는 열 개의 도전 과제로 끝난다.

학습 목표

  1. 두 점 사이의 거리에서 공통수선과 구면까지 단원의 정의와 정리의 사슬을 재구성하고, 각 고리에서 그 증명이 쓰는 앞선 결과들을 짚는다.
  2. 단원에서 증명한 것과 받아들인 것을 구별하고, 그 결과들을 행렬에 관한 단원의 행렬식 및 연립방정식, 그리고 강좌 I의 평면 해석기하학과 관련짓는다.
  3. 내적, 외적, 스칼라 삼중곱을 직선, 평면, 구면의 방정식과 결합하는 문제를, 경우마다 가장 알맞은 도구와 좌표축을 골라 푼다.
  4. 결정학, 기술 제도, 광학, 항법의 상황을 공간기하학으로 모형화하고, 풀이를 그 설정, 계산, 타당성 점검과 함께 전달한다.

단원에서 이룬 것

좌표와 내적

단원은 증명하지 않을 것을 밝히는 데서 시작했다. 공간벡터와 내적에 관한 수업은 받아들이는 공간 유클리드 기하학의 사실들을 하나의 목록으로 모으고, 두 번 적용한 피타고라스 정리로 거리 공식을 얻었다. 벡터는 세 수의 순서쌍으로 정의되었고, 내적은 평면의 내적이 지닌 성질들을 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식과 함께 그대로 지켰다. 그런데 공간에는 모든 것을 담는 평면 도형이 없으므로 순서가 뒤바뀌었다. 각은 그 코사인으로 정의되었고, 코시-슈바르츠 부등식은 이 코사인을 −1-1과 11 사이에 놓는다. 그 뒤에, 내적은 삼각형의 변의 길이에만 의존하므로 이 각이 초등기하학에서 각이라 부르는 것을 잰다는 것이 증명되었다. 여기서 정사영, 방향코사인, 길이와 각을 보존하는 행렬이 따라 나왔다.

외적과 스칼라 삼중곱

주어진 두 벡터에 수직인 벡터를 찾는 일은 외적과 스칼라 삼중곱에 관한 수업에서 세 개의 이차 행렬식으로 이어졌다. 그렇다면 행렬식의 성질들이 곧바로 반교환성과 쌍선형성을 주었고, 라그랑주 항등식은 크기를 평행사변형의 넓이로 주었으며, 결합법칙을 대신하는 벡터 삼중곱 공식은 평행하지 않은 두 벡터에 수직인 벡터가 그 외적의 배수임을 증명했다. 스칼라 삼중곱은 삼차 행렬식임이 밝혀졌다. 그것은 세 벡터가 한 평면 위에 있을 때, 그리고 그때에만 영이 되고, 그 절댓값은 평행육면체의 부피이며, 그 제곱은 그람 행렬식이다. 끝으로 이 수업은 외적의 향에 관해 증명되는 것을, 축을 그릴 때 정하는 것(오른손 좌표계)과 받아들이는 것(오른손 법칙)에서 구별했다.

직선과 평면

공간의 직선과 평면에 관한 수업은 평면에 속함을 하나의 조건 n⃗⋅AP⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0로 귀착시켰다. 여기서 n⃗\vec{n}은 두 방향벡터의 외적이다. 그리고 이 조건에서 상수배를 제외하고 유일한 평면의 방정식을 얻었다. 이로써 여러 평면의 공통점은 연립일차방정식의 해가 되고, 루셰-프로베니우스 정리는 기하학적 해석을 얻었다. 미지수가 세 개이고 해를 가지는 연립방정식의 해들은 랭크에 따라 점, 직선, 평면을 이룬다. 여기서 평면과 직선의 위치 관계가, 만나는 직선과 꼬인 위치에 있는 직선을 구별하는 조건인 스칼라 삼중곱 AB⃗⋅(u⃗×v⃗)\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)과 함께 유도되었고, 평면의 묶음도 유도되었다.

측정

공간의 거리, 각, 부피에 관한 수업은 세 곱을 방정식들과 결합했다. 법선이나 직선 위로 사영하여, 점과 평면 사이의 거리와 점과 직선 사이의 거리 공식을, 수선의 발을 유일한 가장 가까운 점으로 하여 증명했고, 단원의 중심 정리도 증명했다. 꼬인 위치에 있는 두 직선은 유일한 공통수선을 가지며, 그 길이는 스칼라 삼중곱을 크기로 나눈 값이다. 이것이 도입에서 제기한 두 지하철 터널 문제에 대한 답이다. 이어서 내적으로 정의한 직선과 평면 사이의 각이 초등기하학의 각과 일치한다는 것, 평면 다각형의 사영의 넓이가 그 넓이에 이면각의 코사인을 곱한 것이라는 것을 증명했고, 구면과 그 접평면을 다루었다.

