유리함수: 점근선과 그래프

요약

유리함수는 두 다항식의 몫이다. 이 수업에서는 부호표와 다항식의 나눗셈이라는 두 가지 대수적 도구로 유리함수를 조사하고 그 그래프의 개형을 그리는 방법을 배운다. 분모의 영점은 정의역을 정하고, 그 점에서 분자가 0이 되는지에 따라 제거 가능한 점 또는 수직 점근선을 준다. 수직 점근선 근처에서는 곡선이 어느 쪽으로 달아나는지를 부호표가 결정한다. 나눗셈은 함수를 다항식과 0으로 가는 분수식의 합으로 쓰며, 그 다항식이 변수가 무한대로 갈 때 그래프가 다가가는 수평 점근선, 사점근선 또는 곡선 점근선이다. 좌표축과의 교점을 더하면 개형이 완성되고, 치역은 가능할 때에는 변수에 대하여 풀어서, 그렇지 않을 때에는 가지들의 행동으로부터 구한다.

학습 목표

유리함수의 정의역을 구하고, 분모의 영점 가운데 제거 가능한 점과 수직 점근선을 구별한다.
부호표를 이용하여 수직 점근선 양쪽에서의 유리함수의 행동을 기술한다.
다항식의 나눗셈을 이용하여 유리함수의 수평 점근선, 사점근선 또는 곡선 점근선과 그에 대한 그래프의 위치를 구한다.
유리함수의 그래프의 개형을 그리고 치역을 구한다. 방정식 $y = f(x)$ 를 풀 수 있을 때에는 정확하게, 그렇지 않을 때에는 가지들이 허용하는 범위에서 구한다.
전지가 공급하는 전력, 생산의 평균 비용, 혼합물의 농도와 같은 응용 상황을 유리함수로 모형화하고, 그 점근선과 치역을 상황에 맞게 해석한다.

유리함수와 그 정의역

대수 함수에 관한 수업에서는 두 다항식의 몫이고 분모가 영다항식이 아닌 함수를 모두 유리함수라고 불렀다.

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

그 정의역은 분모를 0으로 만들지 않는 실수들로 이루어진다. 따라서 정의역을 구하려면 다항식 $Q$ 의 근을 구해야 하며, 이를 위해 근의 공식과 이차다항식의 인수분해에 관한 수업의 기법, 그리고 다항식의 대수에 관한 수업의 나머지정리와 인수정리가 쓰인다. 그러므로 유리함수의 조사는 모두 그 분모의 인수분해에서 시작한다.

그런데 분모의 영점이 모두 같은 역할을 하는 것은 아니다. 부호표와 부등식에 관한 수업에서 보았듯이, 어떤 수 $r$ 이 다항식 $Q$ 와 다항식 $P$ 를 동시에 0으로 만들면, 인수정리에 의해 두 다항식은 모두 식 $x - r$ 로 나누어떨어지고, 공통인수는 정의역의 모든 점에서 약분된다. 약분한 분수식의 분모가 점 $r$ 에서 더 이상 0이 되지 않으면, 수 $r$ 은 제거 가능한 점이다. 함수 $f$ 의 그래프는 약분한 분수식의 그래프에서 단 하나의 점이 빠진 것이고, 약분한 분수식의 값을 부여하면 함수는 점 $r$ 에서 정의될 것이다. 반대로, 모든 공통인수를 약분한 뒤에도 수 $r$ 이 분모를 0으로 만들면, 직선 $x = r$ 은 수직 점근선이며, 이는 곧이어 정확히 설명한다. 그래서 분수식을 조사하기 전에 약분해 두는 것이 좋지만, 약분된 수들은 여전히 정의역 밖에 있다는 것을 잊어서는 안 된다.