조임 정리와 삼각함수의 극한

법칙이 닿지 않는 극한

극한의 연산 법칙에 관한 수업에서는 $\frac{0}{0}$ 꼴의 부정형을 모두 식을 변형하여 공통인수를 약분함으로써 해결했다. 몫 $\frac{\sin x}{x}$는, $x$가 $0$으로 갈 때, 그런 처리를 허용하지 않는다. 사인은 다항식이 아니며, 어떤 인수분해로도 분자에 인수 $x$를 만들어 낼 수 없기 때문이다. 곱의 법칙 역시 $x \sin \frac{1}{x}$의 $0$에서의 극한을 결정하지 못하는데, 인수 $\sin \frac{1}{x}$가 극한을 갖지 않기 때문이며, 이는 실변수 함수의 극한에 관한 수업의 연습 문제 3에서 증명하도록 한 것이다.

그러나 두 경우 모두 함수는 더 간단한 다른 두 함수 사이에 갇혀 있다. $x \sin \frac{1}{x}$의 절댓값은 $\abs{x}$를 넘지 않고, 몫 $\frac{\sin x}{x}$는 뒤에서 보듯이 $\cos x$와 $1$ 사이에 있다. 그렇다면, 같은 수로 가는 두 함수 사이에 갇힌 함수도 그 수로 간다는 것을 한 번에 증명해 두는 것이 좋다. 이 수업의 증명들은 앞 수업의 계획을 따른다. 각 결과를 하나의 부등식으로 귀착시키고, 나머지는 상계 판정법 또는 그로부터 이끌어 낸 도구가 처리한다.

앞 수업의 약속을 그대로 유지한다. $f$, $g$, $h$는 같은 하나의 집합 $A$에서 정의된 실함수이고, 점 $a$는 $A$의 집적점이며, 어떤 것이 「$a$ 근처에서」 성립한다는 것은 어떤 $r > 0$이 존재하여 모든 $x$($A$의 원소로서 $0 < \abs{x - a} < r$을 만족하는 것)가 그것을 만족한다는 뜻이다. 세 보조정리를 다룬 대목의 끝에서 얻은 도구를 떠올리자. $\lim_{x \to a} f(x) = L$이고 $\lim_{x \to a} g(x) = M$이면, 모든 함수 $F$ 가운데 $a$ 근처에서 아래와 같은 상계(단, $C > 0$)를 만족하는 것은 $K$로 간다.