따라서 단원은 하나의 사슬을 이룬다. 받아들인 사실들이 거리를 주고, 거리와 내적의 성질들이 각을 주고, 행렬식이 외적과 스칼라 삼중곱을 주고, 이 곱들이 평면에 속함을 일차방정식으로 바꾸고, 연립일차방정식이 위치 관계를 분류하며, 이 방정식들에 적용된 정사영이 잰다. 아래 그림은 네 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이다. 각 받침은 그것에 기대는 고리들과 실선으로, 그것이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 증명 없이 받아들인 것이나 앞 단원들 또는 강좌 I에서 온 것은 빈 원으로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A공간의 유클리드적 사실. 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면과, 한 점을 지나고 한 직선에 수직인 평면의 존재와 유일성, 축을 자유롭게 고를 수 있음, 그리고 점과 세 수의 순서쌍의 대응을 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • B초등적인 넓이와 부피. 평행사변형과 평행육면체에 대해서는 밑면과 높이의 곱, 삼각형에 대해서는 그 넓이의 절반, 각뿔에 대해서는 밑면과 높이의 곱의 삼분의 일, 그리고 넓이의 가법성을 받아들인다. 그 기초는 적분법이다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • C평면기하학. 거리, 내적의 성질, 두 벡터가 이루는 각, 같은 벡터와 평행사변형에 관한 보조정리, 완전제곱식 만들기, 판별식에 따른 이차다항식의 부호. 모두 강좌 I에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • D삼각법. [−1,1]\icc{-1}{1}에서 [0,π]\icc{0}{\pi}로의 전단사로서의 아크코사인, 항등식 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1, 코사인 법칙. 모두 1단원과 2단원에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • E행렬과 행렬식. 곱의 전치, 한쪽 역행렬, 행렬식의 성질, 크라메르 공식, 그리고 det⁡A≠0\det A \neq 0과 최대 랭크의 동치. 모두 4단원에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • F루셰-프로베니우스. 연립방정식 AX=BAX = B은 rank⁡(A)=rank⁡(M)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)일 때, 그리고 그때에만 해를 가지며, 그때 자유 미지수의 개수는 미지수의 개수에서 랭크를 뺀 것이다. 4단원에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • G정사영. v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니면, 모든 벡터는 v⃗\vec{v}의 배수와 v⃗\vec{v}에 직교하는 벡터의 합으로 유일하게 쓰이며, 그 크기의 제곱은 두 부분의 크기의 제곱의 합이다. 확립되는 곳: 6. 정사영.
  • H두 벡터에 수직인 벡터. u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니고 평행하지도 않으면, 두 벡터 모두에 수직인 벡터는 정확히 u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}의 배수들이다. 확립되는 곳: 14. 두 벡터에 수직인 벡터.

  1. 제1구간 좌표와 내적

    • 공간에 점을 놓고 거리를 계산하며, 그 공식을 피타고라스 정리로 정당화한다.
    • 공간벡터로 연산하고, 그것으로 평행사변형과 평행육면체의 성질을 증명한다.
    • 코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식을 증명하고, 그것들로 두 벡터가 이루는 각을 정의한다.
    • 정사영과 방향코사인을 계산하고, 길이와 각을 보존하는 행렬을 알아본다.

    1. 두 점 사이의 거리. (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1)과 (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) 사이의 거리는 (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}이다. 이는 수평인 평면에서, 이어서 연직인 평면에서 피타고라스 정리를 적용하여 얻는다.

      받침: A (공간의 유클리드적 사실), C (평면기하학). 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

    2. 벡터와 표준기저. 세 수의 순서쌍들은 벡터공간을 이루고, 모든 벡터는 i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}의 일차결합으로 유일하게 나타나며, PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}이고 네 점이 한 직선 위에 있지 않으면 네 점은 한 평면 위에 있고 PQSRPQSR은 평행사변형이며, 그 역도 성립한다.

      사용: 1. 두 점 사이의 거리. 받침: A (공간의 유클리드적 사실), C (평면기하학). 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

    3. 내적의 성질. 내적은 교환법칙과 분배법칙을 만족하고, 수를 밖으로 꺼낼 수 있으며, u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2을 만족한다. 그 결과 ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2{\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2가 성립한다.

      사용: 2. 벡터와 표준기저. 받침: C (평면기하학). 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

    4. 코시-슈바르츠와 삼각부등식. ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}과 ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}가 성립하며, 앞의 부등식에서 등호는 한 벡터가 다른 벡터의 배수일 때, 그리고 그때에만 성립한다.

      사용: 3. 내적의 성질. 받침: C (평면기하학). 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

    5. 각은 기하학적인 각이다. 수 θ\theta, 곧 [0,π]\icc{0}{\pi}에 속하고 cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}을 만족하는 이 수는 같은 시점에서 그린 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 화살표가 이루는 각의 크기이다. 특히 영벡터가 아닌 두 벡터는 그 내적이 영일 때, 그리고 그때에만 수직이다.

      사용: 1. 두 점 사이의 거리, 3. 내적의 성질, 4. 코시-슈바르츠와 삼각부등식. 받침: A (공간의 유클리드적 사실), C (평면기하학), D (삼각법). 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

    6. 정사영. v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}이면 모든 u⃗\vec{u}는 p⃗+w⃗\vec{p} + \vec{w}로 유일하게 쓰인다. 여기서 p⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}이고, w⃗\vec{w}는 v⃗\vec{v}에 직교하며, ∥u⃗∥2=∥p⃗∥2+∥w⃗∥2{\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2이다.

      사용: 3. 내적의 성질, 5. 각은 기하학적인 각이다. 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

    7. 직교행렬. (Au⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(ATv⃗)\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)이 성립한다. AA의 열들이 서로 직교하는 단위벡터이면 ATA=IA^{\mathsf{T}} A = I이고, AA는 크기, 거리, 각을 보존한다.

      사용: 3. 내적의 성질. 받침: E (행렬과 행렬식). 증명된 수업: 공간벡터와 내적.

  2. 제2구간 외적과 스칼라 삼중곱

    • 외적을 형식적 행렬식으로 정의하고, 행렬식을 이용하여 그것이 반교환적이고 쌍선형이지만 결합적이지 않음을 증명한다.
    • 수직성, 라그랑주 항등식, 평행 조건, 벡터 삼중곱 공식을 증명한다.
    • 스칼라 삼중곱을 삼차 행렬식과 동일시하고, 그것을 부피로, 또 공면 조건으로 읽는다.
    • 외적의 향에 관해 증명되는 것을 오른손 좌표계 규약과, 받아들이는 오른손 법칙에서 구별한다.

    1. 대수적 성질. 외적은, 그 성분이 세 개의 이차 행렬식이며, 반교환적이고 쌍선형이며, u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}을 만족하고, 결합적이지 않다.

      받침: E (행렬과 행렬식). 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    2. 수직성. u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0과 v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0가 성립한다. 곧 외적은 두 인수 모두에 수직이다.

      사용: 3. 내적의 성질, 8. 대수적 성질. 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    3. 라그랑주 항등식. 모든 벡터에 대해 ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2이 성립한다.

      사용: 3. 내적의 성질, 8. 대수적 성질. 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    4. 평행사변형의 넓이. 크기 ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta은 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}를 변으로 하는 평행사변형의 넓이이고, 삼각형 ABCABC의 넓이는 12∥AB⃗×AC⃗∥\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}이다.

      사용: 5. 각은 기하학적인 각이다, 10. 라그랑주 항등식. 받침: B (초등적인 넓이와 부피), D (삼각법), G (정사영). 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    5. 곱이 영벡터가 되는 것과 평행. u⃗×v⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}이 성립할 필요충분조건은 두 벡터 중 하나가 다른 것의 배수인 것이다.

      사용: 8. 대수적 성질. 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    6. 벡터 삼중곱. u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}과 야코비 항등식이 성립한다.

      사용: 3. 내적의 성질, 8. 대수적 성질. 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    7. 두 벡터에 수직인 벡터. u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니고 평행하지도 않으면, 어떤 벡터가 두 벡터 모두에 수직일 필요충분조건은 그것이 n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}의 배수인 것이며, 그때 그 벡터는 x⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}이다.

      사용: 9. 수직성, 12. 곱이 영벡터가 되는 것과 평행, 13. 벡터 삼중곱. 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    8. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다. 스칼라 삼중곱 u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)은 u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}를 행으로 하는 행렬의 행렬식이다. 인수를 순환적으로 바꾸어도 변하지 않고, 두 인수를 맞바꾸면 부호가 바뀌며, 도트와 크로스를 서로 바꿀 수 있다.

      사용: 3. 내적의 성질, 8. 대수적 성질. 받침: E (행렬과 행렬식). 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    9. 공면 조건. 세 벡터가 한 평면 위에 있다는 것, 곧 적어도 하나의 계수가 영이 아닌 일차결합으로 영벡터를 만들 수 있다는 것은 그 스칼라 삼중곱이 영인 것과 동치이다.

      사용: 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다. 받침: E (행렬과 행렬식). 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    10. 부피와 그람 행렬. u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}를 모서리로 하는 평행육면체의 부피는 ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}이고, 사면체의 부피는 그 육분의 일이며, 스칼라 삼중곱의 제곱은 그람 행렬식이다.

      사용: 11. 평행사변형의 넓이, 12. 곱이 영벡터가 되는 것과 평행, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다, 16. 공면 조건. 받침: B (초등적인 넓이와 부피), G (정사영), E (행렬과 행렬식). 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

    11. 특성화와 향. u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니고 평행하지도 않으면, u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}는 두 벡터 모두에 수직이고, 크기가 넓이와 같으며, 스칼라 삼중곱이 양수인 유일한 벡터이다. 그것이 오른손 엄지가 가리키는 쪽을 향한다는 것은, 축을 그리는 방식을 정한 뒤에 받아들인다.

      사용: 11. 평행사변형의 넓이, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다. 받침: H (두 벡터에 수직인 벡터). 증명된 수업: 외적과 스칼라 삼중곱.

  3. 제3구간 직선과 평면

    • 직선을 벡터 형태, 매개변수 형태, 대칭형으로, 평면을 매개변수 형태와 일반형 방정식으로 쓰고, 외적으로 한 형태에서 다른 형태로 옮겨 간다.
    • 모든 평면이 상수배를 제외하고 유일한 방정식을 가지며, 모든 일차방정식이 평면을 나타냄을 증명한다.
    • 연립일차방정식의 랭크와 스칼라 삼중곱으로 평면과 직선의 위치 관계를 판정한다.
    • 평면의 묶음으로, 한 직선을 포함하고 또 하나의 조건을 만족하는 평면을 만든다.

    1. 두 점을 지나는 직선. 서로 다른 두 점 AA와 BB를 지나는 직선은 오직 하나이며, 그것은 A+tAB⃗A + t \vec{AB}이다.

      사용: 2. 벡터와 표준기저. 증명된 수업: 공간의 직선과 평면.

    2. 두 벡터의 일차결합. u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니고 평행하지도 않으면, w⃗\vec{w}가 그것들의 일차결합일 필요충분조건은 (u⃗×v⃗)⋅w⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0이며, 그때 계수는 유일하다.

      사용: 9. 수직성, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다. 받침: F (루셰-프로베니우스), E (행렬과 행렬식). 증명된 수업: 공간의 직선과 평면.

    3. 평면의 방정식. 점이 평면 A+λu⃗+μv⃗A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} 위에 있을 필요충분조건은 (u⃗×v⃗)⋅AP⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0이다. 모든 평면은 상수배를 제외하고 유일한 방정식 ax+by+cz=dax + by + cz = d을 가지며, 그런 방정식은 모두 평면을 나타낸다.

      사용: 12. 곱이 영벡터가 되는 것과 평행, 20. 두 벡터의 일차결합. 받침: H (두 벡터에 수직인 벡터). 증명된 수업: 공간의 직선과 평면.

    4. 평면의 위치 관계. 미지수 xx, yy, zz에 관한 연립방정식이 해를 가질 때, 그 해들은 랭크가 33, 22, 11인 데 따라 각각 점, 직선, 평면을 이룬다. 여기서 두 평면과 세 평면의 위치 관계, 그리고 직선과 평면의 위치 관계가 따라 나온다.

      사용: 19. 두 점을 지나는 직선, 20. 두 벡터의 일차결합, 21. 평면의 방정식, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다. 받침: F (루셰-프로베니우스), E (행렬과 행렬식), H (두 벡터에 수직인 벡터). 증명된 수업: 공간의 직선과 평면.

    5. 두 직선의 위치 관계. 평행하지 않은 두 직선 A+tu⃗A + t \vec{u}와 B+λv⃗B + \lambda \vec{v}는 AB⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0이면 만나고, 그렇지 않으면 꼬인 위치에 있다. 이 스칼라 삼중곱이 영일 필요충분조건은 두 직선이 한 평면 위에 있는 것이다.

      사용: 19. 두 점을 지나는 직선, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다, 21. 평면의 방정식. 받침: F (루셰-프로베니우스), E (행렬과 행렬식), H (두 벡터에 수직인 벡터). 증명된 수업: 공간의 직선과 평면.

    6. 평면의 묶음. 만나는 두 평면의 공통 직선을 포함하는 평면들은 두 평면의 방정식을, 둘 다 영은 아닌 계수로 결합한 것이다.

      사용: 20. 두 벡터의 일차결합, 22. 평면의 위치 관계. 증명된 수업: 공간의 직선과 평면.

  4. 제4구간 측정

    • 점과 평면 사이의 거리와 점과 직선 사이의 거리 공식을, 수선의 발을 유일한 가장 가까운 점으로 하여 증명한다.
    • 꼬인 위치에 있는 두 직선의 공통수선을 구하고, 그것이 유일함을 증명하며, 그 길이를 스칼라 삼중곱으로 계산한다.
    • 직선과 평면 사이의 각을 정의하고, 그것이 기하학적인 각과 일치함을 증명하며, 평면 도형의 넓이를 그 사영의 넓이와 관련짓는다.
    • 구면, 구면과 평면의 교차, 구면의 접평면을 다루고, 이 모두를 결정학과 위성 측위에 응용한다.

    1. 평면까지의 거리. (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)과 평면 ax+by+cz=dax + by + cz = d 사이의 거리는 ∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}이고, 수선의 발에서만 이 거리에 이른다. 여기서 반공간과 점의 대칭점이 나온다.

      사용: 21. 평면의 방정식. 받침: G (정사영). 증명된 수업: 공간의 거리, 각, 부피.

    2. 직선까지의 거리. PP와 직선 A+tu⃗A + t \vec{u} 사이의 거리는 ∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}이고, 수선의 발에서만 이 거리에 이른다.

      사용: 10. 라그랑주 항등식, 19. 두 점을 지나는 직선. 받침: G (정사영). 증명된 수업: 공간의 거리, 각, 부피.

    3. 공통수선. 꼬인 위치에 있는 두 직선 A+tu⃗A + t \vec{u}와 B+sv⃗B + s \vec{v}는 유일한 공통수선을 가지며, 두 직선 사이의 거리는 ∣AB⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∥u⃗×v⃗∥\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}이고, 이 거리에는 공통수선의 두 발 사이에서만 이른다.

      사용: 10. 라그랑주 항등식, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다, 23. 두 직선의 위치 관계. 받침: E (행렬과 행렬식), H (두 벡터에 수직인 벡터), G (정사영). 증명된 수업: 공간의 거리, 각, 부피.

    4. 평면과 이루는 각과 이면각. 직선과 평면이 이루는 각은, 그 사인이 ∣u⃗⋅n⃗∣∥u⃗∥∥n⃗∥\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}이며, 직선이 그 사영과 이루는 각이다. 그리고 두 평면의 법선이 이루는 각은 보각의 차이를 제외하면 이면각이다.

      사용: 4. 코시-슈바르츠와 삼각부등식, 11. 평행사변형의 넓이, 13. 벡터 삼중곱, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다, 25. 평면까지의 거리. 받침: D (삼각법), H (두 벡터에 수직인 벡터), G (정사영). 증명된 수업: 공간의 거리, 각, 부피.

    5. 사영의 넓이. 넓이가 SS인 다각형이 놓인 평면이 이루는 이면각을 α\alpha라 하자. 이는 평면 π\pi와 이루는 각이며, 두 평면이 평행하면 α=0\alpha = 0이다. 그러면 이 다각형의 π\pi 위로의 정사영의 넓이는 Scos⁡αS \cos \alpha이다.

      사용: 11. 평행사변형의 넓이, 15. 스칼라 삼중곱은 행렬식이다, 25. 평면까지의 거리, 28. 평면과 이루는 각과 이면각. 받침: B (초등적인 넓이와 부피), H (두 벡터에 수직인 벡터). 증명된 수업: 공간의 거리, 각, 부피.

    6. 구면과 그 접평면. 중심에서의 거리가 δ\delta인 평면은, 구면의 반지름을 RR라 하면, 구면과 반지름이 R2−δ2\sqrt{R^2 - \delta^2}인 원에서 만나고(단, δ<R\delta < R일 때), δ=R\delta = R일 때는 수선의 발에서만 구면에 접한다. TT에서의 접평면은 CT⃗\vec{CT}를 법선벡터로 한다.

      사용: 1. 두 점 사이의 거리, 25. 평면까지의 거리. 받침: C (평면기하학), G (정사영). 증명된 수업: 공간의 거리, 각, 부피.

미적분학으로. 사슬은 초등적인 도구가 다하는 곳에서 끝난다. 강좌의 최종 결산은 이 사슬을 일곱 개의 전체 목표 가운데 자리매김한다. 미적분학 III은 평면을 곡면의 접평면으로, 행렬식을 변환의 부피 배율로 바꿀 것이다.